3_8064986_1.立体几何中的位置证明

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 535 中国 高考数学母题 (第 159 号 ) 立体几何中的位置证明 立体几何中的 位置 关系包括直线与直线、直线与平面和平面与平面垂 直 与平行 等 ;垂 直 与 平行 关系是立 体几何 的核心 ,无论如何强调垂 直 与 平行 在 立体几何中的 地位都不过分 ;证 明 垂 直 与 平行 有哪些基本方法 ? 母题结构 :( )(换序分析 )直线 a 直线 b b a(换序 ) b m,且 b n(m,线 ) m b,且 n b(换序 ) 直线与直线垂 直 转化为 直线与平面垂 直 ,如此下去 ,直到已知或基本结论 ; ( )(转化 分析 )三种 平行关系 的相互转化关系如表 : 转化 分析法 是解决位置关系 (平行 与垂 直 )问题的通 法 ,也 是 立体几何 的 基本思想 ;对 转化 分析法 不仅要把 握 “ 平行 ” , “ 垂 直 ”内部之间的相互转化 ,还要领悟掌握“ 平行 ”与“ 垂直 ”之间的相互转化 ; ( )(中点 方法 )构 造 中点 :除取棱的中点外 ,还可利用平行四边形的对角 线互相平分 ,构造中点 ; 中点 性质 :等腰三角形三线合一定理 ,中位 线 定理 等 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2008 年 江 苏 高考试题 )如图 ,在四面体 ,D, E,F 分别 是 D 的中点 ( )直线 面 ( )平面 面 解析 :( )由 E,F 分别是 D 的中点 平 面 D 平 面 直线 面 )因 平面 面 面 中 : 由 D 成立 ; 由 D 成立 平面 面 点评 :证明线线垂直的一般程序是 :换序分析 ,即要证 a b,去证 b a;线面转换 ,即要证 b a,去证 b过 a 的某一平面 ;证明线面垂直的一般程序是 :面线转换 ,即要证 a平面 ,去证 a平面内的两条相交直线 m,n,转化为线线垂直的问题 ;换序分析 ,即要证 a m,去证 m a; 线面转换 ,即要证 m a,去证 m过 a 的某一平面 ;证明面面垂直一般有两种思路 :面线转换 ,即要证平面平面 ,去证平面内的某条直线 a平面 ,转化为 线 面垂直的问题 ,这条思路的难点是要有较强的几何直观 ;面面转换 ,即要证平面平面 ,只需证平面平面 ,而平面平面是已知的 ,或易证的 . 同 类 试题 : 1.(1983 年全国高考试题 )如图 ,在三棱锥 ,S 在底面上的射影 N 位于底面的高 ,M 是侧 棱 的一点 ,使截面 底面所成的角等于 证 :直于截面 2.(2014 年 山东 高考试题 )如图 ,四棱锥 ,面 D B=1E,F 分别为线段 C 的中点 .( )求证 :面 ( )求证 :面 子题类型 :(2007 年 山东 高考试题 )如图 ,在直四棱柱 已知 B )求证 :( )设 E 是 一点 ,试确定 E 的位置 ,使 平面 说明理由 . 解析 :( )在直四棱柱 由 四边形 平面 平面 ( )设 ,;要使 平面 使 E 是 中点 ;所以 ,当 E 是 中点时 ,可使 平面 536 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 点评 :直线与直线平行的一个典型问题是 证明四点共面 ;根据公理 3,四点共面 一般转化为直线与直线平行 ;证明直线与平面平行的一般思路是证明该直线与平面内的某一条直线平行 ,其中的关键是寻找平面内的某一条直线 ,常见思路是寻找过该直线的某一平面与已知平面的交线 ;证明面 面平行的一般思路是证明某一平面内的两条相交直线与另一平面平行 ,从而转化为线面平行的问题 . 同 类 试题 : 3.(2007 年安徽高考试题 )如图 ,在六面体 四边形 边长为 2 的正方形 ,四边形 的正方形 ,面 面 C 共面 ,D 共面 : 4.(2013 年 江 苏 高考试题 )如图 ,在三棱锥 ,平面 平面 C ,B,过 F垂足为 F,点 E,G 分别是棱 C 的中点 ( )平面 平面 )A . 子题类型 :(2014 年 四川 高考试题 )在如图所示的多面体中 ,四边形 ( )若 明 :直线 平面 ( )设 D,E 分别是线段 在线段 是否存在一点 M,使直线 平面 证明 你的结论 . 解析 :( )由 四边形 1A 平面 直线 平面 ( )取 中点 M,设 O 为 则 O 为 D,E 分别是线段 中点 平面 E 平面 平面 线段 存在一 点 M(线段 中点 ),使直线 平面 点评 :选取中点证 平行 的原 则 为 :若知一中点 ,即想 法找出另一个中点 ,注意能否应用三角形中位线、梯形中线等 ,使之能利用中位线性质 ,得到两直线平行或平行四边形 ;当题 中给出中点或在一个三角形中有两边相等时 ,利 用好中点 性质 ,即等腰三角形三线合一定理 ,往往是解题的关键 同 类 试题 : 5.