3_8064990_3.数学期望与典型分布

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 519 中国 高考数学母题 (第 156 号 ) 数学期望与典型分布 离散型随机变量的分布列和数学期望具有递进关系 ,若分布列已知 ,可利用定义直接求数学期望 ;数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 ,其中 ,二项分布和正态分布是两个典型分布 . 母题结构 :( )(概率分布 ):分布列 :如果离散型随机变量所有可能的 取值为 :x1,x2, ,取值 P( =pi(i=1,2,3, , n),则称右表为随机变量的分布列 ; 数学期望 :称 +记为 ( )(二项分布 ): 定义 :若离散型随机变量 ( =0,1,2, ,n)的概率分布为 P( =k)=-p)称 服从二项分布 ,记作 B(n,p); 公式 :数学期望 差 ( )(正态分布 ):定义 :如果随机变量的分布密度函数 f(x)=222 )(21 xe,x (- ,+ ), 其中实数 , ( 0)是参数 ,则称随机变量服从参数为、的正态分布 ,用 N( , 2)表示 ;性质 :f(x)0;分布密度曲线 分布密度曲线 x=对称 ;分布密度曲线 C与 ;统计意义 : , 2,越大总体分布越分散 ,越小总体分布越集中 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2016 年 天津 高考 试 题 )某小组共 10 人 ,利用假期参加义工活动 ,已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分 别为 3,3,4,现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会 . ( )设 A 为事件 “ 选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4” ,求事件 A 发生的概率 ; ( )设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值 ,求随机变量 X 的分布列和数学期望 . 解析 :( )从 10 人中选出 2人的选法共有 5 种 ,参加次数的和为 4,情况有 : 1 人参加 1 次 ,另 1 人参加 3 次 ; 2 人都参加 2 次 ,共有 22=15 种 P(A)=31; ( )X 的可能取值为 0,1,2;P(X=0)=210242323C =154,P(X=1)=21014131313C =157 P(X=2)=154 X 的分布列为 . 点评 :对 同 类 试题 : 1.(2015 年 天津 高考 试 题 )为推动乒乓球运动的发展 ,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加 ,现有来自甲协会的运动员 3 名 ,其中种子选手 2 名 ,乙协会的运动员 5 名 ,其中种子选手 3 名 ,从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛 . ( )设 A 为事件 “ 选出的 4 人中恰有 2 名种子选手 ,且这 2 名种子选手来自同一个协会 ” ,求事件 A 发生的概率 ; ( )设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数 ,求随机变量 X 的分布列和数学期望 . 2.(2016 年 山东 高考 试 题 )甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动 ,每轮活动由甲、乙各猜一个成语 ,在一轮活动中 ,如果两人都猜 对 ,则“星队”得 3分 ;如果只有一个人猜对 ,则“星队”得 1 分 ;如果两人都没猜对 ,则“星队”得 0 分 每轮猜对的概率是32;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响 假设“星队”参加两轮活动 ,求 :( )“星队”至少猜对 3 个成语的概率 ; ( )“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 子题类型 :(2008 年安徽高考试题 )为防止风沙危害 ,某地决定建设防 护绿化带 ,种植杨树、沙柳等植物 n 株沙柳 ,各株沙柳的成活与否是相互独立的 ,成活率为 数学期望 ,标准差 520 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 为26.( )求 n,p 的值 ,并写出的分布列 ;( )若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活 ,则需要补种 解析 :( )由 B(n,p) ,(26)2 ,23 n=6,p=21 P( =i)=1)6(i= 0,1,2,3,4,5,6) 的分布列为 : ( )P( 3)=P( =3)+P( =4)+P( =5)+P( =6)=3221. 点评 :二项分布 的期望和方差 公式 需 理解、记忆、掌握 ,二项分布 的期望和方差 公式 在 解答题中可直接使用 ;先求 成功概率 p,再利用 二项分布 的期望和方差 公式 解决相关问题 ,是解决 该类问题的“母法” . 同 类 试题 : 3.(2009 年辽宁高考试题 )某人向一目标射击 4 次 , 个不同的部分 ,第一、二、三部分的面 积之比为 1:3:击中任何一部分的概率与其面积成正比 . ( )设 X 表示目标被击中的次数 ,求 X 的分布列 ; ( )若目标被击中 2 次 ,A 表示事件 :第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次” ,求 P(A). 4.(2012年 四川 高考试题 )某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 (简称系统 ),系统 在任意时刻发生故障的概率分别为101和 p.( )若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为5049,求 p 的值 ; ( )设 系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ,求 的概率分布列及数学期望 子题类型 :(2007 年 课标 高考试题 )如图 ,面积为 S 的正方形 有一个不规则的图形 M,可按下面方法估计 在正方形 若 中 ,则 假设正方形 边长为 2,并向正方形 0000 个点 ,以 X 表示落入 M 中的点的数目 . ( )求 X; ( )求用以上方法估计 的概率 . 附表 :P(k)= 100000 10000 解析 :由每个点落入 X B(10000,41);( )000041=2500;( )因 10000X 4 所求概率为 P(0)=P(5)P(0)+P(0)P(5)+P(0)P(0)=设该车主购买乙种保险的概率为 p,由题意知 p(p= )该地 1 位 车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率 =1-( )对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率 =(X B(100, 00 0. 设 进入商场的 1 位顾客购买甲、乙 商品的 事件分别为 A、 B,则 A、 B 相互独立 ,且 P(A)=(B)=( )事件 M:“ 进入商场的 1 位顾客购买甲、乙 两种商品中的一种 ” =A B P(M)=P(A B)=P(+P(A B)=( )事件 N:“ 至少购买甲、乙两种商品中的一种 ” 的对立 事件 N =A B P(N )=P(A B )=P(N)=( ) 可取 0,1,2,3;P( =k)=-k(k=0,1,2,3) 的分布列 为 : 由 B(3, 3 ( )设参赛学生的分数为 ,(法一 )由 N(70,102) P( 90)=1 90)=1107090)=12)= 成绩在 90 分以上 (含 9