3_8065028_3.将军饮马问题在高考中的华丽呈现

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 381 中国 高考数学母题 (第 122 号 ) 将军饮马问题 在高考中的华丽呈现 曾经 有位将军向 古希腊学者海伦 求教一个问题 :如图 ,将军从 A 地出发到河边饮马 ,然后再到 B 地军 营视察 ,问走什么样的路线最短呢？这个问题后来被人们称作经典的“将军饮马”问题 . 母题结构 :(将军饮 马 问题 )已知 直线 l 和 l 的同侧两点 A、 B,在直线 l 上求 一点 C,使 C 最小 . 母题 解 析 :如图 ,先作 B 关于 l 的 对称点 B ,连接 与 l 相交于 C 点 ,则 C 最小 :在 l 上任取一点 C ,则 =B C ,由 三角形的两边之和大于第三边 + +B C =C =C. 子题类型 :(2013 年 重庆 高考试题 )已知圆 +(=1,圆 +(=9,M、 N 分别 是圆 P 为 x 轴上的动点 ,则 |最小值为 ( ) (A)5 2 (B) 17 (C)6 (D) 17 解析 :由 |(|1)+(|3)|4,作 称点 | |4 |4=5 2 A). 点评 :将军饮马问题 的 基 本 模型 是 :若点 A、 B 在直线 l 同侧 ,当点 P 在直线 (B 与 B 关于 直线 l 对称 )与 l 的交点时 ,| 最小值 . 同 类 试题 : 1.(2008年 高考 课 标 试题 )己知点 那么点 (2,距离与点 焦点距离之和取得最小值时 ,点 P 的坐标为 ( ) (A)(41, (B)(41,1) (C)(1,2) (D)(1,2.(2006 年江西高考试题 )P 为双曲线1169 22 M、 N 分别是圆 (x+5)2+ 和圆 (+ 上的点 ,则|最大值为 ( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 子题类型 :(2007年全 国高中数学联赛江西 初赛试题 )过直线 l:y=x+9上的一点 P 作一个长轴最短的椭圆 ,使其焦点为 3,0),0),则椭圆的方程为 . 解析 :由 3,0)关于直线 y=x+9 的对称点 F() 2a |6 5 5 6 椭圆 :452x +362y =1. 点评 :将军饮马问题 的 一个典型 应用 是 在定直线 使得过该点 的 椭圆 长轴最短 或 离心率取得最大值 ;该类 问题 可等价转化为 直线上一点到椭圆的两焦点的距离之和的最小值等于长轴长时 ,直线与椭圆相切 ;反之 ,也成立 . 同 类 试题 : 3.(2013 年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二 )已知椭圆 C 的两个焦点分别是 1,0)和 ,0),且 C 与直线x+ 有公共点 ,则 C 的离心率的最大值是 . 4.(2011 年“卓越联盟”自主招生数学试题 )已知 椭圆的 两 个焦点为 1,0)、 ,0),且椭圆与直线 y= 相切 圆的方程 为 . 子题类型 :(2013 年四川高考 文 科 试题 )在平面直角坐标系内 ,到点 A(1,2),B(1,5),C(3,6), D(7,距离之和最小的点的坐标是 . 解析 :当且仅当点 对角线的交点上时 ,点 直线 l 382 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 AC:y=2x,直线 BD:y= 直线 于点 P(2,4) 距离之和最小的点的坐标是 (2,4). 点评 :将军饮马模型 一个 拓展 是把一动点到两定点距离和 (的最小值问题拓展到一动点到三、四 ,甚至 n 个定点距离和的最小值问题 ,由此可得三角形中的 费马点 和凸四边形中的对角线的交点分别是 取得 最小值的 点 . 同 类 试题 : 5.(2007年全 国高中数学联赛 试题 )在平面直角坐标系内 ,有四个定点 A(),B(1,C(0,3),D()及一个动点 P,则|最小值为 . 6.(2013年四川高考 理 科 试题 )设 2, , 内的 在平面 内的所有点中 ,若点 1, ,则称点 1, ,位点” 线段 的任意点都是端点 A,B 的中位点 若 A,B,C 三个点共线 ,C 在线段上 ,则 C 是 A,B,C 的中位点 ;直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点 ;若四个点 A,B,C,D 共线 ,则它们的中位点存在 且唯一 ;梯形对角线的交点 是该梯形四个顶点的唯一中位点 (写出所有真命题的序号 ). 7.(2009 年辽宁高考试题 )己知 F 是双曲线124 22 =1 的左焦点 ,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点 ,则 |最小值为 . 8.(2015年 高考 课 标 试题 )已知 :的右焦点 ,的左支上一点 ,A(0,6 6 )该三角形的面积为 . 9.(1993 年 第四 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二 )试题 )1,1),1,椭圆的两个焦点 ,直线 x+y=1 与 椭圆有且仅有一个交点 ,则椭圆的中心到准线的距离是 . 10.(1990 年第一届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二 )试题 )椭 圆的两个焦点是 ,3),一条切线为 4x=3y,这个椭圆的离心率是 . 11.(2011 年 台湾高校 (对澳门地区 )试题 )设 f(x)= 522 1342 则 f(x)的最小值为 . 12.(2004 年 第十五 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二 )函数 y= 222 332 到最大值时 ,x 的值是 . 设 P 到准线的 距离 为 d,焦点为 F(1,0),则 |d |d 3 P(41,故选 (A). 圆 (x+5)2+ 和圆 (+ 的圆心恰是双曲线的左、右焦点 ,则 | |2-| 2a+3= (D). 由 ,0)关于直线 x+ 的对称点 Q(3,2) 2a=|2 5 e 的最大值 =55. 由 点 ,0)关于直线 y= 的对称点为 T( 3 ,1- 3 ),由椭圆的切线性质知 :2a=|2 2 a= 2 ; 设 D 交于 F 点 ,则当动点 P 与 F 点重合时 ,|到最小值 |3 2 +2 5 . 由题意知 , 正确 , 唯一 错 ;由费马点知 错 ; 正确 . 设 右焦点为 E,则 |4 |4 |4=5+4=9. 设 双曲线 C 的 左焦点为 E,则 |2 周长 =|15+|2 |17=32,此时 ,直线 x+66y=1 与 双曲线 C 的交点 P 的纵坐标 6 面积 = 面积 - 面积 =12 6 . 由 1,1)关于直