_基于拉格朗日方程的直线滚动导轨系统解析建模

第 卷第 期 计算机集成制造系统 年 月 文章编号 ：（）收稿日期 ：；修订日期 ：。 ； 基金项目 ：国家自然科学基金资助项目 （）。： ，（）基于拉格朗日方程的直线滚动导轨系统解析建模孙伟，汪博，鲁明，闻邦椿（东北大学 机械工程与自动化学院，辽宁沈阳；沈阳机床（集团 ）有限责任公司 ，辽宁沈阳）摘要 ：为提高机床的加工精度和加工效率 ，从刚体动力学出发 ，针对具有四排沟槽的直线滚动导轨系统 ，采用 方程完成导轨系统的解析建模 ，推导出对应于导轨各刚体模态的固有频率和振型的解析表达式 。基于该表达式获得某滚动导轨系统的固有频率值 ，将其与利用 软件 模块求解的固有频率值进行对比 ，发现两者求解结果基本一致 ，证明了解析建模的正确性 。基于导轨系统的解析模型 ，分析了接触角 、滚珠受力区长度以及滚珠接触点距滑块中心点的水平和垂直距离等设计参数对导轨动力学特性的影响 。关键词 ：方程 ；直线滚动导轨系统 ；解析建模 ；数控机床 ；动力学中图分类号 ：；文献标志码 ： ， ， ， （ ， ， ，； （）， ，）： ， ， ， ， ， ， ， ： ； ； ； ； 问题的提出直线滚动导轨系统主要由滑块 、滚动体和导轨三部分组成 （如图），它是数控机床的重要功能部件 。直线滚动导轨通常连接着工作台和主轴箱 ，其动力学特性直接影响机床的加工精度和加工效率 。因此 ，需要对直线滚动导轨系统的动力学特性进行有效建模和分析 ，进一步将导轨模型引入整机系统 ，创建可有效模拟机床整机动力学特性的分析模型 ，这对于数控机床抗振性及稳定性设计具有重要的意义 。导轨系统的解析建模是在充分考虑导轨尺寸 、形状 、工况和物理特性的基础上 ，利用解析公式来完成导轨系统的模型创建 ，解析模型可以很方便地分析导轨系统的各特性参数对导轨动力学特性的影响 。很多学者围绕导轨系统的动力学特性进行了解DOI：10.13196/j.cims.2012.04.111.sunw.007计算机集成制造系统 第 卷析公式的推导 ，例如 ，文献 在充分考虑结合面结构 、工况以及与结合面固有特性有关因素的基础上 ，提出导轨结合面刚度和阻尼的解析计算式 ，进而完成了对某滑动导轨的解析建模 ；文献 推导了导轨结合面单元的解析计算公式 ，获得了结合面单元刚度和阻尼矩阵 。上述研究主要是基于子结构法和有限元法的解析建模 ，并未给出用于计算导轨系统的动力学特性参数的完整的解析计算式 。因为相对于滑块和轨道 ，滑块与轨道之间的滚动结合面往往是弹性变形的主体 ，所以本文从刚体动力学出发 ，针对具有四排沟槽的直线滚动导轨系统 ，采用方程完成导轨系统的解析建模 ，并利用软件对解析建模的正确性进行校验 ，进一步利用该解析模型分析导轨特性参数对其动力学特性的影响规律 。 直线滚动导轨解析建模 导轨系统建模概述应用方程建模 ，是复杂动力学系统理论建模的一种重要方法 。方程的具体表达式为（ ）（），。（）式中 ：和为振动系统的广义坐标和广义速度 ；为系统的动能 ，是广义速度的二次型 ；为系统的势能 ，是广义坐标的二次型 ；（）为对应于广义坐标的除有势力以外的其他非有势力的广义力 ；为系统的自由度数目 。采用方程对导轨系统建模时 ，通常将导轨系统的滑块和轨道视为刚体 ，将导轨结合部简化为一系列线性弹簧 阻尼单元，滑块与轨道通过这些弹簧 阻尼单元连接 。导轨系统的力学模型如图所示 ，其中 ：轴为导轨方向 ，共有个自由度 ，分别是沿轴和轴的水平及垂直运动 、绕轴的俯仰运动 、绕轴的偏航运动和绕轴的侧翻运动 ，分别用，和表示 。为坐标原点 ，为上圈滚珠接触点同平面的垂向距离 ，为下圈滚珠接触点同平面的垂向距离 ，为滚珠接触点同平面的水平距离 ，为接触角 。