3_8064966_13.共轭半径.椭圆本质性质及应用

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 621 中国 高考数学母题 (第 179 号 ) 共轭 半 径 若 椭圆 G:222(ab0)上的两点 A、 B 两点满足 22称 B 为 椭圆 G 的 共扼 半 径 ;椭圆 的 共扼 半 径有许 多 绝妙性质 ,这些性质可充分揭示椭圆的 本质 特 性 . 母 题结构 :( )(基本性质 )若 A(x1, B(x2,且 椭圆 G:222(ab0) 的 共扼 半 径 ,则 : a2, |+|=a2+|+| =2(a2+其中 ,P 是 中点 ); 面积 1ab,| ( )(直线方程 )若 A(x1, B(x2,椭圆 G:222(ab0)上 的 任 意两点 ,则 :当且仅当 椭圆 G 的 共扼半 径 ,即直线 AB:ax+by=1(其中 , 2+ 2=2,此时 ,直线 椭圆2221的切线 )时 ,21( )(向量结论 )若 A(x1, B(x2,且 椭圆 G:222(ab0)的 共扼 半 径 ,且 、是非零常数 ),则动点 P 的轨迹方程是222 2+ 2,特别的 ,点 圆 G 上 2+ 2=1; 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2011年山东高考试题 )已知直线 :32x+22y=1交于 P(x1,Q(x2,不同点 ,且 面 积 S26,其中 ( )证明 : ( )设线段 ,求 |最大值 ; ( )椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 SSS26？若存在 ,判断 形状 ;若不存在 ,请说 明理由 . 解析 :( )由 S26 S21,;( )由 4|+|=2(a2+10 2(2|(2|2+|=10 |25 |最大值 =25;( )由 SSS26 |+|=5,|+| =5,|+|=5 |+|+|=215 |210 点 D,E,G 是圆 O:x2+5与 椭圆 C 的交点 点D,E,G 只必有两点与原点 O 共线 这两点与原点 O 构成 的 面积为 0,矛盾 在点 D,E,G,满足条件 . 点评 :己知 A(x1, B(x2,椭圆 G:222(ab0)上的任意两点 ,利用椭圆的参数方程易得 : 积的最大值 =21 面积 1 A, 径的端点 . 同 类 试题 : 1.(2015 年上海高考试题 )已知椭圆 ,过原点的两条直线 、 B 和 C、 D,记得到的平行四边 622 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 形 面积为 S.( )设 A(x1,C(x2,用 A、 C 的坐标表示点 C 到直线 并证明 S=2| ( )设 21,求面积 S 的值 . 2.(2015 年 浙江 高考试题 )已知椭圆22x+ 上两个不同的点 A,y=21对称 .( )求实数 m 的取值范围 ; ( )求 积的最大值 (O 为坐标原点 ). 解析 :( )设 (x0,由 21 P(21),由 圆 内 m (- , (36,+ ); ( )设 A( 2 ,B( 2 ,则 S 2| |22 积的最大值 =22. 程 子题类型 :(2014年课标 高考试题 )已知点 A(0,椭圆 E:222(ab0)的离心率为23,直线 斜率为332,O 为坐标原点 .( )求 E 的方程 ; ( )设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点 ,当 面积最大时 ,求 l 的方程 . 解析 :( )设 F(则32 c= 3 ,又3 a=2 b=1 E 的方程 :42x+; ( )设 A(2,B(2(0 b0),则 e=2, 2 a=2,c= 2 椭圆 的标准方程 :42x+22y=1; ( )设 P(x,y),M(x1,N(x2,由 21 ;由 2 x=x2,y=+ 2(=(4(4(20 点 P 的轨迹 是左 、 右焦点 分别 为 10 ,0)、 10 ,0)的椭圆 存在两个定点 得 |4 5 为定值 . 点评 :母题 可拓展为 :若 A、 B 为椭圆 G:222(ab0)上的两点 , 、是非零常数 ),则 点 上 ( 2+ 2-1) (0. 同 类 试题 : 5.