2_4631110_2.集合中的计数.高考中的亮点

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 011 中国 高考数学母题 (第 002 号 ) 集合中的计数 集合计数问题与枚举计数、排列和组合方法有关 ,不仅具有综合性 ,而且还具有技巧性 ,是数学竞赛的热点问题 ,随着高考的继续和深入 ,集合计数已成为高考的热点问题 . 母题结构 :关于子集个数有如下结论 :如果 A是 则 n;满足条件 A X=的个数等于集合 A 的子集个数 ;满足条件 A X=M 的集合 X 的个数等于集合 子集个数 . 母题 解 析 : 由 集合 A 的 k=0,1,2, ,n) A 的子集个数 = +n; 由 A X=M X=Y,其 Y A,则 集合 集合 集合 由 A X=M 集合 集合 集合 子集个数 . 个数 子题类型 :(2013年 大纲 高考试题 )设集合 A=1,2,3,B=4,5,M=x|x=a+b,a A,b B,则 素的个数为 ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析 :由 , ;又 由 为 3,M 中的最大元素为 8,且 M 中的元素构成连续的整数 M 中 元素的个数 =8=B). 点评 :已知有限数 集 A,B,定义 集合 M=x|x 是 a 与 b 的 运算结果 ,a A,b B,求 集合 M 的 元 素的个数是高考中的一个特殊问题 ,问题的解决常常依赖于 枚举 计数 、排列和组合 方法 . 同 奕 试题 : 1.(2012 年 江西 高考试题 )若 集合 A=,B=0,2,则集合 z|z=x+y,x A,y B中 元素的个数 为 ( ) (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 2.(2012 年 课标 高考试题 )己知 集合 A=1,2,3,4,5,B=(x,y)|x A,y A,A,则 B 中 所含 元素的个数 为 ( ) (A)3 (B)6 (C)8 (D)10 子题类型 :(2011 年安徽高考试题 )设集合 A=1,2,3,4,5,6,B=4,5,6,7,则满足 S A,且 S B 的集合 S 的个数是 ( ) (A)57 (B)56 (C)49 (D)8 解析 :由 A 的子集个数 =26,满足 S B= 的集合 S 的个数 =集合 1,2,3的子集个数 =23 满足 S A,且 S B 的集合 S 的个数 =26B). 点评 :求满足条件的子集个数所使 用 的 基 本 结论是 :n 元集合的子集个数为 2n;解决问题的 基 本 思 想 是 :把待求 的子集个数 转化为某已知集合的子集个数 . 同 奕 试题 : 3.(2011 年 课标 高考试题 )已知 集合 M=0,1,2,3,4,N=1,3,5,P=M N,则 P 的子集 共有 ( ) (A)2 个 (B)4 个 (C)6 个 (D)8 个 4.(2006年辽宁高考试题 )设集合 A=1,2,则满足 A B=1,2,3的集合 ) (A)1 (B)3 (C)4 (D)8 子题类型 :(2009 年 北京 高考试题 )设 A 是整数集的一个非空子集 ,对于 k A,如 果 A,且 k+1 A,那么 k 是 立元” =1,2,3,4,5,6,7,8,由 个元素构成的所有集合中 ,不含“孤立元”的集合共有 个 . 解析 :枚举 ,不含“孤立元”的集合 :1,2,32,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8,共 6 个 . 点评 :集合中的计数问题多种多样 ,难度不一 ,高考中的集合计数问题一般是简直的 ;解决问题的常用方法是 :枚举 计数 、排列和组合 方法 . 同 奕 试题 : 012 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 5.(20014 年 福建 高考试题 )若集合 a,b,c,d=1,2,3,4,且下列四个关系 : a=1; b 1; c=2, d 4 有且只有一个是正确的 ,则符合条件的有序数组 (a,b,c,d)的个数是 . 6.(2010 年 上海 高考试题 )从 集合 U=a,b,c,d的子集中选出 4 个不同的子集 ,需同时满足以下两个条件 : ,U 都要选 出 ; 对选出的任意两个子集 ,必有 A B 或 B 种不同的选法 . 7.(2005 年湖北高考试题 )设 P、 Q 为两个非空实数集合 ,定义集合 P+Q=a+b|a P,b Q=0,2,5,Q=1,2,6,则 P+ ) (A)9 (B)8 (C)7 (D)6 8.(2010年全国高 中数学联赛 辽宁 初 赛 试题 )集合 A=1,3,5,7,B=2,4,6,8,20=s|s=a+b,a A,b B,则集合 ) (A)9 (B)11 (C)13 (D)20 9.(2013年全国高 中数学联赛 湖北 初 赛 试题 )设集合 A=1,3,5,7,9,B=2,4,6,18,若 C=a+b|a A,B B,则集合 . 10.(2008 年江西高考试题 )定义集合运算 :A*B=z|z=xy,x A,y B=1,2,B=0,2,则集合 A*B 的所有元素之和为( ) (A)0 (B)2 (C)3 (D)6 11.(2008年全国高 中数学联赛 湖 南 初 赛 试题 )定义集合运算 :A B=z|z=xy,x A,y B=2,0,B=0,8则集合 A ) (A)16 (B)18 (C)20 (D)22 12.