关于正项级数收敛性的判别法

I关于正项级数收敛性的判别法On convergence of series with positive termsII摘要正项级数作为级数理论中最基本的一类级数，它的敛散性的判定是级数理论的核心问题。正项级数的敛散性判别方法有很多，本文对正项级数敛散性的各种判别法的特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。正项级数不仅有一般级数收敛性的判别法，也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。关键词：级数；正项级数；收敛；发散。IIIAbstractDetermining whether or not a series is convergent in the series theory is the core issue. There are many ways to determine if a positive series is convergent. This thesis makes full analysis for the convergence determination methods for positive series. There are many common and some new convergence determination methods, such as comparison criterion, Cauchy criterion, dAlembert criterion, Log Criterion and Rabe Criterion and other methods. But using which of these methods needs certain skills, needs to analyze the general items of the series. A lot of time can be saved if an appropriate method is used.Key words: Series; positive series; convergence; divergence.IV目录摘要 IABSTRACT.II目录 .III引言 .11 基础知识 .21.1 无穷级数的定义 .21.2 无穷级数的部分和 .21.3 无穷级数收敛的定义 .22 正项级数敛散性的常用判别法 .32.1 柯西收敛原理 132.2 基本定理 .32.3 比较判别法 32.4 达朗贝尔判别法 .42.5 柯西判别法 .42.6 积分判别法 .52.7 阿贝尔判别法 .52.8 狄利克雷判别法 .53 正项级数敛散性的一些新的判别法 .63.1 定理 1（比较判别法的推广） 63.2 定理 2（等价判别法） 63.3 定理 3（拉贝判别法） 3 73.4 定理 4（高斯判别法） 5 83.5 定理 5（库默尔判别法） 3 83.6 定理 6（对数判别法） 4 93.7 定理 7（隔项比值判别法） 3 103.8 定理 8（厄尔马可夫判别法） 4 103.9 定理 9（推广厄尔马可夫判别法） 4 104 正项级数敛散性判别法的比较 .125 应用举例 .166 总结与展望 .20参考文献 .21致谢 .221引言在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的,同时也是十分重要的一类级数。判别正项级数的敛散性是研究正项级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。因此，本文打算对正项级数的各种重要的敛散性判别法及特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。首先，正项级数作为数项级数的一个重要组成部分，数项级数收敛性的判定方法对正项级数也是适用的，如数项级数收敛性的概念和柯西收敛原理等。其次，正项级数也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如柯西判别法、达朗贝尔判别法、柯西积分判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，判断选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。21 基础知识1.1 无穷级数的定义一系列无穷多个数 写成和式123,nu 123nu 就称为无穷级数，记为 。如果 ，那么无穷级数 就称1n0,1,n 1nu为正项级数。1.2 无穷级数的部分和对任何一个无穷级数 ，我们总可以作出一个数列 ，1nu 1,2,3nkSu并称 为级数 的 次部分和（简称部分和） ，称数列 为级数的部分和数列。nS1n 1.3 无穷级数收敛的定义若级数 的部分和数列 收敛于有限值 S，即1nunS1limli,nnku则称级数 收敛，记为1nu 1,nuS并称此值 为级数的和数。若部分和数列 发散，则称级数 发散。当级数Sn1nu收敛时，又称 1231nnknnrSu为级数的余和。