1_6354466_15.“阳马”驶驰在高考中

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 以“阳马”为背景的高考试题 由“阳马”繁 殖 的 高考试题 在 九章算术中 ,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 ,阳马 结构简 单 ,內含丰富 ,是生成高考试题的一个母体 . 母题结构 :如图 ,四棱锥 ,底面 矩形 ,面 B=a,AD=b,PA=h. ( )(位置结论 ) D 若 E、 F 分别为 中点 ,则 面 D 平面 点 Q 在 ,则平面 面 a=b;( )(成角结论 ) 若 二面角 大小为 ,则 ; 若 二面角 ,则 若 二面角 则 ;( )(距离结论 )点 A 到平面 距离 =22 点 A 到平面 距离 =22 点A 到平面 距离 =; 母题 解 析 :( )由 面 在正方形 面 理可证 :D;设 于点 O,则 O 是 中点 平面 面 理可证 :面 由 面 以 ,a=b 平面 平面 面 ( ) 由 =;同 理可证 : ;以点 A 为坐标原点 ,在直线分别为 x、 y、 面 法向量分别为 m=(h,0,a)、 n=(0,h,b) 2222 ; ( )由 点 点 22 同 理可证 : ;由 点 . 子题类型 :(2014 年课标 高考试题 )如图 ,四棱锥 底面 面 为 中点 . ( )证明 :面 ( )设 ,3 ,三 棱锥 体积 V=43,求 A 到平面 距 离 . 解析 :( )设 C 交于点 O,则 O 是 中点 平面 平面 ( )由三 棱锥 体积 V=312133 3;作 ,由 面 在矩形 ,面 面 A 到平面 距离 = ,B 13133 . 点评 :高考立体几何解答题的基本设问模式 :第一问证 明 位置关系 ;第二问解决度 量 问题 ;阳马恰为这种设问模式提供了恰当的几何 模型 . 子题类型 :(2009年 湖 北 高考 理科 试题 )如图 ,四棱锥 平面 D=2a,2 a,点 E 是 的点 ,且 a(0 2). ( )求证 :对任意的 (0,2,都有 ( )设二面角 大小为 ,直线 平面 成的角为 ,若 =1, 求的值 . 解析 :( )由 面 在 正方形 ,平面 ( )由 2 21 =222 22 ,=2 ;由 =1 22 =2 = 2 . 点评 :对一个几何体的认识与把握一般应从三个方面进 行 :位置关系、距离关系和成角关系 ,其中 ,位置 与 成角 之间具有密切关系 ,利用 阳马 中 位置 与 成角 之间的关系是命制高考试题的途径之一 . 问题 子题类型 :(2002 年 全国 高考试题 )四棱锥 底面是边长为 a 的正方形 ,平面 ( )若面 面 成的二面角为 600,求这个四棱锥的体积 ; ( )证明 :无论四棱锥的高怎样变化 ,面 面 成的二面角恒大于 900. 解析 :( )由 平面 在 正方形 平面 面 为 已知 , 00,AB=a 3 a 四棱锥的体积 V=33( )设 PB=h,则 C= 22 ,222 ,作 H,则 H=22222 a 面 面角 为 由 (900,1800) 面 00. 点评 :阳马 中的 成角 ,尤其是二面角问题 是高考 命 题的 重点 ,解决二面角问题的常用方法有 :综合法 (作出平面角 )、 射影面积法和向量法 . 1.(1988 年 全国 高考试题 )四棱锥 底面是边长为 1 的正方形 ,侧棱 直于底面 , 并且 3 ,用 表示 值 . 2.(2004 年北京春招试题 )如图 ,四棱锥 底面是边长为 1 的正方形 ,直于底面 B= 3 . ( )求证 :( )求面 面 成二面角的大小 ; ( )设棱 中点为 M,求异面直线 B 所成角的大小 . 3.(2004 年 重庆 高考试题 )如图 ,四棱锥 底面是正方形 ,底面 F M=( )证 明 :异面直线 公垂线 ; ( )若 直线 平面 成角的正弦值 . 4.(2009 年 全国 高考试题 )如图 ,四棱锥 ,底面 矩形 ,面 2 D=2,点 M 在侧棱 , 00. ( )证明 :M 在侧棱 中点 ; ( )求二面角 大小 . 5.(2009年 湖 北 高考 文科 试题 )如图 ,四棱锥 面 D=AD=a, 点 E 是 的点 ,且 a(0 1). ( )求证 :对任意的 (0,1,都有 ( )若二面角 大小为 600,求 的值 . 6.(2010 年 陕 西 高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,底面 矩形 ,面 P=P=,E,F 分别是 ( )证明 :面 ( )求三棱锥 体积 V. 7.(2009 年 北京 高考试题 )如图 ,四棱锥 底面是正方形 ,面 点 E 在棱 . ( )求证 :平面 面 ( )当 2 E 为 中点时 ,求 平面 成的角的大小 . 8.(2012 年 广东 高考试题 )如图 所示 ,在四棱锥 ,底面 矩形 ,面 点 E 在线段 ,面 ( )证明 :面 ( )若 ,求二面角 正切值 . 由 底面 B 在 正方形 ,平面 D=1,3 5 5. ( )由 底面 在 正方形 ,平面 ( )由 正方形 边长为 1 2 ,又由 3 50 面 面 成二面角的大小 为 450; ( )分别取 D 的中点 N,O,则 面直线 成角 ;由 2,3,5 00. ( )由 面 在正方形 面 由 面 异面直线 C 的公垂线 ; ( )连结 ,过 H,垂足 由 C 与面 成的角 ;设 AB=a,则 a,2a,由 0a 1 02a 105 . ( )作 ,作 ,则 D= 2 ,设 MN=x,则 B=x 3 x;由 3x2= x =1 M 在侧棱 中点 ; ( )由 , 正三角形 ,且 M 是 中点 2 ,6 中点 G,中点 H,则 二面角 平 面角 ,36. ( )由 面 在正方形 ,平面 ( )由 a A=21 a 2 221 二面角 大小为 600= 221 =2 =22. ( )由 E,F 分别是 平面 面 ( )连接 C, E 作 点 G,则