1_6354092_6.原函数与导函数之间的三个互换性质

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 143 中国 高考数学母题 (第 039 号 ) 原函数与导函数之间的三个互换性质 函数 图像的 轴对称性 、 中心对称性与 周期性 是研究函数的重要对象 ,如能 将 它们 进行 相互转化 ,将是十分美妙的 ,也会为解决 函数 的 轴对称性与中心对称性问题带来 一种新的途径 ,导数为 实现 这一目标提供了平台 . 母题结构 :若 函数 f(x)的 导函数 为 f (x),则 : 函数 f(x)的图像关于 直线 x=a 对称 函数 f (x)的图像关于点M(a,0)对称 ;函数 f(x)的图像关于点 M(a,b)对称 函数 f (x)的图像关于直线 x=a 对称 ;特别地 , f(x)是偶函数 f (x)是奇函数 ; f(x)=奇函数 +常数 f (x)是偶函数 ; f(x)是以 T 为周期的函数 f (x)也是以 T 为周期的函数 . 母题 解 析 :略 . 转化 子题类型 :(2014 年 湖南 高考试题 )若 f(x)=ln()+偶函数 ,则 a= . 解析 :由 f(x)是偶函数 f (x)=1333a 是奇函数 f (0)=23+a=0 a=点评 :由 原函数 与 导函数 的 奇偶 性的相互转化 ,可巧妙解决有关 奇偶函数 的问 题 ,尤其是 偶函数 的问 题 . 同 类 试题 : 1.(2016 年 高考 全国 丙 卷 文 科 试 题 )已知 f(x)为偶函数 ,当 x 0 时 ,f(x)=曲线 y=f(x)在点 (1,2)处的切线方程是 . 2.(2008 年福建高考试题 )如果 函数 y=f(x)的图象如右图 ,那么 导函数 y=f (x)的图象可能是 ( ) 化 子题类型 :(2013年 课标 高考试题 )若函数 f(x)=(1x2+ax+b)的图像关于直线 x=则 f(x)的最大值是 . 解析 :由 f(x)关于 x=称 f (x)=(1-b)x+a 关于 M()对称 2,f (0 a=8,b=15 f(x)=-(x+1)(x+3)(x+5)=-(x+3)(令 t= f(x)=g(t)=-(t+4)(最大值 =16. 点评 :本题是难题 ,该解法为作者给出 ,远优于流行的“标准答案”中的解法 ;注 意 :连 续 函数的对 称中心在函数 图像 上 . 同 类 试题 : 3.(2010 年全 国高中数学联赛河北 初赛 试题 )函数 f(x)=x+1 图像的对称中心为 . 4.(2006年全 国高中数学联赛吉林 初赛 试题 )已知函数 f(x)=x=35对称 g(x)= )对称 . (A)x=3(B)x=32(C)x=611(D)x= 转化 子题类型 :(2007 年江西高考试题 )设函数 f(x)是 为周期的可导偶函数 ,则曲线 y=f(x)在 x=5处的切线的斜率为 ( ) (A)0 (C)51(D)5 解析 :由 f(x)是 为周期的可导偶函数 导 函数 f (x)是 为周期的 奇 函数 f (5)=f (0)=B) 点评 :f(x)是以 f (x)也是以 反之不成立 ;但有 :若 f (x)是以 T 为周期的函数 ,且f(T)=f(0),则 f(x)也是以 同 类 试题 : 5.(2004 年安徽春招试题 ,2004 年全国高考试题 )函数 y=最小正周期为 ( )(A)4(B)2(C) (D)2 144 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 6.(2010年山东高考试题 )观察 ( =2x,( =4 = 归纳推理可得 :若定义在 f(x)满足 f(=f(x),记 g(x)为 f(x)的 导函数 ,则 g( ) (A)f(x) (B)-f(x) (C)g(x) (D)-g(x) 7.(2007 年福建高考试题 )己知对任意实数 x,有 f(-f(x),g(g(x),且当 x0 时 ,f (x)0,g (x)0,则 x0,g (x)0 (B)f (x)0,g (x)0 (D)f (x)0,则 f(x)是偶函数的充要条件是 ( ) (A)f(0)=1 (B)f(0)=0 (C)f (0)=1 (D)f (0)=0 13.(2005 年江西高考试题 )己知函数 y=(x)的 图象如 图所示 :(其中 f (x)是函数 f(x)的导 函 数 ), 下列四个图象中 ,y=f(x)的图象大致是 ( ) 14.(2010 年全 国高中数学联赛山东 初赛 试题 )函数 f(x)=x+4 图像的对称中心为 . 15.(2012 年 四川 高考试题 )设函数 f(x)=(+公差不为 0 的等差数列 ,f(f( +f(14,则 a1+ ) (A)0 (B)7 (C)14 (D)21 由 f(x)为偶函数 f (x)是奇函数 f (1)=(2 切线方程为 :y=2x. 由 y=f(x)的 图象 知 ,f(x)是偶函 教 f (x)是 奇函数 ,且在 附近 f (x)A). 由 f (x)=3关于 直线 x=1对称 ,且 f(1)=2 对称中心为 (1,2). 由 f (x)的图像关于 点 (35,0)对称 a=g(x)=的图像关于直线 x=611对称 C). 由 y =4最小正周期 =2 y 的最小正周期 =2B). 由 g(x)=f (x)是奇函数 g(-g(x)D). 由 f(x)是奇函数 f (x)是偶函数 ,由 当 x0 时 ,f (x)0 当 理 g (x)B). 由 f (x)是奇函数 f (1)=由 f (x)是奇函数 f (1)=B). 由 f(x)为偶函数 f (x)是奇函数 f (1)=(切线方程为 :y=由 f (0)=(a+3)22=0 a=由 f (x)= x+ )是奇函数 f (0)=D). 由 y=(x)的图象知 ,y=(x)是 奇函数 f (x)是 偶 函数 f(x)=奇函数 +常