1_6354478_13.柯西不等式的一个变式及其应用

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 柯西不等式的 一个 变式及其应用 解决 函数不等式 问题 的 一个技 法 柯西不等式在课标中闪亮登场 ,为解决不等式 问题提供了一种新的方法和手段 ,其中 ,柯西不等式的 一个变式具有强大的解题功能 ,许多高考试题 ,甚至自主招生和数 学 竞 赛 试题 ,利用它可以获得极其简洁的证明 . 母题结构 :(柯西不等式一个变式 )若 R,R+(i=1,2, ,n),则12122 + 21221 )( ,等号当且仅当 a1:b1=a2: =an: 母题 解 析 :由 柯西不等式 :(b1+ +12122 + (1b 11b 21 +=(a1+ + 12122 + 21221 )( ,等号当且仅当 a1:b1=a2: =an: 子题类型 :(2013 年课标 高考试题 )设 a,b,c 均为正数 ,且 a+b+c=1,证明 : ( )ab+bc+1; ( )1. 解析 :( )由 a2+2ab,b2+2bc,c2+2a2+b2+ab+bc+a2+b2+3(ab+bc+ (a+b +c)2 3(ab+bc+ 1 3(ab+bc+ ab+bc+1; ( )由 2)(=(a+b+c)=1. 点评 :对 于形如可直接使用柯西不等式的变式求其最小值或证 明 不等式 ,使用柯西不等式的变式可略去匹配系数的技巧 . 子题类型 :(2011 年浙江高考试题 )设正数 x,y,z 满足 2x+2y+z=1. ( )求 3xy+yz+最大 值 ; ( )证明 :3+1+126125. 解析 :( )由 3xy+yz+xy+z(x+y)=3x+y)-2(x+y)243(x+y)2+(x+y)-2(x+y)2=x+5151,当且仅当 x=y=z=51时等号成立 3xy+yz+最大值 =51; ( )由3+1+1=+1+1)1()1()33( )113(2 =26125. 点评 :通过 常数 ,并根 据 已 知条件把待求式中的每一项都变为式 ,是 使用柯西不等式的变式 解决相关问题的基本技巧 . 子题类型 :(2012 年福建高考试题 )已知函数 f(x)=m-|m R,且 f(x+2) 0 的解集为 . ( )求 m 的值 ; ( )若 a,b,c R,且a1+m,求证 :a+2b+3c 9. 解析 :( )由 f(x)=m-| f(x+2)=m-|x|,所以 ,f(x+2) 0 m-|x| 0 |x| m(m 0) m=1; ( )由a1+ a+2b+3c=11a+1)2( 1b+1)3( 1c1112)3()2( )111( . 点评 :利用 x=11x,并根 据 已 知条件把待求式中的每一 项都变为式 ,是 使用柯西不等式的变式 解决有关整式问题的基本技巧 . 1.(2009 年浙江高考试题 )已知正数 x、 y、 z 满足 x+y+z=1. ( )求证 :31; ( )求 4x+4y+42z 的最小值 . 2.(2010 年浙江高考试题 )设正实数 a,b,c 满足 1 求最小值 . 3.(2015 年福建高考试题 )已知 a0,b0,c0,函数 f(x)=|x+a|+|c 的最小值为 4. ( )求 a+b+c 的值 ; ( )求411b2+ 4.(2014 年福建高考试题 )已知定 义在 R 上的函数 f(x)=|x+1|+|最小值为 a. ( )求 a 的值 ; ( )若 p,q,r 是正实数 ,且满足 p+q+r=a,求证 :p2+q2+3. 5.(2004 年爱沙尼亚数学奥林匹克试题 )若 a2+b2+,试证 :+ 1. 6.(2008 年南开 大学 保送生考试 试题 )设 a、 b、 c 为正数 ,且 a+b+c=1,求 (a+(b+(c+的最小值 . ( )由)2()2()2( )(2 =31(x+y+z)=31. ( )由 4x+4y+42z 33 24 =33 1 24 3 2 ,当且仅当 x=y=41,z=21时等号成立 4x+4y+42z 的最小值为 3 2 . 由)2()2()2( )(2 =3 3 1,当且仅当 a=b=c=1时等号成立 最小值 =1. ( )由 f(x)=|x+a|+|c |(x+a)-(+c=a+b+c,当且仅当 x b 时等号成立 a+b+c=4; ( )由411b2+94 )( 2 8,当且仅当21a:31b:c=2:3:1,即 a=78,b=718,c=72时等号成立 最小值为78. ( )由 f(x)=|x+1|+| |(x+1)-(=3,当且仅当 x 2 时等号成立 a=3; ( )由 p+q+r=3 p2+q2+11 )( 2 . 由+)21()21()21( )111(2 =223 9 )()()