(2006年湖北高考试题 )定义集合运算 :A B=z|z=xy(x+y),x A,y B=0,1,B=2,3,则集合 A ) (A)0 (B)6 (C)12 (D)18 13.(2013 年 山东 高考试题 )己知 集合 A=0,1,2,则集合 B=x A,y A中 元素的个数 是 ( ) (A)1 (B)3 (C)5 (D)9 14.(2015 年 湖 北 高考试题 )已知集合 A=(x,y)|x2+1,x,y Z,B=(x,y)|x| 2,|y| 2,x,y Z,定义集合 AB=(x1+(x1, A,(x2, B,则 A B 中元素的个数为 ( ) (A)77 (B)49 (C)45 (D)30 15.(2005 年天津高考试题 )集合 A=x|0 a,b N,且 A B N=2,3,4,则整数对 (a,b)的个数为 ( ) (A)20 (B)25 (C)30 (D)42 34.(2008 年全国高 中数学联赛 天津 初 赛 试题 )考虑集合 S=1,2, ,10的 所有非空子集 ,若一个非空子集中的偶数的数目不少 于奇数的数目 ,称这个子集是“好子集” ,则“好子集”的数目有 ( )个 . (A)631 (B)633 (C)635 (D)637 由 =1+2=1,1+0=1,1+2=3 集合 z|z=,3C). 由 集合 A 中的 元素 构成的实数 (m,n)对有 5 5 个 ,其中 (m,m) B(m=1,2,3,4,5);又若 (m,n) B,则 (n,m) S,即当 m n 时 ,(m,n)与 (n,m)有且仅有一个属于 B B 中的 元素 个数 =21(5 5D). 由 P=M N=1,3 P 的子集 共有 22=4 个 B). 由 A=1,2,A B=1,2,3 B=3 X,其中 X 满足 X A,所以 ,B 的个数 =X 的个数 =A 的子集 个数 =22=C). 若 a=1 正确 ,则 b=1,矛盾 ;若 b 1 正确 ,则 a 1,c 2,d=4,此时 ,(a,b,c,d)=(3,2,1,4),(2,3,1,4),计 2 个 ; 若 c=2 正确 ,则 a 1,b=1,d=4,此时 ,(a,b,c,d)=(3,1,2,4),计 1 个 ;若 d 4 正确 ,则 a 1,b=1,c 2,此时 ,(a,b,c,d)= (3,1,4,2),(4,1,3,2),(2,1,4,3),计 3 个 符合条件的有序数组 (a,b,c,d)的个数是 2+1+3=6. 由 ,只需考虑另外两个集合 X、 法 ,注意到 X Y,X ,Y U;若 则 X(如 X=a)有 种 选法 ,种 选法 (对 X=a,Y=a,b,a,c,a,d,a,b,c,a,b,d,a,c,d),计有 4 6=24种 选法 ; 若 X 是 二 元集 ,则 X(如 X=a,b)有 种 选法 ,Y 有 2 种 选法 (对 X=a,b,Y=a,b,c,a,b,d),计有 6 2=12 种 选法 . 综上 ,共有 24+12=36 种不同的选法 . 由 0+1=1,0+2=2,0+6=6,2+1=3,2+2=4,2+6=8,5+1=6,5+2=7,5+6=11 P+Q=1,2,3,4,6,7,8,11B). 注意到 s 是奇数 ,且最小值是 3,最大值是 27,中问缺少 17、 共有 11 个 元素 B). 由 a+b 是奇数 ,且最小值是 3,大值是 27,中问缺少 17 集合 C 的所有元素之和 =13(3+27) 278. 由 A*B=0,2,4D). 由 A B=0,16A). 由 A B=0,6,12D). 由 0,1,2,2 B=1,0,1,2C). 由 ,1,1,0,1,2,1,1,0,1,2 x1+2,1,2,3,y1+2,1,2,3,其中 ,当 x1+3 或 3 时 ,y1+ A B 中元素的个数 =2 5+5 7=C). 014 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 由 集合 A 的子集个数 =23=8 真子集的个数 =C). 由 x2+=0 有两不等根 M 的元素个数 =C). 由 1 4 M=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,4),(4,1)C). 由 A B=A B A,即求集合 A 的子集的个数 =23=D). 由 A M A 是 M 的真子集 ,其 个 数 =23,其中 ,11的子集的个数 =2 集合 A 的个数 =7. 由 包含 a,b的 S 的子集 个数 =c,d,e的子集的个数 =23=D). 由 A=1,2,B=1,2,3,4,则满足条件 A C B 的 集合 C 的个数 =3,4的子集 个数 =22=D). 由 符合条件的集合 M 的个数 =513,514, ,2013的子集 个数 =22013=21501. 由 M 1=1,2,3的集合 M 的个数 =1的子集 个数 =B). 由 集合 M 的个数 =CUa1,a2,子集 个数 =B). 由 x X,则 12X,记 M=1,11,2,10,3,9,4,8,5,7,6,则 X 的个数 =M 的真子集 的个数 =263. 由 当 a A 时 ,必有 8A 记 M=1,7,2,6,3,5,4 A 的个数 =M 的真子集 的个数 =2 45. 由 2 A211=A)1(1 1=21 A 满足条件元素个数最少的集合 A 为 2,1. 因满足 A X=M 的集合 X 的个数等于集合 A 的子集个数 ,由 A B=a1,a2,故有 : 当 A= 时 ,满足条件的集合有1 个 ; 当 A 为单元集时 ,A 有 3 个 ,满足条件的集合 B 有 2 个 ; 当 A 为二元集时 ,A 有 3 个 ,满足条件的集合 B 有 4 个 ;当 A 为三元集