3_8065002_10.数列的单调性和不等式问题

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 477 中国 高考数学母题 (第 147 号 ) 数列的单调性和不等式问题 数列的单调性 质 与不等式密切相关 ,数列 与 不等式 的结合始终是高考的热点 ,其中的试题可分为 :数列的单调性、 基本数列 与递推 数列 不等式 等三 类 . 母题结构 :( )(数列的单调性 )若 单调 递减 的 等差数列 前 n 项和为 ,则 0,且 1),当 等 比 数 列的 比 00,使得 :2 )2 =n+1立？并证明你的结论 . 解析 :( )由 =a1+n+2=a1+a2+,q0)知 ,2 ( )由2 )2 =n+1 (,且 2=c(n+2);由 20 满足条件 . 点评 :对基本数列不等式的证 明 ,一般使用基本法 ;但对等比数列 ,掌握 :=a1+n+2=+q)+ 把关于 n+1, 的不等式等价转化为关于 基本数列的不等式还包括等差、 等比数列中的比较大小问题 . 同 类 试题 : 3.(2004 年全国高考试题 )己知 等比数列 ,62. ( )求 通项公式 ; ( )设 前 n 项和 ,证明 :2121. 4.(2009 年湖北高考试题 )己知数列 前 n 项和 1)(n 正整数 ). ( )令 证数列 等差数列 ,并求数列 通项公式 ; ( )令 cn=n=c1+ +比较 并予以证明 . 子题类型 :(2012 年重庆高考试题 )设数列 前 n+1=中 0. ( )求证 :首项为 1 的等比数列 ; ( )若 1,求证 :n(a1+并给出等号成立的充要条件 . 解析 :( )由 =S2=a2=0) =;若 ,则 = Sn=n ;若1,则 = =) 11a 211 首项为 1 的等比数列 ; ( )作等差数列 b1=a1,bn=,q则 bk= )1( 11 n(k n),由 ( f(x)=(x0),则 f (x)=( x)=f(1)=0 n(a1+ 点评 :对由递推数列 ,而产生的不 等式问题 ,一般有两种思路 :由递推关系式 ,首先着意于求数列的通项和前 n 项和 , 然后 ,把待证不等式转化为关于 着意于对递推关系式的变换 . 同 类 试题 : 5.(2007 年天津高考试题 )在数列 ,=4,n N*. ( )证明 :数列 等比数列 ; ( )求数列 前 n; ( )证明 :不等式 4任意 n N*皆成立 . 6.(2015 年浙江高考试题 )已知数列 足 1且 =n N*). ( )证明 :112 (n N*); ( )设数列 前 n 项和为 明 :)2(2 1n1(2 1n(n N*). 7.(1992 年全国高考试题 )设等差数列 前 n 项和为 知 2, 1+n 都成立 . ( )求数列 通项公式 ; ( )设 , =100,当 n 为何值时 ,数列 的前 n 项和最大？ 9.(2010 年 上海 高考试题 )已知数列 前 n 项和为 Sn=n N*. 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 479 ( )证明 :等比数列 ; ( )求数列 通项公式 ,并求出 n 为何值时 ,并说明理由 . 10(2012 年 四 川高考 理科 试题 )已知数列 前 n 项和为 2+n 都成立 . ( )求 a1, ( )设 ,数列 的前 n 项和为 n 为何值时 ,求出 11.(2010 年 江 苏 高考试题 )设各项均为正数的数 列 前 n 项和为 知 2a2=a1+列 公差为 d 的等差数列 .( )求数列 通项公式 (用 n,d 表示 ); ( )设 c 为实数 ,对满足 m+n=3k 且 m n 的任意正整数 m,n,k,不等式 n求证 :c 的最大值为29. 12.(2008 年全 国高中数学联赛浙江初赛 试题 )设非负等差数列 公差 d 0,记 前 n 项和 ,证明 : ( )若 m,n,p N*,且 m+n=2p,则 ( )若 0051,则 200711n 008. 13.(2005 年北京春招试题 )己知 等比数列 ,8.等差数列 ,b1+b2+b3+b4=a1+a2+0. ( )求数列 通项公式 ; ( )求数列 前 n 项和 式 ; ( )设 Pn=b1+b4+ +n= +,其中 ,n=1,2,3, 并证明你的结论 . 14.(2005 年福建高考试题 )己知 公比为 q 的等比数列 ,且 a1,a3, ( )求 q 的值 ; ( )设 以 2 为首项 ,q 为公差的等差数列 ,其前 n 项和为 n 2 时 ,比较 并说明理由 . 15.(2005 年辽宁高考试题 )己知函数 f(x)=13xx(x 设数列 足 :,=f(数列 足 : |,b1+b n(n N*).( )证明 :2 )13( ( )证明 :当 x 3 时 ,f(x) f(3)n=1,2 时 ,25 480 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )由 =4 -(n+1)=4( 数列 首项 =,且公比为 4 的 等比数列 ;( )由 ( )得 :n=4n 14 n+2 )1( )由 43 3(3n+4) 0,对任意 n N*皆成立 . ( )由 1且 = an 1,且 11 (1 0 1;又由11 2 112 ; ( )由 Sn= +( +()=21;又 由 =11 1 112 n112 n )1(2 1n 21n )2(2 1n )1(2 1n . ( )d (3);( )由 2+(d 0 n 6 2, , ( )当 n=1 时 , 0;若 ,则 ;若 0,则 2,2 2( )当 , =100 时 ,令 bn=20 n 6 数列 的前 6 项和最大 . ( )由 Sn=4,5( 等比数列 ; ( )由 5)5(65) (65) ,由 ( )知 ,2 +1,+ 2 ;当 n 2 时 ,由 2+(2+ 2 )3+2 2 )+(2+ 2 )( = 2 2 +1)( 2 )0 n 7 当 n=7 时 ,且 7( )2 )因 Sn= m+n=3k m2+9n29c 的最大值为29. ( )设 n(A0,A+B0);由 m+n=2p (22=)() 2 )()( 2=()2 ()() p()2= )200711n 008. ( ) )31n;( )9n=36n 3n( ( )q=1 或 )当 q=1 时 , )2)(1( q=4 )10)(1( ( )由 |13 |=|113 |,又因