§1.4 函数的连续性_第1页
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一、 函数的连续性二、 函数的间断点三、 初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质第一章 函数、极限和连续1.4 函数的连续性一、 函数的连续性定义 设函数 y = f (x0) 在 x0的某一邻域内有定义，如果则称函数 在 处连续。函数 y = f(x)在 x0处 点 连续设函数 在 的某一邻域内有定义，如果则 称函数 y = f(x)在 x0处 点 连续例 1证由定义 知定理在区间上每一点都连续的函数 ,叫做在该区间上的 连续函数 ,或者说函数在该区间上连续 .连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 .例如 ,例 2解右连续但不左连续 ,例 3 证明 在 处连续， 证明：二、函数的间断点可去间断点例 4解是 间断点可去注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义 , 则可使其变为连续点 .在此例中 ,则函数 y = g(x)在 x =1处连续跳跃间断点例 5解跳跃间断点与可去间断点统称为 第一类间断点 .是 间断点跳跃第二类间断点例 6解是 间断点第二类该间断点也称为 无穷间断点例 7解间断点：1、函数 在 连续，求 k 2、函数 在 连续，求 k 练习：3、求函数 的间断点 （ 1）解：（ 2）解：（ 3）解：是可去间断点是无穷间断点三、 初等函数的连续性定理 1例如 ,1、四则运算的连续性2、复合函数的连续性意义 1.极限符号可以与函数符号互换 ;定理 2 设函数 由函数 与函数 复合而成。若 函数 在 点连续，则有 注意 定理 3是定理 2的特殊情况 .定理 3 设函数 由函数 与函数 复合而成。若 在点 连续，且 ，而函数 在点 连续，则复合函数 在点 也连续 . 3、初等函数的连续性基本初等函数在定义域内是连续的 .一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间 .1. 初等函数仅在其定义区间内连续 , 在其定义域内不一定连续 ;注意 例如 ,这些孤立点的邻域内没有定义 .在 0点的邻域内没有定义 .例 9例 10解解注意 2. 初等函数求极限的方法 代入法 .例 11 求 解：原式例 12 求 解：原式1、 (最大值最小值定理 ) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值 .四、闭区间上连续函数的性质注意 :1.若区间是开区间 , 定理不一定成立 ;2.若区间内有间断点 , 定理不一定成立 .2、零点 存在 定理与介值定理几何解释 :推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值 .例 12证由零点定理 ,三、小结：（ 1）重点要掌握函数的连续定义，
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