32 正项级数敛散性的常用判别法2.1 柯西收敛原理 1级数 收敛的充要条件是：对任意给定的正数 ，总存在 ，使得当1nuN时，对于任意的正整数 ，都成立着nN1,23p .nnpuu对于正项级数 ，由于 ，因此，只要 即可。1nu0n12nnpu2.2 基本定理如果正项级数的部分和数列具有上界，则此级数收敛。2.3 比较判别法设 和 是两个正项级数，存在常数 ，使1nu1nv 0c,(12,3)nucv或者自某项以后（即存在正整数 ，对一切的 时）成立上述关系，那么NnN（1）若级数 收敛，则级数 也收敛；1nv1n（2）若级数 发散，则级数 也发散；nuv比较判别法的极限形式 ：设 和 是两个正项级数。若有1n1nvlimnulv则（1）当 时，级数 与 同时收敛或同时发散；0l1n1n（2）当 时，若级数 收敛，则 也收敛；nvnu4（3）当 时，若级数 发散，则 也发散。l1nv1nu2.4 达朗贝尔判别法设 为正项级数，若从某一项起成立着 （ 为确定的数， ） ，1nu 1nuqnN则级数 收敛。若从某一项起 ，则级数 发散。1n1,()nuN1nu达朗贝尔判别法的极限形式：对于正项级数 ，当1nu_1limnur时，级数 收敛。当1nu _1linur时，级数 发散。而当 时，级数 的收敛性需要进一步判定。1nu_r或 者 1nu2.5 柯西判别法设 为正项级数，若从某一项起（即存在正整数 ，对一切的 时）1nu NnN成立着 （ 为确定的数） ，则级数 收敛。若从某一项起成立着nq1nu，则级数 发散。1nu1nu5柯西判别法的极限形式：对于正项级数 ，设1nu_lim,nru那么，当 时，级数 收敛，当 时，级数 发散，当 时，级数r1n11n1r的收敛性需要进一步判定。1nu2.6 积分判别法 对于正项级数 ，设 为单调减少的数列，作一个连续的单调减少的正1nun值函数 ，使得当 等于正整数 时，其函数值恰为 ，即 。那(),0fxx nu()nfu么，级数 与数列 ，这里 ，同时收敛或同时发散。1nnA1nfxd2.7 阿贝尔判别法如果（1）级数 收敛；1nb（2）数列 单调有界， ，na,(12,3)naK则级数 收敛。1nb2.8 狄利克雷判别法如果（1）级数 的部分和 有界， ；1nbnB,(12,3)nM（2）数列 单调趋于零，a则级数 收敛。1n63 正项级数敛散性的一些新的判别法3.1 定理 1（比较判别法的推广）（1）若正项级数 收敛，则级数 也收敛 2 ；1nu1knu()kN（2）若正项级数 发散，且 ，则级数 也发散。1nvlimnv1knv证明：用数学归纳法和比较判别法来证明。（1）当 时，因为 收敛，所以 ，从而 ，由比较判别法k1nuli0nu2lim0nu得级数 收敛。21nu假设 时，级数 收敛，则当 时，因为 ，由比较判别法km1mnu1k1li0mnu得级数 收敛。所以，根据数学归纳法，结论成立。1nu（2）当 时，因为 ，而级数 发散，从而由比较判别法得级数k2linv1nv发散。21nv假设 时，级数 发散，则当 时，因为 ，由比较判别km1mnv1k1limnv法得级数 发散。所以，根据数学归纳法，结论成立。1n73.2 定理 2（等价判别法）对于正项级数 ， ，若正项级数 收敛，则级数 也收敛。1nuna:1na1nu证明：由于 ，所以 ，又正项级数 收敛，根据比较判别法的极na:lim1n1n限形式得正项级数 也收敛。1nu3.3 定理 3（拉贝判别法） 3对于正项级数 ，如果存在正整数 及常数 ，1nuNr（1） 若对任意的 ，存在 ，使得 ，那么级数 收1r1nu1nu敛；（2） 若对任意的 ，存在 ，使得 ，那么级数 发nNr1nru1n散。证明：(1)取实数 使得 。由于 ，故对充分大的 有1rlim1nrn。由 得 ，即1rn1nur1 1nurn。由于 ，所以级数 收敛，故级数 收敛。1nu1n1nu（2）由 及 ，得 ，即1nru11nur，由于级数 发散，故级数 发散。1n1n1nu拉贝判别法的极限形式：8对于正项级数 ，且 ，1nu1limnur（1）当 时，级数 收敛；r1n（2）当 时，级数 发散；nu（3）当 时，需要进一步进行判定。r3.4 定理 4（高斯判别法） 5设正项数列 满足 ，那么nu11,0nnp有 界（1）当 时，级数 收敛；p1nu（2）当 时，级数 发散。1n证明：取 ，则1lnsv 1 11lnls ssnv a这里 ，故1lnlllnaoon1 111lnllnlnnv sssa o 由已知可得 1llnuvso故当 时，取 使得 时， ，当 时有 ，所以s0N0n10nuv。由于当 时，可知级数 收敛，所以级数 收敛。1nuv11nv1n当 时，取 。即可得 ，所以 。由级数 发散，s10nunuv1nv9可得级数 也发散。1nu3.5 定理 5（库默尔判别法） 3对于正项级数 ，如果 ，则1na 11limnnua（1）当 时，级数 收敛；01n（2）当级数 发散且 时，级数 发散（这里 ） 。1na01nu,0nNa证明：（1）由于 ，故存在 ，当 时，有0N112nna因此 11,02nnnnuaua由此得 11kkkNNa因此有 112nnkuu从而 1120kNnNNaa此即表明 的部分和序列 有上界，故级数 收敛。1nu1ku1nu根据假设存在 ，故 时，110nna因此有 1nnua从而 11nna而级数 发散，故级数 发散。