利用力学原理分别求取系统的动能和势能 ，代入式 （），便可以推导出导轨系统动力学特性的计算式 。 直线滚动导轨运动方程推导对于图所示的力学模型 ，设坐标原点与滑块的重心位置重合 ，它在滑块的运动过程中始终保持不变 ，则导轨系统的动能可表示为。 （）式中 ：是滑块的质量 ；，和分别是滑块绕，和轴的转动惯量 。势能主要来自滚珠同沟槽之间的滚动结合面 。可以将每个滚珠对应的滚动结合面简化为弹簧单元 ，且假设弹簧的刚度均为。由平面 ，可以将滚珠的受力区分为个部分 （如图）。在每部分受力区内 ，滚珠具有相同的变形规律 ，假设滚珠数量相等 ，均为。每个滚珠的变形可以表示为（，），则滚动导轨系统的势能可表示为（）。 （）在各受力区内 ，滚珠的位置用（，）表示 ，其含义为在第个受力区第 期 孙伟 等 ：基于拉格朗日方程的直线滚动导轨系统解析建模内 ，第个滚珠与平面的距离 （如图）；为导轨沟槽上两个受力区的长度之和 。由式 （）可知 ，只要确定各受力区滚珠的法向变形，就可以确定整个导轨系统的势能 。可将滑块对应于，自由度的变形向各受力区的滚珠接触法线方向投影 ，即可获得各受力区滚珠的法向变形 ，分别为（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（）。（）将上述接触变形的表达式代入式 （），就可以确定系统势能的表达式 。 （）将式 （）和式 （）代入式 （），整理可获得直线滚动导轨的运动方程 ，表达式为 ， （） ， （） ， （） ， （） 。 （） 直线滚动导轨固有频率解析表达式式 （）式 （）描述了导轨系统运动状态 ，是一个自由度自由振动系统 ；式 （）式 （）分别对应，和自由度 ，是独立的方程 。由此可以求解所对应的固有频率表达式 ，分别为 槡， （） 槡 ， （） 槡 。 （）式 （）和式 （）由，自由度相互耦联在一起 ，组成一个两自由度振动系统 ，按振动学原理设，。 （）将其代入方程 ，整理可得该二自由度振动系统的特征方程 。 （）式中 ， （）， （） （） 。由此获得自由度，所对应的固有频率 （） （槡） 槡 ，（）（） （槡） 槡 。（）因为滑块，和自由度对应的运动方程为独立的振动方程 ，所以对应各自由度的振动模态为单自由度无阻尼自由振动模态 。对应滑块和自由度的运动方程相互耦联在一起 ，可由振动学解出振计算机集成制造系统 第 卷动模态的解析表达式 。综上所述 ，自由度导轨系统振动模态的解析表达式可表示为 熿燀燄燅。 基于解析公式的导轨系统固有特性求解由式 （）式 （）、式 （）、式 （）可知 ，导轨系统的固有频率主要由以下参数共同决定 ：滚珠接触点的位置，；滑块的质量以及滑块绕重心的转动惯量，和；沟槽内滚珠受力区的长度；滚珠同沟槽的接触角和滚珠 沟槽之间的接触刚度等 。上述大部分参数可以通过导轨生产厂家提供的用户使用手册查到 ，而滚珠 沟槽的接触刚度则要通过理论计算来确定 。如图所示 ，导轨弧形沟槽中的滚珠同时与滑块和轨道接触 ，可以将此接触看成是接触形式，按接触理论确定滚珠的接触刚度 ，其表达式为 （）。 （）式中 ：为接触常数 ，由接触形状以及接触材料特性等综合确定 ；为接触变形 。假如已获知上述参数 ，则可以按照固有频率的求解式求得滚动导轨系统的固有频率 。表所示为某导轨的上述参数值 。将表中的各参数代入求解公式 ，可获得对应各自由度的固有频率值 ，具体值为 （单位）：， ， ， ， 。表 某导轨的相关参数值参数名称 参数值接触点垂向距离 接触点垂向距离 接触点水平距离 滑块质量 滑块绕 轴的转动惯量 滑块绕 轴的转动惯量 滑块绕 轴的转动惯量 滚珠受力区的长度 接触角（）滚珠 沟槽接触刚度 （）每个受力区的滚珠平均数量 解析模型有效性验证本章利用多刚体动力学分析软件验证理论推导的正确性 。