1_6354513_5.三点共线向量定理的妙用

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 三点共线向量定理的妙用 三点共线向量定理的应用视角 平面向量中的 三点共线定理 有许多方面的应用 ,探索其应用的视角是十分必要的 ,为此 ,深化 三点共线定理 如下 . 母题结构 :(共线定理 ):若 其中 O 不在直线 ,则 A、 P、 B 三点共线 且 + =1 = =母题 解 析 :由 + =1 (1 ( A、 P、 B 三点共线 ,且 =理可得 : =子题类型 :(2007 年江西高考试题 )如图 ,在 ,点 O 是 中点 ,过点 O 的直线 分别交直线 不同的两点 M、 N,若 则 m+n 的值为 . 解析 :由 点 O 是 中点 21(=22由 M,O,N 三点共线 2m+2n=1 m+n=2. 点评 :若 且 A,B,则 + =1,即由共线定理 ,可求线性表示中的系数和 . 子题类型 :(2010 年高考天津高考试题 )如图 ,在 ,C = 3 |=1,则 . 解析 :由 0;由 3 =- 3 , =3 (1- 3 ) 3 (1- 3 ) 3 (1- 3 ) 3 . 点评 :若点 点 且 = = 由此利用基底思 想 解题 . 子题类型 :(2010 年 台湾高校对澳门招生 试题 )在平行四边形中 ,点 E、 F 分别 在 ,1:2,:2:3,又 于 P,若 则 x+y= . 解析 :由 D,P,E 三点共线 ,设 (131 (1又 由 F,P,C 三点共线 ,设 (152 (1(=(1(131 =1 11 =21 x+y=32. 点评 :“两次共线”是解决两直线交点位置的有力方法 ,解题程序是 :利用 共线定理 和点在 两直线上 ,写 (或设 )出同一基底向量下的两线性表达式 ,然后根据平面向量基本定理的 唯一性得 :基底向量 对应系数分别相等 ,即可解决问题 . 列 : 1.(2002年新课程高考试题 )平面直角坐标系中 ,己知两点 A(3,1),B(),若点 C = 其中、 R,且 + =1,则点 C 的轨迹方程为 ( ) (A)3x+2 (B)(+(=5 (C)2 (D)x+2 2.(2006 年江西高考试题 )己知等差数列 前 n 项和为 且 A、 B、 C 三点共线 (该直线不过点O),则 ) (A)100 (B)101 (C)200 (D)201 3.(2010 年同济大学保送生考试数 学试题 )记等差数列 前 n 项和为 、 B、 C 为三角形的三个顶点 在直线 D =则 . 4.(2010 年第 二 十 一 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试题 )已知 等差数列 前 n 项和是 不经过点 O 的直线上的三点 A、 B、 C 满足 则 . 5.(2008 年广东高考试题 )在平行四边形 , 于点 O,E 是线段 中点 ,延长线与 于点 F,若a,BD=b,则 ( ) (A)41a+21b (B)32a+31b (C)21a+41b (D)31a+32b 6.(2009 年 中 华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省 试题 )在 点 D、 E 分别在 ,满足 :22交于点 P, 则 ( , )=( ) (A)(72,74) (B)(71,72) (C)(41,21) (D)(154,158) 7.(2006 年第十 七 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高 二 )试题 )如图 ,在 ,已知 2 3过 M 作直线交 P、 Q 两点 ,则 . 8.(2004 年全 国高中数学联赛 试题 )设 且 有 230 ,则 ) (A)2 (B)23(C)3 (D) 由 题知 点 C 在直线 AB:x+2 上 D). 由 A、 B、 C 三点共线 a1+ A). 由 a1+ 005. 由 a3+ a1+ 005. 由 4343(;令 43(=24(=2 4由 D,F,C 三点共线 2+4=1 =34 323131(3132a+ (B). 由 2 3232(=3132设 (3132= (21 32;由 D,P,C 三点共线 (21+32) =1 =76 76(3132 ( , )=(72,74) (A). 设 , ,则 由 3 4343(=43(32=