1na1nu103.6 定理 6（对数判别法） 4对于正项级数 ，若从某一项起，有 ，则级数 收敛；若1nu1lnup1nu从某一项起，有 ，则级数 发散。ln1n对数判别法的极限形式：对于正项级数 ，如果1nu1lnimur那么，当 时级数收敛； 时级数发散； 时级数的收敛性需要进一步判1rr定。3.7 定理 7（隔项比值判别法） 3设正项级数 的通项 是递减的，如果 ，则1nun 2limnu（1）当 时，级数 收敛；21n（2）当 时，级数 发散。1nu3.8 定理 8（厄尔马可夫判别法） 4设 为递减的正值连续函数，又设 ，那么fx limxef（1） 当 时，级数 收敛；11nf11（2） 当 时，级数 发散。11nf3.9 定理 9（推广厄尔马可夫判别法） 4设 为递减的正值连续函数， 为递增可导函数，并满足 ，如果()fxxx，那么/limxf（1）当 时，级数 收敛；1nf（2）当 时，级数 发散。1nf124 正项级数敛散性判别法的比较4.1 当级数的通项为等差或等比数列，或通项为含二项以上根式的四则运算，且通项极限无法求出时，可以选用定义和柯西收敛原理进行判断。如：4.1.1 123n 取 ，若令 ，则0,p01122nSnn因此，由柯西收敛原理知级数 发散。14.1.2 2n 314325432112S nnn则 。所以，由级数收敛的定义知原级数收敛。limnS4.2 当级数的通项型如 或含有 等三角函数的因子时，可以通过对其进1nusi,co行适当的放缩，然后再与几何级数、 级数等常见的已知其敛散性的级数进行比较，P选用比较判别法进行判定。如：4.2.1 判别正项级数 6收敛。1,na因为 ， ，而级数 收敛，所以由比较判别法知0na01na级数 收敛。1n4.2.2 判别正项级数 的敛散性。ln21n因为存在正整数 ,当 时，有 ，而正项级数Nlnln2ln11e是收敛的，所以由比较判别法知级数 收敛。21nln2n通常比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。134.3 当级数的通项含有型如 或 ，或分子、分母含多个因子连乘时，选用达朗!na贝尔判别法；当通项含 与 的函数时，可以选用达朗贝尔判别法的极限形式1u进行判断，例：4.3.1 判别正项级数 的敛散性。132!n由于， ，所以级数 发散。limli1nu1321!n4.3.2 判别正项级数 的敛散性。21 ,0nnxx 由于 11,1limli20,nnux所以， 。故正项级数 收敛。1linu21 ,0nn xx4.4 当级数的通项含有 次幂，型如 、 或通项 ，即分母为含有nau1lp的函数，分子为 1，可选用柯西判别法。如：lnx4.4.1 判别正项级数 收敛。12nn由于 ，所以根据柯西判别法的极限形式得正项1limlin级数 收敛。12n一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用达朗贝尔判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比式判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比达朗贝尔判别法更优。例如：4.4.2 7,0nbcbc 柯西判别法 1212limlinnnbc2linbc当 时，原级数= ，原级数发散。1bcb所以，当 时，原级数发散；当 时，原级数收敛。1达朗贝尔判别法141,nbuc为 奇 数为 偶 数_limn1_nub所以，当 时，原级数收敛；当 时，原级数发散。1cb即 1c即由例题可知，两种判别法都可以用来判断上题，但柯西判别法与达朗贝尔判别法相比得出的收敛范围更小，约束条件更为详细。因此，上题选用柯西判别法比达朗贝尔判别法更好。在使用判别法时，我们可以选用柯西判别法找到最佳收敛条件。同时也存在只能使用柯西判别法，使用达朗贝尔判别法无法判断的情况。例如：4.4.3 判别级数 8的敛散性。(1)2nn由于 ，所以用达朗贝尔判别法无法判别原级数的敛散11limlinnu性。而 ，所以，由柯西判别法得原级数收敛。1lili2nn因此，当我们观察级数的通项的极限趋近于 0 时，我们可以选用柯西判别法或达朗贝尔判别法。4.5 当级数的通项含有型如 ， 为含有 的表达式或 可以找到原函数，或nuln1nu函数 为 上非负单调递减函数且 时，可以选用积分判别法。如：fx1,uf4.5.1 判别正项级数 的敛散性。31ln由于 ，则广义积33 3llnlnldxdxdx x分 发散，所以由柯西积分判别法知原级数发散。lnx4.6 当级数的通项含有阶乘与 次幂，型如 与 时，而使用柯西判别法、达朗n!na贝尔判别法时极限等于 1 等无法判断其敛散性的时候，可选用拉贝判别法。例：4.6.1 判别正项级数 的敛散性。!ne由于 ， ，所以，使用柯西判别法limli!nnu1limli1nnue和达朗贝尔判别法都无法判断。而 ，所以由拉贝判别法的极限形式1lili2nnnne15得原级数收敛。因此，当柯西判别法与达朗贝尔判别法无法判断正项级数的敛散性时，我们可以选用拉贝判别法。