1_6354510_25.由凸凹函数的切线生成的高考试题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 由凸凹函数的切线生成的高考试题 解决 不等式 恒成立 的 一个 母题 “ 已知含参数 a 的 函数 f(x)=F(x,a),当 x m 时 ,不等式 f(x)=F(x,a) 0 恒成立 ,求参数 a 的取值范围” 是 高考 的 热点问题 ,经研究发现 :其中一类 高考 试题是由凸凹函数的切线生成的 ,为此 ,我们构造母题如下 : 母题结构 :( )若 f(x)在区间 导 ,且 f (x)在区间 调 递增 ,则 当 f(x) f (f(当且仅当 x=等号成立 ; ( )若 f(x)在区间 且 f (x)在区间 则 当 f(x) f (f(当且仅当 x=等号成立 . 母题 解 析 :( )令 g(x)=f(x)(f(则 g (x)= f (x)(由 f (x)在区间 D 上 单调 递增 当 x f ( g (x)0 g(x)在 x调 递增 g(x) g(0 f(x) f (f(当且仅当 x=等号成立 ;同理可证 ( ); 母题的实质是凹凸函数的性质 ,具 有明显的 几何 意义 ,如下图所示 ,当函数是凹函数时 ,函数图像均在其切线之上 (切点除外 );当函数是凸函数时 ,函数图像均在其切线之下 (切点除外 ). 由母题易得如下推论 : 推论 : 若 f(x)在区间 导 ,且 f (x)在区间 调 递增 ,则 当 f(x) kx+k在 f (x)的值域中 ) 存在 D,满足 k=f (且 m f( 若 f(x)在区间 且 f (x)在区间 则当 f(x) kx+k在 f (x)的值域中 )存在 D,满足 k=f (且 m f( 子题类型 :(2010 年课标高考文科试题 )设函数 f(x)=x( )若 a=21,求 f(x)的单调区间 ; ( )若当 x 0 时 ,f(x) 0,求 a 的取值范围 . 解析 :( )当 a=21时 ,由 f(x)=x(21f (x)=x+1)(由此列表如下 :由表知 ,f(x)在 (- , (0,+ )上 单调 递增 ,在 ()上 单调 递减 ; ( )当 x 0时 ,f(x) 0 当 x 0时 ,x( 0 当 x 0时 ,0 ;令 曲线 C:y=线 l:y=,则直线 l 与曲线 C 恒交于点 A(0,1),曲线 C 在点 A 处的切线 :y=x+1 a 1 a 的取值范围 是 (- ,1. 点评 :直接应用的基本模型 :若 f(x)在区间 a,+ )上连续可导 ,f (x)在区间 a,+ )上单调递增 ,且 f(a)=m,则当a,+ )时 ,f(x) k(m 恒成立 k f (a);若 f(x)在区间 a,+ )上连续可导 ,f (x)在区间 a,+ )上单调递减 ,且 f(a)=m,则当 a,+ )时 ,f(x) k( k f (a). 子题类型 :(2010 年全国高考试题 )设函数 f(x)=1( )证明 :当 x ,f(x)1( )设当 x 0 时 ,f(x)1 解析 ( )由 f(x)1(x+1)(1 x;令 g(x)=(x+1)(1x则 g (x)=(1(x+1)g (x)=(1- x) g (x)在 区间 ( )内递增 ,且 g(x)在 x=0 处的切线为 y=x g(x) x; ( )当 x 0 时 ,f(x)=101f(x) 0 0 a 0;由 f(x)1()(1 x;令 h(x)=(1)(1x 0),则 h (x)=a+(-a)h (x)=(20 a21;当 a21时 ,h (x)在 区间 0,+ )内递 减 ,且 h(x)在 x=0 处的切线为 y=x h(x) x.故 a 0,21. 点评 :间接应用的基本模型 :F(x,a) 0 f(x) ax+b,然后 ,利用直接应用的基本模型 求解 ;间接应用的 关键是分离出含参数的“直线” ,即把不等式的一边变形为 ax+另一边 f(x)不含参数 a. 应用 子题类型 :(2005 年 辽宁 高考试题 )函数 y=f(x)在区间 (0,+ )内可导 ,导函数 f (x)是减函数 ,且 f (x)0.设 0,+ ),y=kx+m 是曲线 y=f(x)在点 (x0,f(处 的切线方程 ,并设函数 g(x)=kx+m. ( )用 f( f (示 m; ( )证明 :当 (0,+ )时 ,g(x) f(x); ( )若关于 x 的不等式 ax+b23 0,+ )上恒成立 ,其中 a、 b 为实数 ,求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系 . 解析 :( )由 曲线 y=f(x)在点 (x0,f(处 的切线方程 为 :f ( m=f( ( )令 g(x)=f(x)-g(x)=f(x)(f(则 g (x)=f (x)(由 f (x)在区间 D 上 单调 递 减 当 ( g (x)0 g(x)在 单调 递 减 g(x) g(0 g(x) f(x); ( )设 M(x)=,m(x)=23x 0),则 M (x)=2x 在区间 0,+ )上 单调 递增 ,m (x)=在区间 (0,+ )上单调递减 M(x) 2m(x) 1 x+21所以 , ax+b23 0,+ )上恒成立 当 x 0 时 ,2ax+b 1 x+21 a=2x1=1 ,且21 b 1a 0,b 1,a 2 b1 ,aa 2 b1 2 b1 422 b422.