上海市长宁区2013届高三上学期一模考试数学试题

大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS长宁区 2012 学年第一学期高三数学质量调研试卷一、填空题（本大题满分 56 分）1、计算： = 234lim(1)n2、记函数 的反函数为 如果函数 的图像过点 ,那么函yfx1().yfx()yfx)21(数 的图像过点1()_3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的 个小球，其中 个白球、 个黑球，则从口袋168中任意摸出 个球恰好是 白 黑的概率为 . （结果精确到 ）84 01.4、 展开式中含 x项的系数为 . )2(x5、设 为定义在 上的奇函数，当 时， （ 为常数） ，fR0x()2xfb则 (1)6、 （理）已知 ， 为 的共轭复数，若 （ 是虚数单位） ，则 zCz10iziz(文)已知 z 为复数，且 ，则 z= (2)1iz7、从数列 21*Nn中可以找出无限项构成一个新的等比数列 nb，使得该新数列的各项和为 7，则此数列 nb的通项公式为 8、阅读如图所示的程序框图，输出的 S 值为 ._9、已知 的面积为 ，则ABC3,23ABC的周长等于 ._10、给出下列命题中 非零向量 ab、 满足 ab，则 与 ab的夹角为 03； 0，是 、 的夹角为锐角的充要条件； 将函数 y = 1x的图象按向量 =(1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopSy = x； 在 ABC中， 若 )(AC0)(B，则 ABC为等腰三角形；以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上）11、 （理）我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积 S、周长 c 与内切圆半径 r 之间的关系为 。类比这个结论，在空间中，如果已知一个凸crS21多面体有内切球，且内切球半径为 R，那么凸多面体的体积 V、表面积 S与内切球半径 R之间的关系是 。（文）已知长方体的三条棱长分别为 ， ， ，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为_12、 （理）设102m，若2km恒成立，则 k 的最大值为 ._（文）已知向量 a= ),(xb= ),4(y,若 ab，则 yx39的最小值为 ;13、 （理）已知函数 的值域为 ，若关于 的不等式)2Rxf 0,(x的解集为 ，则实数 的值为1)(cxf )1,(mc._（文）设 为非零实数，偶函数 在区间 上存在唯一a2(1()fxamx(2,3)零点，则实数 的取值范围是 .14、 （理）给出定义：若 (其中 m 为整数)，则 m 叫做离实数 x 最近的整1数，记作 ，即 . 在此基础上给出下列关于函数 f (x) = | x x|的四个命题：xm函数 y = f (x)的定义域是 R，值域是 ；函数 y = f (x)的图像关于直线 x 10,2= (kZ) 对称；函数 y = f (x)是周期函数，最小正周期是 1；函数 y = f (x)在 上2k 1,2是增函数. 则其中真命题是_(写出所有真命题的序号).（文）已知数列 满足 ，且 ，且 ，则数列na11()23nna)*N中项的最大值为n ._二、选择题（本大题满分 20 分）15、 “ 2”是“函数 y=sin(x )为偶函数的” （ ）A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS16、若 20ABC，则 ABC必定是 （ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形17、已知 m，n 是两条不同直线， 是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（ ,）A. B./,则若 nm则若 ,/C. D.n/则若 则若18、 （理）函数 ， 的图象可能是下列图象中的 （ ）sixy(,0)(,（文）已知函数 ,若 则实数 的取值范围是（ 24()xf0x2()(,fafa）A B C D (,1)(2,)(1,2)(,1)(,2)(1,)三、解答题（本大题满分 74 分）19、 （本题满分 12 分）已知 (cos3in,)(cos,)mxxy，满足 0mn （1 ）将 y表示为 x的函数 ()f，并求 ()fx的最小正周期；（2） （理）已知 ,abc分别为 ABC的三个内角 ,ABC对应的边长，若3)2A(f，且a，求 的取值范围（文）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。