(2011年 重庆 高考 文科 试题 )如图 ,椭圆的中心为原点 O,离心率 e=22,一条准线的方程是 x=2 2 . ( )求椭圆的标准方程 ;( )设动点 P 满足 :2其中 M,N 是椭圆上的点 ,直线 斜率之积为 问 :是否存在定点 F,使得 |点 P 到直线 l:x=2 10 的距离之比为定值？若存在 ,求 F 的坐标 ;若不存在 ,说明理由 . 6.(2009 年全国 高考试题 )已知椭圆 C:2222 =1(ab0)的离心率为 33 ,过右焦点 F 的直线 相交于 A、 B 两 点 ,当 L 的斜率为 1 时 ,坐标原点 O 到 L 的距离为22.( )求 a, ( )C 上是否存在点 P,使得当 L 绕 F 转到某一位置时 ,有 立？若存在 ,求出所有的 P 的坐标与 L 的方程 ;若不存 在 ,说明理由 . 7.(2007 年 陕西 高考试 题 )已知椭圆 C:222(ab0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 . ( )求椭圆 C 的方程 ;( )设直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点 ,坐标原点 O 到直线 l 的距离为23,求 积的最大值 . 8.(2015 年山东高考试题 )平面直角坐标系 ,已知椭圆 C:222(ab0)的离心率为23,左、右焦点分别是 为半径的圆与以 为半径的圆相交 ,且交点在椭圆 C 上 . ( )求椭圆 ( )设椭圆 E:22424,上任意一点 ,过点 y=m 交椭圆 E 于 A,B 两点 ,射线 椭圆 E 于点 Q.(i)求| |( 积的最大值 . ( )由 A(x1, 直线 l1:y=11xy x,即 点 d=2121 2121|=2121 1221|;由 |2| 2 2121 S=|AB|d=2| ( )设 A(x1,C(x2,则1122- 22 S=4 21 2 . ( )设 点 P(x0,由 21 P(21),由 P 在 椭圆 内 m (- , (36,+ ); ( )设 A( 2 ,B( 2 ,则 S 2| |22 积的最大值 =22. 624 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )椭圆 :22x+;( )设 A( 2 ,B( 2 (0 2 ),则 1| 22| |22,当且仅当 | |=1,即 =0时 ,等号成立 ,此时 ,直线 AB:y=214x+2. ( )设 A(x1,b),B(x2,b),由42x+ = 2 21 b S=21b|2b 21 b 11; ( )由 =1 S=21 A(x0,则 B(1由 |2 (+(=4 5(420x+3,又 由420x+ 31 (=8 362 332 直线 ( (y0)y=(x+21直线 AB:y=22x+26或 y=22y=6或 y=( )椭圆 :42x+22y=1;( )设 P(x,y),M(x1,N(x2,则由 直线 N 的斜率之积为 112 ;由 2 x=x2,y= , +2(=( 4(4(20202x+102y=1 动点 P 的轨迹是椭圆 :202x+102y=1,其右焦点 F( 10 ,0),右准线为 直线l:x=2 10 |点 P 到直线 l:x=2 10 的距离之比为定值 e=22. ( )a= 3 ,b= 2 ;( )由 ( )知椭圆 C 的方程为 :23 22 =1,即 2,右焦点 F(1,0),设 A(x1,B(x2, 2,2,由 P(x1+x2,y1+假如 ,使得 ,则 2(x1+3(y1+ =6 2=0;当直线 l 的斜率不存在时 , =(2,0) P(2,0),此时点 P 不在椭圆 C 上 l 的斜率存在时 ,设直线 程为 :y=k(代入 2得 :(2+3k2) x1+2326 ,232 63 k2(22324 22232 63 +322324 +3=0 x1+3 ,y1+y2=k(x1+(i)当 k= 2 时 ,P(23 , 22 ),直线 y= 2 (当 k=- 2 时 ,P(23,22),直线 l 的方程为 y=- 2 ( ( )由 e=22136,a= 3 b=1 椭圆 C:32x+;( )因为当且仅当 |+|=a2+ 时 ,S 取得最大值=213;又由 坐标原点 O 到直线 23 |2 S 取得最大值 =213. ( )椭圆 C:42x+;( )(i)设 P(x0,| | ,则420x+