20_6354422_33.逐项比较法巧证一类数列和型不等式

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 逐项比较法巧证一类数列 和型 不等式 证明一类数列 和型 不等式 的 通法 证明不等式 g(n) f(n)(其中 ,前 f(n),g(n)都 是关于 ,可 统一使用 逐项比较 法 解决 . 母题结构 :己知 前 n 项和 ,f(n),g(n)都 是关于 n 的非常数函数 ,证明 :g(n) f(n); 解 题 程序 :构造数列 x1=f(1),当 n 2 时 ,xn=f(n)-f(y1=g(1),当 n 2 时 ,yn=g(n)-g(则 ang(n) f(n),即要证 g(n) f(n),只须证 :子题类型 :(2007 年重庆高考试题 )已知各项均为正数的数列 前 n 项和 且 6)()(n 1).( )求 通项公式 ; ( )设数列 足 :1)=前 n 项和 3). 解析 :( )由 6)();当 n=1 时 ,6)() 1=1(舍去 )或 2;当 n 2 时 ,6) ()-()() (an+0() ( )由 bn=数列 =3=3= n 2 时 ,列 y1=)= n 2时 ,yn=3 当 n=1时 ,x1=当 n 2时 ,xn3nn3 (3n)3 (3n+2)(3 9 成立 ;所 以 ,3=x1+ +xny1+ +yn=). 点评 :己知 是数列 前 n 项和 ,若 an 证明和型数列不等式的基础 . 子题类型 :(2008 年 陕西 高考试题 )已知数列 首项 3,=123n=1,2, . ( )求 通项公式 ; ( )证明 :对任意的 x0,anx11( 1x(n=1,2, ; ( )证明 :a1+ +2解析 :( )由 =1231132 111(1)1=32 (31 )33 ( )由1= ,x11 - 2)1( 1x ( x) x11 - 2)1( 1x (1 (x11 )2 0 成立 ; ( )令 数列 前 n 项和 =12 -)1( 1 an331-)1( 11n1-)1( 13n+22n(n+ 1);当 n 3 时 ,3n+2=(1+2)n+21+22n(n+1);由 a1b1,a1+a2b1+当 n=1,2 时 ,a1+ +2当 n 3时 ,a1+ +ana1+a2+ +bnb1+b2+ +2点评 :本题 的题意是由第 ( )问的结 果去证第 ( )问 ,若没有第 ( )问呢？构造并证明通项不等式是证 明 的关键 . 通项不等式 子题类型 :(2015 年 广 东 高考试题 )数列 足 : +nn,n N+. ( )求 ( )求数列 前 n 项和 ( )令 b1=a1,bn=(1+21+31+ +n1)an(n 2),证明 :数列 前 n 项和 . 点评 :证明和型数列不等式的 关键之一是证 明构造出的通项不等式 ,换元后 ,利用导数是常用方法 . 1.(1985 年全国高考试题 )设 21 + 32 + + )1( n=1,2, ). ( )证明不等式2 )1( 3.(2015 年 陕西 高考试题 )设 fn(x)是等比数列 1,x, ,其中 x0,n N,n2 . ( )证明 :函数 Fn(x)=fn(x)21,1)内有且仅有一个零点 (记为 且 1+21; ( )设有一个与上述等比数列的首项、 末项、项数分别相同的等差数列 ,其各项和为 gn(x),比较 fn(x)和 gn(x)的大小 ,并加以证明 . ( )令 数列 前 n 项和 =2 )1( xn=n;数列 )1( 数列 前 n 项和 =2)1( 2n,则 12 n;由( )由 F (x)=1+2x+ Fn(x)在 (21,1)内单调递增 ,且 1)=-(21)Fn(x)在 (21,1)内有且仅有一个零点 Fn(0111 1 +21 ; ( )由 等比数列 1,x, ,= 等差数列 公差为 d,则 d= =1+k;令 h(x)=