3,0xaxf)(a20、 （本题满分 12 分）如图， ABC中， 09， 03ABC ， 3，在三角形内挖去一个半圆（圆心 O在边 上，半圆与 、 分别相切于点 、大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopSM，与 BC交于点 N） ，将 ABC绕直线 旋转一周得到一个旋转体。（1 ）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2 ）求图中阴影部分绕直线 旋转一周所得旋转体的体积21、 （本题满分 14 分） （理）经过统计分析，公路上的车流速度 （单位：千米/小时）v是车流密度 （单位：辆/千米）的函数，当公路上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成x堵塞，此时车速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时，研究表明：当 时，车流速度 是车流密度 的一次函数.2vx(1)当 时，求函数 的表达式；0x()x(2)当车流密度 为多大时，车流量（单位时间内通过公路上某观测点的车辆数，单位：辆/小时） 可以达到最大，并求出最大值.（精确到 1 辆/小时）()fvA（文）某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元，若用 x 表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元，又该厂职工工资固定支出 12500 元。（1）把每件产品的成本费 P（x） （元）表示成产品件数 x 的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价 Q（x）与产品件数 x 有如下关系： ()170.5Qx，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）22 (本小题满分 18 分) （理）已知函数 。()1fxx（1 ）求函数 的定义域和值域；fx（2 ）设 （ 为实数） ，求 在 时的最大值 ；2()()()aFfxa()Fx0a()ga（3 ）对（2 ）中 ，若 对 所有的实数 及 恒成g2()mtg1,t立，求实数 的取值范围。（文）已知二次函数 21fxaxa。BMNCAO第 20 题大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS（1）函数 fx在 ,1上单调递增，求实数 a的取值范围；（2）关于 的不等式 2f在 ,x上恒成立，求实数 的取值范围；（3）函数 agxf在 ,3上是增函数，求实数 a的取值范围。23 （本题满分 18 分）（理） 已知函数 ,)(1baxmkxf当 时， )(xf的值域为 ,2ba，当,2bax时， 的值域为 3，依次类推，一般地，当1n时， )(xf的值域为 ,n，其中 k、m 为常数，且.,01（1 ）若 k=1，求数列 ,nba的通项公式；（2 ）若 m=2，问是否存在常数 0k，使得数列 nb满足 ?4lin若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理由；（3 ）若 0k，设数列 ,nba的前 n 项和分别为 Sn，T n，求 ).()( 2013212321 ST（文）设 xf(，等差数列 n中 7a， 12321a，记nS= 31naf，令 nSab，数列 nb的前 n 项和为 nT.（1）求 n的通项公式和 n；（2 ）求证： 3T；（3 ）是否存在正整数 m,，且 1，使得 nmT,1成等比数列？若存在，求出nm,的值，若不存在，说明理由.大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS长宁区 2012 学年第一学期高三数学期终抽测试卷答案一、填空题（每小题 4 分，满分 56 分）1、 2、 3、 4、1 5、 6、 （理） ， （文）43),(8.040ii37、 8、 9、 10、 nb21311、 （理） ， （文） 12、 （理） ， （文） 13、 （理） ， （文）RSV368421)25,10(14、 （理）， （文）1二、选择题（每小题 5 分，满分 20 分）15、 16、 17、 18、ABC三、解答题19、解（1）由 0mn得2cos3sinco0xxy3 分即2cos3i i21sin(2)16yx x所以()in()16f，其最小正周期为 6 分（2 ） （理）因为()32Af，则,6kZ.因为 A为三角形内角，所以 3A9分法一：由正弦定理得Bsin34b，Csin34c， )6sin(4)2i(iisin34 BCBcb，1,2()6i(， 4,2(cb，所以 bc的取值范围为 ,4 12分法二： ，因此 ，3cos22babc3)(2大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS因为 ，所以 ， ，4)(2cb4)()(22cb16)(2.