1_6354068_2.向量的恒等式.垂直等价命题

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 201 中国 高考数学母题 (第 063 号 ) 向量的恒等式 恒等式在数 学 的学习 与 研究中占有十分重要的位置 ,同 样 ,向量的恒等式 在解决向量问题时 ,具有奇特功能 ,巧用 恒等式 ,不仅 可以“秒杀”一类高考题 ,而且还可得到 向量 垂直等价 的 命题 . 母题结构 :( )(向量的 恒等式 ): (a+b)2+(=2(|a|2+|b|2); (a+b)2-(=4( )(垂直 等价命题 ): |a b|2=|a|2+|b|2 ; |a+b|=| . 母题 解 析 :( ) (a+b)2+(=(ab+(2(a2+2(|a|2+|b|2); (a+b)2-(=(ab+(ab+4如图 ,极化恒等式 ( )的几何意义 :平行四边形 两条对角线的平方和等于四边的平方和 ,即 |+|=2|+|;极化恒等式 ( )的几何意义 :两向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边 的平 四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41,即 1|-|. ( ) |a b|2=|a|2+|b|2 2ab+b2=a2+; |a+b|=| (a+b)2=( ab+b2=. 子题类型 :(2013 年全国高中数学联赛 吉林 初 赛 试题 )设 a,b 为两个非零向量 ,且 |a|=2,|a+2b|=2,则 |a+b|+|b|的最大值是 . 解析 :由 (a+b)+(a+b)+b2=2(|a+b|2+|b|2) |a+b|2+|b|2=4 |a+b|+|b| 22 |(|2 =2 2 . 点评 :向量恒等式 :(a+b)2+(=2(|a|2+|b|2)有两个方面的作用 : 已知 |a+b|,|a|,|b|中的 其 中 三 个的值 ,求第四个的值 ; 构造等式解 决关于向量模的取值范围问题 . 同 类 试题 : 1.(2004 年全国 高考试题 )己知向量 a、 b 满足 :|a|=1,|b|=2,|2,则 |a+b|=( ) (A)1 (B) 2 (C) 5 (D) 6 2.(2014 年 浙江 高考试题 )记 x,y= ,x,y= ,设 a,b 为平面向量 ,则 ( ) (A)a+b|,| a|,|b| (B)a+b|,| a|,|b| (C)a+b|2,| |a|2+|b|2 (D)a+b|2,| |a|2+|b|2 子题类型 :(2012 年安徽高考试题 )若平面向量 a,b 满足 :|2 3,则 最小值是 . 解析 :由 |2a+b|2 0 及 恒等式 (2a+b)2-(2=8-(2 88最小值 =点评 :向量恒等式 :(a+b)2-(=4 量的数量积 与 向 量的 模 建立 了 有机联系 ,不仅可由 |a+b|,|求 可 借助 向 量 模 的 非负性 ,可巧 妙解决 向 量数量积的 最大值和最小值问题 . 同 类 试题 : 3.(2014 年 课标 高考试题 )设向量 a,b 满足 |a+b|= 10 ,| 6 ,则 ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)5 4.(2009 年全 国高中数学联赛河南 初赛试题 )设在同一平面上的两个非零向量 a,b 满足 |a+b|= 3 |则 a,b 的夹角的取值范围为 . 子题类型 :(2016 年 高考 全国 乙 卷 试 题 )设向量 a=(m,1),b=(1,2),且 |a+b|2=|a|2+|b|2,则 m= . 202 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 解析 :由 |a+b|2=|a|2+|b|2 m+2=0 m=点评 :由于关于向量垂 直 的命题 |a b|2=|a|2+|b|2 ; |a+b|=| ,都是等价命题 ,因此 ,不仅要注意 其正向应用 ,更要关注其逆向应用 . 同 类 试题 : 5.(2012 年 辽宁 高考试题 )已知两个非零向量 a,b 满足 |a+b|=|则下面结论正确的是 ( ) (A)a b (B)a b (C)|a|=|b| (D)a+b=.(2011 年“卓越联盟”自主招生数学试题 )向量 a、 b 均为非零向量 ,( a,( b,则 a,b 的夹角为 . 7.(2012 年 高考 课 标 试题 )已知向量 a,b 夹角为 450,且 |a|=1,|2 10 ,则 |b|= . 8.(2007 年 浙江 高考试题 )若非零向量 a,b 满足 |a+b|=|b|,则 ( ) (A)|2a|2a+b| (B)|2a|a+2b| (D)|2b|=|a|2+|b|22|a|b| 1 0,3. 由 |a+b|=| 4a+b)2-(=0 a B). 由 ( a |22|b|,( b |22|a| |a|=|b|;由 | |b| 1 =3. 由 |2a+b|2+|2=2(4|a|2+|b|2 |2a+b|2+10=8+2|b|2 |b| |b|=3 2 . 由 |a+b|=|b|及 |a+2b|2+|a|2=|(a+b)+b|2+|(a+b)=2(|a+b|2+|b|2)=4|b|2 |2b|a+2b|C). 由 a+b=28i+16j (a+b)2=68;(=320;又 由 4a+b)2-(=63. 设 |a|=3|b|=|a+2b|=3t,则 |a|=3t,|b|=t;由 |a+2b|2+|=2|a|2+4|b|2=26|=17由 8a+ 2b|2-|=| =由 a+