(2009 年 江 苏 高考试题 )如图 ,在直三棱柱 E,1B,中点 ,点 D 在 ( )平面 ( )平面 平面 6.(2011 年 江 西 高考试题 )如图 ,在 , B=2,C=2,P 为 上一 动点 , 点 D,现将 折至 ,使平面 平面 ( )当棱锥 A 体积最大时 ,求 长 ; ( )若点 P 为 中点 ,E 为 A C 的中点 ,求证 :A B 7.(1986 年全国高考试题 )如图 ,圆 O 的直径 ,直于圆 O 所在的平面 ,C 是圆周上不 同于 A、 B 的任一点 平面 直于平面 8.(2010 年 北京 高考试题 )如图 ,正方形 四边形 在的平面互相垂直 2 ,F=1. ( )求证 :面 ( )求证 :面 9.(2011 年 北京 高考试题 )如图 ,在四面体 ,A D,E,F, G 分别是棱 C,B 的中点 . ( )求证 :平面 ( )求证 :四边形 矩形 ; ( )是否存在点 Q,到四面体 条棱的中点 的距离相等？说明理由 . 10.(2011 年 山东 高考试题 )如图 ,在四棱台 平面 面 平行四边形 ,D= 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 537 00.( )证明 : ( )证明 :平面 11.(2013 年 北京 高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,B D=2平面 底面 A 和 F 分别是 中点 ,求证 : ( )底面 ( )平面 ( )平面 平面 12.(2015 年 江 苏 高考试题 )如图 ,在直三棱柱 已知 C=, ( )平面 ( )13.(2013 年 山东 高考试题 )如图 ,四棱锥 ,B B ,F,G,M,N 分别为 B,D,中点 . ( )求证 :平面 ( )求证 :平面 平面 14.(2015 年 山东 高考试题 )如图 ,三棱台 ,H 分别为 C 的中点 . ( )求证 :平面 ( )若 B 证 :平面 平面 由 截面 中 : 平面 知 ),且 N 平面 知 ),即 成立 ; 由 平面 截面 底面所成的角 00 成立 直于截面 ( )设 E 交于点 O,由 C=21E 四边形 平行四边形 O 是 中点 ,又 F 是 中点 面 ( )由 面 C 平行四边形 菱形 面 由 面 面 平面 面 1 交点为 O,中点分别为 E、 F,则 E,F 行 且等于 1F 平行且等于 行且等于 因 C 共面 ;作 面 点 H,则 平行、相等 ,且垂直于平面 四边形 正方形 点 H 与点 O 重合 D 共面 . ( )由 B,B B 的中点 ;又 点 E,G 分 别是 C 的中点 G 平面 平面 ( )由 B ,平面 平面 平面 C 平面 A . ( )由 E,F 分别是 1C 的中点 平面 C 平面 平面 ( )在 直三棱柱 平面 平面 平面 平面 ( )设 PA=x,则 PB=x,直 角梯形 面积 S=21(2+x)(2由 A P 面 平面 A P 平面 棱锥 A 体积 V(x)=31S A P=61(2+x)(2-x)x V (x)=61(4 当 x=332,即 32时 ,V(x)取最大值 ; ( )取 A B 的中点 F,由 E 为 A C 的中点 21 点 P 为 中点 21四边形 平行四边形 等腰直角 A ,A B A B 由 所在的平面 的直径 平面 平面 平面平面 直于平面 ( )设 于点 O,由 2 C=1 F=1;又 四边形 平行四边形 面 ( )由平面 平面 D 平面 F=1 四边形 形 面 538 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 ( )由 D,P, 平面 C 平面 平面 ( )由 理可得 理可得 四边形 平行 四边形 ;又由 平行 四边形 矩形 ; ( )设 B 的中点分别是 M,N, 交点为 Q,由 四边形 矩形 E=G;又由 四边形 矩形 N=G 存在点 Q,到四面体 条棱的中点的距离相等 . ( )由 平面 00 平面 ( )设 于点 O,由底面 平行四边形 O 是 中点 ;由平面 平面 这两个平面同时都和平面 D=C 四边形 平面 平面 平面 ( )由 面 底面 平面 底面 ( )由 D=2 是 B 四边形 平行四边形 平面 ( )由 B 底面 平面 F 平面 平面 平面 平面 平面 ( )由 四边形 E 是 中点 ,又