软件可以非常方便地对虚拟机械系统进行静力学 、运动学和动力学分析 ，应用其模块可求解系统的固有频率 ，也可以通过添加激励来得到系统的响应 。对导轨系统固有特性分析的步骤包括创建几何模型 、添加约束 驱动 、模型校验和求解等四个关键步骤 。滑块 、导轨用基本几何形体创建模块完成建模 ，而滚珠与沟槽之间的接触用弹簧阻尼元件模拟 。每一个滚珠用一个弹簧阻尼单元来模拟 ，按照接触角将滑块与导轨连接在一起 ，弹簧的刚度值设定为 。最终创建的导轨系统刚体动力学模型如图所示 ，固有频率的求解结果及与理论分析的对比如表所示 ，所对应的模态振型如图所示 。可见 ，理论计算的结果与仿真的结果基本一致 ，从而证明了基于方程所创建的第 期 孙伟 等 ：基于拉格朗日方程的直线滚动导轨系统解析建模解析分析模型和固有频率计算式的正确性 。表 理论计算和 分析结果的比较阶数分析频率 理论计算频率 误差（） 导轨设计参数对其动力学特性的影响分析由推导的解析公式 （式 （）式 （）、式 （）、式 （）可以很方便地分析各设计参数对导轨系统动力学特性的影响 。下面列举了滚珠接触角、滚珠受力区长度、滚珠接触点距滑块中心点的水平距离 （）及垂直距离 （，）等导轨设计参数对刚体固有频率的影响 ，如图所示 。从图可以清晰地看出各设计参数对导轨系统固有频率的影响规律 。例如 ，滚珠接触角与所考虑的个自由度对应的固有频率均相关 ，随着接触角的增大或缩小 ，相应的固有频率值有的增大有的减小 ；受力区长度只与滑块的俯仰和偏航末态相关 ，且随着受力区长度的增大 ，对应的固有频率值增加 ；而滚珠接触点距滑块中心点的水平及垂直距离（，）仅影响滑块的水平及侧翻运动模态对应的固有频率 ，两个固有频率值均随着水平距离和滚珠上接触点到中心点的垂直距离的增加而增加 ，计算机集成制造系统 第 卷而当滚珠下接触点到中心点的垂直距离增加时 ，水平运动模态所对应的固有频率增加 ，侧翻运动模态所对应的固有频率先减少再增加 。 结束语本文基于方程 ，详细推导了滚动导轨系统固有频率及模态振型的解析表达式 ，具体内容包括 ：（）在将滚珠同沟槽的滚动结合面简化为一系列线性弹簧单元的基础上 ，创建了导轨系统的自由度动力学模型 ，进而确定了导轨系统动能 、势能的表达式 ，代入方程 ，获得导轨系统的运动方程 。（）求解该运动方程 ，获得了对应于各自由度的固有频率和模态振型的解析表达式 。（）利用此表达式 ，输入某导轨的特性参数 ，求得具体的固有频率值 。与基于的模块求解的固有频率值进行对比 ，发现两者求解结果基本一致 ，证明了解析建模的正确性 。（）基于导轨系统的解析模型 ，分析了接触角 、滚珠受力区长度以及滚珠接触点距滑块中心点的水平及垂直距离等设计参数对导轨动力学特性的影响 。绘制了导轨系统固有频率值随各设计参数的变化规律曲线 。直线滚动导轨系统是一个非常复杂的动力学系统 ，应用本文所推导的固有频率和模态振型解析计算公式 ，只可以定性地获得导轨系统的动力学特性以及一些关键设计参数对导轨系统动力学特性的影响规律 。实际导轨在工作过程中经常处于运动状态 ，因而后续应重点研究导轨处于运动状态下的动力学建模方法 ，分析运动幅产生的摩擦力 、粘性阻尼力等对导轨系统动力学特性的影响规律 。参考文献 ： ， ， ，（）：（ ）张广鹏 ，史文浩 ，黄玉美 机床导轨结合部的动态特性解析方法及其应用 机械工程学报 ，（）： ， ， ， ： ，（）：（ ）毛宽民 ，李斌 ，谢波 ，等 滚动直线导轨副可动结合部动力学建模 华中科技大学学报 ：自然科学版 ，（）： ： ，（ ）张义民机械振动北