4.7 当级数的通项是由两个部分乘积而组成的，其中一部分为单调且趋于 0 的数列，另一部分为部分和有界的数列，若含有 等三角函数、 等；或sinco或 1n可化为 ，则可以选用狄利克雷判别法。阿贝尔判别法也可以看成是狄利克雷1n判别法的特殊形式。如：4.7.1 如果正项级数 收敛，则级数 都收敛。1nb1,nnb4.8 当通项可通过泰勒展开式等方法找到其等价式，则可以通过判断其等价式的敛散性来判断原正项级数的敛散性，这需要对泰勒展开式能够较为熟练的使用，以及对各种等价式能够熟练的运用。例：4.8.1 判别级数 的敛散性。1sin2!,0e因为 01!nen 221si2si22!1 1i!21sin,nononn :所以， ，而正项级数 是收敛的。故原级数也收敛。1!e:1n4.9 当级数的通项 或 时，可以选用对数判别法。如：lnullgnf4.9.1 判别级数 8的敛散性。l2n因为 ，对 ， ，当 时，有 ，llnu0Nnln1所以原级数收敛。165 应用举例例 5.1 判定正项级数 收敛。12n分析：本题中级数的通项是一个等比数列，判定其收敛性的方法比较多，定义、柯西收敛原理、比较判别法、柯西判别法和达朗贝尔判别法都适用。解：该级数前 项和n112212knnknS由于 limli12nnS所以级数 收敛，其和为 2。12n例 5.2 判定正项级数 的敛散性。1!n分析：本题无法使用定义、柯西判别法与达朗贝尔判别法，因此选择比较判别法进行判断。.解：记 ，则!2!nu 212!10n nu 而级数 是收敛的，所以，由比较判别法得原级数收敛。21n例 5.3 判定正项级数 的敛散性。12nn分析：本题级数的通项中含有 ，不能使用达朗贝尔判别法，这种类型也1n是柯西判别法的典型类型，只要取上极限进行判断即可。当然了，也可以用比较判别法。解：记 ，则21nnu17_21limlinnnu所以，由达朗贝尔判别法的极限形式得级数 收敛。1n例 5.4 判定正项级数 的敛散性。12nn na分析：本题无法直接使用定义、柯西判别法、达朗贝尔判别法，或比较判别法以及其他的判别法进行判断，因此可选用基本定理进行判断。解：记 ，则12nn nau 1212112n n n naaaa 级数的前 项和 112nk nSu所以原级数的部分和数列有上界，于是原级数收敛。例 5.5 判定正项级数 的收敛性。1lpn分析：本题级数的通项的分母中含有 的表达式，优先选择柯西积分判别法。ln解：设 ，则当 时，,lpfxx122212 lnln,ln01ppp dxxfdx当 时当 时当 时，1p2limlinl2ndx所以，当 时原级数发散，当 时原级数收敛。1p例 5.6 判定级数的 收敛性。0213nn分析：本题运用定理 1 进行判定比较简便。解：由于级数 和级数 收敛，根据收敛级数的性质得级数1n21n也收敛，再由定理 1 得级数 收敛。213nn 10213nn18例 5.7 讨论正项级数 当 时的收敛性。1352146snn ,23分析：无论 那个值，都有 ，因此达朗贝尔判别法无法判别,2s1limnu该级数的敛散性。现在应用拉贝判别法来讨论。解：记 ，当 时，由于1351246snnu 121limli1li2nnnnu所以，由拉贝判别法的极限形式得原级数发散。当 时，由于2s 221 4311nunn所以，由拉贝判别法得原级数发散。当 时，由于3s 23 31 872limli1lim12nnnnu所以，由拉贝判别法的极限形式得原级数收敛。例 5.8 讨论级数 的敛散性。1l,0npnxp解：记 ，则lulim1nu所以达朗贝尔判别法失效，考虑用对数判别法 lnl1l llnl1imiinlli lim1pnnn nxxuxpppx 故当 时，原级数收敛；当 时，原级数发散。1xx例 5.9 讨论级数 的敛散性。13521,046pqn 为 参 数解：记 ，则2pn qun 19lim1nu12lipqnu于是柯西判别法和达朗贝尔判别法都无效。我们用高斯判别法进行判定。由于 122211pqnnunoopq所以，当 时，原级数收敛；当 时，原级数发散。2pq1pq206 总结与展望数学分析作为数学专业一门专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为 0，若不为 0 则发散，若为 0 则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散。若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法。当通项具有一定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，如柯西判别法、达朗贝尔判别法或拉贝判别法。当上述方法都无法使用时，根据条件选择积分判别法、库默判别法或高斯判别法。库默尔判别法可以推出比式判别法、拉贝尔判别法与伯尔特昂判别法。当无法使用柯西判别法时，通常可以选用达朗贝尔判别法，当达朗贝尔判别法也无法使用时，使用比较判别法，若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行判断。由此，我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的，每当一种判别法无法判断时，就出现一种新的判别