§1.8 函数的连续性与间断点

1.8 函数的连续性与间断点函数的 连续 (continuity)函数的 间断点小结 思考题 作业 (discontinuous point)1间变化很小时 ,生物生长的也很少 .在函数关系上的反映就是函数的连续性 .在自然界中 ,许多事物的变化是连续的 ,如气温变化很小时 ,单摆摆长变化也很小 .时在高等数学中 ,主要的研究对象就是连续函数 .这种现象从直观上不妨这样说 , 连续函数的特征就是它的图形是连续的 ,也就是说 ,可以一笔画成 .21. 函数的增量自变量 称差 为自变量在的增量 ;函数随着从 称差为函数的增量 .如图 :一、函数的连续性3连续 ,2. 连续的定义定义 1 设函数 f (x)在 内有定义 ,若则称函数 f(x)在 x0处 并称 x0为函数 f(x)的连续点 .定义 2 若 则称函数 f(x)在 x0处连续 .把极限与连续性联系起来了 ,且提供了连续函数求极限的简便方法 只需求出该点函数特定值 .自变量在 x0点的增量为无穷小时 ,函数的增量也为无穷小 .形象地表示了连续性的特征 .采用了无穷小定义法充分必要条件4连续性的三种定义形式不同 ,这三种定义中都含有但本质相同 .f (x)在 内有定义 ;(1)(2)(3)三个要素 :定义 3把极限定义严密化 ,便于分析论证 .存在 ;5注一般讲 ,证明的命题用函数连续的定义 1方便 ;是判断分段函数在分界点处是否连续用判断函数在某点是否连续 ,尤其定义 2方便 .某一邻域而言 .由上述定义可知 , f(x)在 x0点的连续性是描述 f(x)在 x0点邻域的性态的 . 即它是对因此在孤立点处无连续可言 .6例证都是连续的 .类似可证 ,是连续的 .即7例证定义 2试证函数处连续 .83. 左、右连续左连续 (continuity from the右连续 (continuity from theleft);right).左连续 右连续9定理 1此定理常用于 判定分段函数在分段点处的连续性 .10例解右不连续 .所以 左连续 ,11例解12设解 因为 所以必需且只需即必需且只需即134. 连续函数 (continous function)与连续区间上的 或称函数在该区间上连续 .在区间上每一点都连续的函数 , 称该区间在开区间右连续左端点右端点这时也称该区间为 continuous左连续连续函数 ,连续区间 .内连续14关于连续函数 , 有一个对某些问题的推理定理 2很有用的定理 .的一个邻域 , 使得在此邻域内是一条无缝隙的连绵而不断的曲线 .连续函数的图形15例如 ,有理整函数 (多项式 )内是连续的 .因此 有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数只要 都有因此有理整函数 在都是连续的 .第五节中已证16定义 4 出现如下三种情形之一 :二、函数的间断点及其分类无定义 ;不存在 ;间断点 .17间断点分为两类 :第二类 间断点 (discontinuity point of the second kind):第一类 间断点 (discontinuity point of the first kind):及 均存在 ,及 中至少一个不存在 .若 称 为 可去间断点.若 称 为 跳跃间断点 .若 其中有一个为振荡 ,若 其中有一个为 称 为 无穷间断点.称 为 振荡间断点. 18函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃 可去无穷 振荡 其它19可能是连续点 ,初等函数无定义的孤立点是 间断点 .分段函数的分段点 可能是间断点 , 也需要判定 .20例 讨论函数解为 函数的 间断点 .第一类且是可去间断点 (removable discontinuity).连续 .处 无定义 ,可去间断点 .处在 1=x21则可使 x0变为连续点 .注对可去间断点 x0,如果于 A,(这就是为什么将这种间断点称为使之等可去间断点的理由 .)补充 x0的函数值 ,或 改变22如 补充 定义 :如但23例有定义 ,故 为 f (x)的 间断点 .第一类的第一类间断点 .则点 x0为 函数 f(x) 的且是跳跃间断点 .跳跃型间断点 (Jumpdiscontinuity).及 均存在 , 则点 x0为24跳跃型间断点可去间断点第一类间断点左右极限存在极限不相等极限相等、补充定义25例由于函数 无定义 ,故 为 f(x)的 间断点 .且皆不存在 .第二类第二类间断点 : 至少有且是无穷型间断点 .一个不存在 .26例有定义 ,不存在 ,故 为 f (x)的 间断点 .第二类且是无穷次振荡型间断点