3_8065037_4.二项展开式的赋值方法

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 349 中国 高考数学母题 (第 113 号 ) 二项展开式的赋值方法 由于二项式与其 展开式 之间 恒等 关系 ,这为应用 赋值方法 提供了 基础 ;使 用 赋值方法 可解决 二项式 展开式 中的 二项式系数和 与 展开 式 项的 系数和 的有关结论 ;赋值方法体现了整体处理问题的思想 . 母题结构 :若 f(x)=M(x)+N(x)n=a0+ + :常数顶 a0=f(0);最高项的系数 (x)+N(x)最高项的系数的 n 次方 ;系数和 a0+a1+ +an=f(1);偶数项系数和 a0+a2+ =21f(1)+f(;奇数项系数和 a1+a3+ = 21f(1)1); 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2004 年湖北高考试题 )已知 ( 3123 28,则展开式中 (用数字作 答 ). 解析 :由 ( 3123 2n=128 n=7 =23x )731x )k 5. 点评 :二项式 (1+x)n= +开 中的 组合 数 称为 二项式系数 ,利用赋值 方法可得 : 所有 二项式系数的和等于 2n,即 +n(只须令 x=1); 奇数项的二项式系数和 =偶 数项的二项式系数和 =2须 再 令 x= 同 类 试题 : 1.(2015 年 湖 北 高考试题 )已知 (1+x) 项与第 8 项的二项式系数相等 ,则奇数项的二项式系数和为 ( ) (A)29 (B)210 (C)211 (D)212 2.(2005 年 山东 高考试题 )如果 (31x)28,则展开式中31 . 数 子题类型 :(2007 年安徽高考试题 )己知 (1=a0+ (a0+a2+a1+a3+值等于 . 解析 :设 f(x)=(1,则 f(1)=0,f(25;由 a0+a2+1f(1)+f(,a1+a3+1f(1)1) (a0+a2+a1+41)1)=点评 :若 展开式是关于 f(x),则 偶数项系数和与奇数项系数和的乘积 =)1)/4;偶数项系数和与奇数项系数和的 平方差 =f(1)f( 同 类 试题 : 3.(2010 年 江 西 高考试题 )(2- x )8展开式中 不含 ) (A) (B)0 (C)1 (D)2 4.(2006 年江西 高考试题 )在 ( )2006的二项展开式中 ,含 x 的奇次幂的项之和为 S,当 x= 2 时 , ) (A)23008 (B) (C)23009 (D)子题类型 :(2009 年湖北高考试题 )已知 (1+=1+10x+ + b= . 解析 :设 f(x)=(1+=1+10x+ +f (x)=5a(1+=10+2 +5f (0)=5a=10 a=2;f (x)=80(1+ 2x)3=2b+ +640f (0)=80=2b b=40. 点评 :对 二项式 展开式 f(x)=a0+ +们对该等式可以 :两边同时求导 ,称 为 微 分法 ;两边同时 积 350 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 分方法 ,称 为 积分法 ;达到解决 问题的目的 . 同 类 试题 : 5.(2014 全国高中数学联赛 四川 初赛试题 )设 (1=70k 2是 . 6.(2013年 福建 高考试题 )当 x R,|x|1时 ,有如下表达式 :1+x+ + =x11,两边同时积分得 :2101210210 2 +210 = 210 11 从而得到如下等式 :1 21 +21 (21 )2+31 (21)3+ +11n (21)n+1+ =计算 :1+21(21)2+31(21)3+ +11(21)n+1= . 7.(2006 年重庆 高考试题 )若 (3 x 4,则展开式的常数项为 . 8.(2004 年湖北高考试题 )已知 ( 3123 28,则展开式中 (用数字作答 ). 9.(2007 年 江 西 高考试题 )已知 ( x +33x)各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64,则 n 等于 . 10.(2008 年北京 高考试题 )若 (1x)2,则 n= ,其展开式的中常数项是 (用数字作答 ). 11.(2008 年 福建 高考试题 )若 (= a1+a2+a3+a4+ (用数字 作答 ). 12.(2009 年陕西 高考试题 )若 (1009=a0+ +x R),则21a+222a+ +200920092 ) (A)2 (B)0 (C) (D)3.(2009 年湖北高考试题 )设 (22+x)2n=a0+ + (a0+a2+ +-(a1+a3+ += . 14.(1988 年全 国高中数学联赛 试题 )( x +2)2n+1的展开式中 ,x 的整数次幂的各项系数之和为 . 15.(2012 年浙江 高考试题 )若将函数 f(x)=f(x)=a0+x)+x)2+ +x)5,其中 a0,a1, ,则 . 16.(1989、 1998年全 国高中数学联赛上海 初赛试题 )计算 :1011C+2111C+3211C+ +121111C= . 令 n=10 奇数项的系数和 =A). 由 2n=128 n=7 =x)7)k3121. 由 (2- x )8展开式 的通项 = x )k 含 ;又由 (2- x )8展开式中 各项 的系数的和 =(2- 1)8=1 不含 B). 设 含 x 的奇次幂的项之和为 S(x),含 x 的 偶 次幂 (含常数 )的项之和为 T(x),则 S(x)为 奇函数 ,T(x)为 偶 函数 ,且S(x)+T(x)=( )2006 S( 2 )+T( 2 )=0,S(- 2 )+T(- 2 )=( )2006 2 )+T( 2 )=23009 2S( 2 )=S(2 )=B). 设 f(x)=(1=a0+ +f (x)= +7f (0)=a1,f (1)=32. 由 +1+x)n,两边同时积分得 :1011010 2 +10 210 )1( n,从而得 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 351 到如下等式 :1+21(21)2+31(21)3+ +11(21)n+1=11n(23)n+1 由 2n=64 n=6 =6)k 常数项 =540. 由 ( 3123 2n=128 n=7 =23x )731x )k 5. 由 4n:2n=2n=64 n=6. 由 2n=32 n=5 =-k(k 常数项 =0. 由 ,a0+a1+a2+a3+a4+ a1+a2+a3+a4+1. 由 ,1a+222a+ +200920092a=(1009=021a+222a+ +200920092a=C). 令 f(x)=(22+x)2n,则 (a0+a2+ +-(a1+a3+ +=f(1)f(2由 ( x +2)2n+1=(2+ x )2n+1 =x )k的 x 的整数次幂 k 是偶数 (2 的 指 数 2n+1 奇 数 );令 ( x + 2)2n+1=a0+x )+x )2+ +( x )2n+1 ( x n+1=x )x )2+ +( x )2n+1 ( x +2)2n+1-( x - 2)2n+1=2a0+x )2+ +x )2n;令 x=1 a0+ +1(32n+1+1). 由 x5=a0+x)+x)2+ +x)5 5x4=+x)+3+x)2+4+x)3