故 b 的取值范围是 422,422,a 与 b 所满足的关系 为a 2 b1 . 点评 :引伸 应用的基本模型 : f(x) ax+b,求 F(a,b)的值域 ; f(x) ax+b g(x),研究参数 a,b 等 一方法是作曲线 的 切线 ,利用母题直观求解 . 1.(2006 年全国高考试题 )设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x 0,都有 f(x) 立 ,求实数 a 的取值范围 . 1.(2007 年全国高考试题 )设函数 f(x)=( )证明 :f(x)的导数 f (x) 2; ( )若对所有 x 0 都有 f(x) a 的取值范围 . 解 :( )由 f (x)=ex+2; ( )当 x 0时 ,由 f (x)=0 f (x)在 区间 0,+ )内递增 ,且 f(x)在 x=0处的切线为 y=2x f(x) 2x.故 a 2. 2.(2007 年福建高考试题 )已知函数 f(x)=x R. ( )若 k=e,试确定函数 f(x)的单调区间 ; ( )若 k0,且对于任意 x R,f(|x|)0 恒成立 ,试求实数 k 的取值范围 ; ( )设函数 F(x)=f(x)+f(求证 :F(1)F(2) F(n)(+22)n (n N*). 3.(2008 年全国高考试题 )设函数 f(x)= ( )求 f(x)的单调区间 ; ( )如果对任何 x 0,都有 f(x) a 的取值范围 . 4.(2013 年福建高考试题 )已知函数 f(x)=a R,e 为自然对数的底数 ). ( )若曲线 y f(x)在点 (1,f(1)处的切线平行于 x 轴 ,求 ( )求函数 f(x)的极值 ; ( )当 a=1 时 ,若直线 l:y=曲线 y=f(x)没有公共点 ,求 k 的最大值 . 5.(2012 年大纲卷高考试题 )设函数 f(x)=ax+x 0, . ( )讨论 f(x)的单调性 ; ( )设 f(x) 1+ a 的取值 范 围 . 6.(2006 年全国高考试题 )已知函数 f(x)=11( )设 a0,讨论 y=f(x)的单调性 ; ( )若对任意 x (0,1)恒有 f(x)1,求 a 的取值范围 . 7.(2010 年课标高考试题 理科第 21 题 )设函数 f(x)=( )若 a=0,求 f(x)的单调区间 ; ( )若当 x 0 时 ,f(x) 0,求 a 的取值范围 . 8.(2012 年课标高考试题 )已知函数 f(x)=f (1)x+21( )求 f(x)的解析式及单调区间 ; ( )若 f(x)21x2+ax+b,求 (a+1)b 的最大值 . 由 f (x)=ln(x+1)+1 在 区间 0,+ )内单调递增 ,且 f(x)在 x=0 处的切线为 y=x f(x) x.故 a 1. ( )当 k=e 时 ,f(x)=f (x)=x)在 (- ,1)上单调递减 ,在 (1,+ )上单调递 增 ; ( )由 对于任意 x R,f(|x|)0 恒成立 当 x 0 时 ,f(x)0 恒成立 当 x 0 时 ,ex然 ,函数 y=调递 增 ,且曲线 y=x=y=当切线过原点时 ,此时切线方程为 y=1+21)+2e 21+2 F(k)F() +2 F(1)F(2) F(n)(+22)n (n N*). ( )由 f (x)=2)1 f(x)区间 (2 32 ,232 )内单调递增 ,(232 ,234 )内单调递 减 ; ( )由 f (x)=3)1( 0 f (x)在 区间 (- ,+ )内递 减 ,且 f(x)在 x=0 处的切线为 y=31x f(x)( )由 f (x)=1f (1)=0 a=e; ( )由 f (x)=1当 a 0 时 ,f(x)在 (- ,+ )上递增 ,无 极值 ;当 a0 时 ,f(x)有 极 小 值 =f( 极 大 值 ; ( )当 a=1 时 ,f (x)=1- ,+ )上单调递增 ,且 曲线 y f(x)在点 (x0,f(处 的切线 :y=(1x+()01此切线过点 (0, ,1 切线 :y=(1-e)当 x0 时 ,f (x)=1 ,f(x)在 (- ,),(,1)和 (1,+ )內 单调递增 ,在 (,)內 单调递 减 ; ( )由 f(x)1 11 +x) g(x)=+x)00 g (x)在 区间 0,1)内递增 ,且 g(x)在 x=0 处的切线为 y=2x f(x) 2x.故 a 2. ( )当 a=0 时 ,由 f(x)=f (x)=此列表如下 : 由表知 ,f(x)在 (- ,0)上 单调 递减 0,+ )上 单调 递增 ; ( )由 f(x)=f (x)= f(0)=0,所以 由 当 x 0 时 ,f(x) 0 f(x)在 x 轴右侧附近 单调 递增 当 x 0, ( 0)时 ,f (x)=0 当 x 0, 时 ,2;令 曲线 C:y=线 l:y=2,则直线 恒交于点A(0,1),曲线 C 在点 A 处的切线 :y=x+1 2a 1 a 的取值范围 是 (- ,21. ( )由 f(x)=f (1)x+21f (x)=f (1)+x;令 x=1得 :f (1)=f (1)+1 f(0)=1 f(x)=f (1)1 x=0