§1.10 闭区间上连续函数的性质

1.10 闭区间上连续函数的性质介值定理 ( intermediate value theorem )小结 思考题 作业最大值 (maximum )和最小值 (minimum)定理 在 闭区间 上的 连续函数 有一些重要的性质 ,这些性质主要应用于分析和论证某些问题时作为理论的根据 .这些性质的几何意义很明显 .第一章 函数与极限 1定义例设 f (x)在区间 I上 有定义 ,使得当 恒有若存在点为函数 f(x)在区间 I上的 最小 值 ,记为则称 (大 )一、最大值和最小值定理2在闭区间上连续的注 (1) 定理 1中的条件 “闭区间 ”和 “连续性 ” 定理 1(最大值和最小值定理 )函数一定有最大值和最小值 .是不可少的 .3在 开区间 (0,1)内连续 , 在 (0,1)内又 如 :在 闭区间 0,2上有 函数 f (x)在 0,2上既 没有最大值 ,如 : 函数没有最大值或最小值 .也没有最小值 .间断点函数4(2) “闭区间 ”和 “连续性 ”在 开区间取得最小值函数 处取得最大值 1.而不是必要条件 .如 函数 内连续 ,但它在 处取得最大值 1;又如在闭区间 上有 间断点取得最小值但它在仅是定理的 充分条件 ,5证由 定理 1(最值定理 ),定理 2(有界性定理 )有取 则有6的 零点 .定理 3(方程实根的存在定理 )使得零点定理几何意义 : 如图所示 .二、介值定理7定理 4(介值定理 )使得证零点定理辅助函数, 之间的任一数为介于 BAC8几何意义 :至少有一个交点 .9几何意义 :之间的任何值 (不会有任何遗漏 ).推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值10注闭区间上连续函数的性质常用于 :证明某些等式或不等式 ;判断某些方程根的存在性或实根的范围 .11例证由 零点定理 ,12例证由 零点定理 ,使辅助函数13证例 证明 :令介值定理使即得,0,)( ba上连续在设 baxf.)()()( ba ba += bfaff使得.)()()( ba ba += bfaff14注 方程 f(x)=0的根 函数 f(x)的 零点 有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，再利用零点定理15辅助函数的作法（ 1）将结论中的 (或 x0或 c)改写成 x（ 2）移项使右边为 0，令左边的式子为 F(x)则 F(x)即为所求区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证 F(x)在 所讨论的区间上 连续， 再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于 F(x)在所论 闭区间上的最大值与最小值之间。16三、小结四个定理有界性定理 ;最值定理 ;介值定理 ;根的存在性定理 .注意 1闭区间； 2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立解题思路1.直接法 :先利用最值定理 ,再利用介值定理 ;2.辅助函数法 :先作辅助函数 F(x),再利用零点定理 ;171. 练习题设 f (x)C ( a, b ), 证明 : 至少存在一点 x1 , xn , 使得2. a x1 x2 xn b,181. 证:由 零点定理知总之 19设 f (x)C ( a, b ), 证明 : 至少存在一点 x1 , xn , 使