又 ，所以 的取值范围为 , 12分（文） （2） ,因此 的最小值为 ，6526,30xx)62sin(x219分由 恒成立，得 ，)(xfa)(minxfa所以实数 的取值范围是 . 12分2,20、 解（ 1）连接 ，则OMAB， 3 分2,1,30, CABC设 ，则r，又 ，所以 ，6 分O2r33,2r所以， 8 分.42球 表S（2 ） 12 分.27534AC312rBV球圆 锥21、 （理）解（1）由题意：当 时， ；0x()60vx当 时，设 2 分20x().vab再由已知得 解得 4 分0,6.ba1,320.故函数 v(x)的表达式为 7 分, 20,()120),.3xvx大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS（2）依题意并由（1）可得 ， 9 分60, 02,()1(2),.3xxf 当 时， 为增函数.故当 x=20 时，其最大值为 6020=1200；0x()fx当 时，2 211(0)10(20).333x当且仅当 ，即 时，等号成立. xx所以，当 时， 在区间20，200上取得最大值 . 12 分10()f综上，当 时， 在区间0，200上取得最大值 . xx103即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时. 14 分（文）解：（1）1250()4.5Pxx3分由基本不等式得 ().09 当且仅当1250.x，即 5时，等号成立 6 分()4.Px，成本的最小值为 90元 7 分（2 ）设总利润为 y元，则 1253.0)(2xxQy10 分9756(1.02当 5x时, maxy 13 分答：生产 件产品时，总利润最高，最高总利润为 29750元 14 分22、 （理）解： 由 1+x0 且 1-x0，得-1x1,所以定义域为 2 分(1) 1,又 由 0 得值域为 4 分22(),4fxx()fx2,大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS（2）因为 2 2()()()11aFxfxfaxx令 ，则 ，1tf2t ( )+t= 6 分()xmta2t,2t由题意知 g(a)即为函数 的最大值。21)a注意到直线 是抛物线 的对称轴。7 分ta(tta因为 a0 时,函数 y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，2,若 ，即 则 8 分1(0,ta()2)gam若 ，即 则 10 分(2,t 11()2a若 ，即 则 11 分1,)ta0a2g综上有 12 分2,1(),ga1,2（3 ）易得 ， 14 分min()2g由 对 恒成立，2ta0即要使 恒成立，15 分min()2g，令 ，对所有的 成立，20thtt1,0tht只需 17 分,)1(2h求出 m 的取值范围是 . 18 分,或 m=0或 2（文）解：（1）当 时， ，不合题意； 1 分axf)(大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS当 时， fx在 ,1上不可能单调递增；2 分0a当 时，图像对称轴为 ，a由条件得 ，得 4 分12a.（2）设 ， 5 分1)()(axxfh当 时， ， 7 分,1x25,因为不等式 fx在 1,上恒成立，所以 在 时的最小值大于或等于)(xh2,12，所以， ， 9 分250a20a或解得 。 10 分1（3） 在 2,3上是增函数，设 ，则 ，axg)(2 3221x)(21xg， ，12 分xa2121212121)(x因为 ，所以 ， 14 分32 )(212a而 ， 16 分)6,541()(212x所以 18 分.6a23、 （理）解：（1 ）因为 ,)(,)(1为 单 调 增 函 数时当 xfbaxmxf n所以其值域为 ,11bann 2 分大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS于是 )2,(, *11 nNmbann 4 分又 .1(),01b所 以 6 分（2 ）因为 为 单 调 增 函 数时当 )(,),0()( 1xfbaxkxfxf n所以 22,11 kmbkann 则因的 值 域 为 8 分法一：假设存在常数 0，使得数列 lili,4lim 1nnnn bkb则满 足 ，10 分得 21,4k则 符合。12 分法二：假设存在常数 k0，使得数列 n满足 .4limn当 k=1 不符合。7 分当 )2(1(12)(,11 kbkbbkn时 ，9 分则 ,2)(kbn 当 .,4li,0符 合得时 n12 分（3 ）因为 ,)(,01为 单 调 减 函 数时当 xfbaxkn所以 )(xf的值域为11mbnn13 分于是 )2,(, *1nNkkan则 )(1nnab 14 分因此 是以 为公比的等比数列，k又 11ab则有 )1,0(,1),kiSTiii16 分进而有 )1,0(,)1(2043)79)()( 201420132120321 kkSST18 分（文）解：（1）设数列 na的