1_6354512_26.值得关注的函数凸凹性

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 利用放缩法研究函数不等式 解决 函数不等式 问题 的 一个技 法 函数图象的 凸 凹 性是函数 的 一个重要性质 ,虽然在中学数学中 ,没有给出明确的定义和相关知识 ,但是它的身影却频频出现在高考试题中 ,它是深化函数研究 ,精 细 刻画函数性质的有效途经 ,值 得 引起充分关注 . 凸 凹 性 的定义 :( )若 f(x)在区间 D 上连续 且 对任意 的 x1D,有 f(2 21 2 )()( 21 ,则 称 f(x)在 D 上 是凸的 ; ( )若 f(x)在区间 D 上连续 且 对任意 的 x1D,恒有 f(2 21 2 )()( 21 ,则 称 f(x)在 D 上是 凹的 . 母题结构 ( )凸凹 函数 的判定定理 :若 f(x)在区间 D 上连续 可导 ,且 f (x)在区间 D 上 单调递减 ,则 f(x)在 D 上 是凸的 ;若 f(x)在区间 D 上连续 可导 ,且 f (x)在区间 D 上 单调递增 ,则 f(x)在 D 上 是凹的 ; ( )凸凹 函数 的不等式性质 : 若 函数 f(x)在 凸的 ,则对任意的 x1, ,D,都有 f( + +其中 ,p1+ +),当且仅当 x1= =等号成立 ; 若 函数 f(x)在 D 上 是凹的 ,则对任意的 x1, ,D,都有 f( + +其中 ,p1+ +),当且仅当 x1= =等号成立 . 母题 解 析 :( ) 令 g(x)=f(22()( 2,x D,且 由 f (x)在区间 调递减 f (22g(0 f(2 21 2 )()( 21 f(x)在 D 上 是凸的 ;同理可证 ; ( ) 由 函数 f(x)在 凸的 f (x)在区间 调递减 ;要证 :对任意的 x1, ,D,都有 f( + +其中 ,p1+ +),不妨设 + + (1 +( +pn)p2(p3( +pn( 0;令 h(x)=x)+ +f( +x 则 h (x)=(x)( + 0 h(x) h(p1+p2)f( + f(p1+p2) + (p1+p2+p3)f( +f(p1+p2+p3) + (p1+ +pn)f(f(p1+ +pn) f(f(0 h( 0 f( + +当且仅当 x1= =等号成立 ;同理可证 . 子题类型 :(2005 年湖北高考试题 )在 y=2x,y=y=x2,y=四个函数中 ,当 0 2 )()( 21 恒成立的函数的个数是 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析 :由 f(2 21 2 )()( 21 f(x)是 (0,1)上的 凸函数 ;而 y=2x,y=0,1)内为凹函数 ,y=0,1)内先凸后凹函数 ,只有 y= (0,1)为凸函数 B). 点评 :函数 的 凸凹 具有较强的几何直观 ,简单初等函数的 凸凹 性 ,可由其图像一目了然的判定 . 判定凸凹性 子题类型 :(2008 年全国 I 高考试题 )汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车 ,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 其图象可能是 ( ) 解析 :令 s=f(t),由 加速行驶 f (t)递增 f(t)是 凹函数 ;匀速行驶 f(t)为 递增的 直线 ;减速行驶 f (t)递减 f(t)为 凸 函数 A). 点评 :由凸凹的导 数判定定理知 ,若 路程 s 看作时间 t 的函数 f(t),则 :加速行驶 f(t)是递增的凹函数 ,减速行驶 f(t)是递增的凸函数 . 不等式 子题类型 :(2012 年 福建 高考试题 )函数 f(x)在 a,b上有定义 ,若对任意 x1,a,b,有 f(2 21 2 )()( 21 , 则称 f(x)在 a,b上具有性质 P.设 f(x)在 1,3上具有性质 P,现给出如下命题 : f(x)在 1,3上的图像是连续不断的 ; f( 1, 3 上具有性质 P;若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x 1,3;对任意 x1,x2,x3,1,3,有 f(4 4321 )4 )()()()( 4321 ) (A) (B) (C) (D) 解析 :由 f(2 21 2 )()( 21 f(x)是凹函数 正确 ; 令 f(x)= )2(1 )2(|2| x f(x)是凹函数 ,满足 性质P,但不 连续 ; 令 f(x)=(,则 f(x)是凹函数 ,但 f(不是凹函数 ; 由 f(x)是凹函数 ,且 f(x)在 x=2 处取得最大值 1 f(x)=D). 点评 :由凸凹 函数 的性质定理知 ,指定 函数 f(x),选取 n,设计 p1, ,可以形式多样的不等式 . 1.(2004 年 第 十 五 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试 题 )下列四个函数 : f(x)= f(x)= x 2 ; f(x) =2x+x; f(x)=x能是 f(2 21 2 )()( 21 恒成立的函数的个数是 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.(2005 年北京高考试题 )对于函数 f(x)定义域中任意的 x1,x2(下列结论 : f(x1+f(x1)f( f( f(f(21 21)()( xx 0; f( 2 21 )h1 (B)h1h2 (C)h3h2 (D)h2h4.(2006年重庆高考试题 )如图所示 ,单位圆中弧 x,f(x)表示弧 倍 ,则函数 y= f(x)的图象是 ( ) 7.(2013 年 浙江 高考试 题 )已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一 , 且其导函数 y=f (x)的图象如右图所示 ,则该函数的图象是 ( ) 8.(2009 年湖南高考试题 )若函数 y=f(x)的导函数在区间 a,b上是增函数 ,则函数 y=f(x)在区间 a,b上的图象可能是( ) 9.(2008 年福建高考试题 )己知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如右图 , 那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 ( ) (A) (B) (C) (D) 10.(2013 年 湖北 高考试题 )小明骑车上学 ,开始时匀速行驶 ,途中因 交通堵塞停留了一段时间 ,后为了赶时间加快速度行驶 ,与以上事件吻合得最好的图象是 ( ) 11.(2007 年上海春招试题 )下列四个函数中 ,图象如果所示的只能是 ( ) (A)y=x+ (B)y=C)y=-x+ (D)y=2.(2005 年 辽宁 高考试题 )一给定函数 y=f(x)的图象在下列图中 ,并且对任意 (0,1),由关系式 =f(到的数列足 an(n N+),则该函数的图象是 ( ) 13.(2000 年全国高考试题 )若 ab1,P= Q=21(R=则 ( ) (A) (C)p=5.(2007 年江西高考试题 )若 03x (C)x 由 f(2 21 2 )()( 21 函数 f(x)是 凹 函数 ;其中 ,f(x)= 凹 函数 ;f(x)= x 2 )与 f(x)= x21)都 是凸函数 ;关于函 数 的 凸 凹性有 基本结论 :函 数 g(x)=f(x)+ax+b与 f(x)的 凸 凹性 相同 ;由 y=2 函数 f(x)=2x+x 是 凹 函数 B). 因 f(x)=f(lg(f(f(f(x)=