1_6354035_12.向量在圆锥曲线中的三个层次功能

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 291 中国 高考数学母题 (第 095 号 ) 向量在圆锥曲线中的三 个 层 次 功能 向量既具有数的特点 ,又具有形的特性 ,向量与圆锥曲线的结合是自然的 ,可分为三层 :向量语言 、 几何意义 和 向量方法 ;向量与圆锥曲线的结合曾流 行 于高考解答题中 ,向量与圆锥曲线的结合仍 是一个重要的命题点 . 母题结构 :( )(向量语言 ) 若点 P 在左、右焦点分别是 则 1 2 点 焦点分别是 则 1 22 2若点 P 在左焦点是 F 的双曲线上 ,则 点 P 在左焦点是 F 的椭圆上 ,则 ( )(几何意义 )双曲线的解析向量表示 :若 (a,b),(a, 则点 P 的轨迹是双曲线 22 的充要条件是 =41;在 , 2OB=m; ( )(向量方法 ) 在 若 (x1,(x2,则 S 1|在有心圆锥曲线的焦点 有 : 1 22| 12+|22=2|2+2 2=|2母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2013 年 上海 春招 试题 )已知 A、 B 为平面内两定点 ,过该平面内动点 M 作直线 垂线 ,垂足为 其中为常数 ,则动点 ) (A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 解析 :以 建立坐标系 ,设 M(x,y),A()、 B(a,0),则 N(x,0);由 = (x+a)( x2+ 当 =1时 ,轨迹是圆 ;当 0,且 1时 ,轨迹是椭圆 ; 当 =0 时 ,轨迹是 两 条直线 ; 当 0)的左、右焦点分别是 一条渐近线方程为 y=x,点 P( 3 ,双曲线上 ,则 1 2( ) (A) (B) (C)0 (D)4 子题类型 :(2006 年江苏高考试题 )己知 两点 M()、 N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点 ,满足 |+ 0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为 ( ) (A)x (B)8x (C)x (D)4x 解析 :设 直线 l:x=2,过 点 H l 于 H,由 |+ 0 |-| |-| |-| |-|0 点 P 的轨迹 是以 M 为 焦点 ,直线 l 为准线的抛物 线 ,其 方程为 B). 点评 :充分利用 向量的几何意义 是处理解析几何中 向量问题的另一有力手段 ,其中 的关键 是对 向量 式 进行 几何转化 :一是充分利用向量的运算法则 ,对向量式进行等价转化 ;二是着力 寻找 向量 式 的几何意义 . 292 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 同 类 试题 : 3.(2015 年 高考 课 标 试题 )已知 M(双曲线 C:22 上的一点 , 上的两个焦点 ,若 1 2) 积之和 =21|21|41a|=|81a=a+1a=89a+B). 点评 :在 圆锥曲线中加强向量工具的应用 是 高考命题 的 方向 ,利用 向量 易解决 :三角形面积 、 两直线 夹角 ,尤其是 垂 直 、焦点 三角形等 ,着意于 向量工具的应用 ,可 形 成一种系统 的解题方法 法 . 同 类 试题 : 5.(2013年全国高中数学联赛试题 ()在平面直角坐标系 点 A,满足 则 . 6.(2010 年 浙 江 高考试题 )设 O 为坐标原点 ,2 是双曲线22(a0,b0)的焦点 ,若在双曲线上存在点 P,满足 00,| 7 a,则该双曲线的渐近线方程为 ( ) (A)x 3 y=0 (B) 3 x y=0 (C)x 2 y=0 (D) 2 x y=0 7.(2004 年辽宁高考试题 )己知点 A()、 B(3,0),动点 P(x,y)满足 =点 P 的轨迹是 ( ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 8.(2005 年上海高考试题 )直角坐标系 ,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足 : =4,则点 . 9.(2010年 福建 高考 文科 试题 )若点 分别为椭圆42x+32y=1的中心和左焦 点 ,点 则 ) (A)2 (B)3 (C)6 (D)8 10.(2010年 福建 高考 理科 试题 )若点 ()分别为双曲线22(a0)的中心和左焦点 ,点 一点 ,则 取值范围为 ( ) (A)3 ,+ ) (B)3+2 3 ,+ ) (C) ) (D)47,+ ) 11.(2007 年 辽宁 高考试题 )设椭圆252x+162y=1 上一点 P 到左准线的距离为 10,F 是该椭圆的左焦点 ,若点 M 满足 21(,则 |= . 12.(2013年全国高中数学联赛 辽 宁 预赛 试题 )椭圆222(ab0)的离心率为23,斜率为 1且过点 M(b,0)的直线与椭圆交于 A、 B 两点 为坐标原点 ,若 532该椭圆的方程是 . 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 293 13.(2010 年全 国高中数学联赛湖南 初赛试 题 )已知 直线 x=2 与双曲线 :42 的渐近线交于 2两点 ,记 11e , 22e ,任取上 双曲线 的点 P,若 a,b R),则 ( ) (A)00,y0). 由渐近线 :y=x 双曲线 : 的 焦点 2,0),0) 1 2-1+C). 作圆 O:x2+y2=,则圆 曲线 C 的 交点的纵坐标分别为 A). 因 2,1)、 2,别是两条渐近线的方向向量 渐近线方程 :y=21x;又因它的一个焦点坐标为 ( 5 ,0)双曲线 :42;又由 (2 (a+b)2-(=1 1 . 设 A(a),B(b),由 2 S S =|2. 由 O 是 点 1 22 ( 1 22=4 |+|+2| | +|+|28(|2+3|28|8|+|=20由余弦定理 :| +| 3a2=2a2=D). 由 =(x+2)(y2=D). 由 =4 x+2y=4. 设 P(2 3 ,则 23 C). 由 F() a= 3 ;设 P(x0,则320(3 ), x0()+43+2 3 B). 294 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 设右 焦点 为 E,由 P 到左准线的距离为 10 |10e=6 |4 |=21|2. 由 e=23 a=2b;又由 5321|16 16;把直线 y=入 椭圆 得 :5 A(0,B(58b,53b) 1|8b|=5416 6 椭圆 :162x+42y=1. 由 4 a2+D). 由 (=|2+ |2-|2 A = |M |2 B). 设 C(t),则 (t),( A). 由 F(1,0),将 y=2入 x 得 :