分形市场中基于股票指数金融衍生品的定价研究

- 1 -研究领域: 金融学分形市场中基于股票指数金融衍生品的定价研究唐斌摘要 随着我国国内金融市场的全面开放,一系列基于股票指数的金融衍生品将不断推出.在金融衍生产品的开发过程中，对股指期货、期权等金融衍生品的定价显得非常重要，对这些产品进行定价时，通常都是建立在有效市场假说的基础之上，但近年来许多实证研究表明,股票价格并不遵循有效市场假说中的正态分布,而是一种分数布朗运动. 基于此，本文在对沪深两大交易所的主要股票指数进行了实证分析，进而为即将大规模推出的金融衍生品开发提供一种切实可行的定价方法。关键词 分形市场 有效市场假说 分数布朗运动 股票指数 金融衍生产品1、引 言2006 年, 央行推出了一系列关于金融衍生品的规定，包括开展人民币、美元货币掉期业务和人民币利率互换试点，以及上海金融衍生品期货交易所的筹建等，金融衍生品将在中国得到迅速发展。随着中国股票市场对外吸引力的不断增加，海外证券市场基于中国股票市场的交易工具将会有不断活跃与增加的趋势，国内证券市场的股票指数也将会成为境外机构在海外发行金融衍生产品的首选标的。目前, 国外有很多金融机构利用人民币或中国证券市场的股票指数为标的物，开始推出一系列地金融衍生产品，比如股指期货、指数期权和权证等。2004 年，芝加哥期权交易所(CBOE) 率先推出中国指数期货, 2005 年香港交易所与新华富时指数公司签订交易新华富时中国 25 指数期货及期权的协议。2006 年 1 月新加坡交易所（SGX）宣布将于 9 月推出新华富时 A50 中国指数期货。随着我国国内金融市场的全面开放和金融管制的逐渐放松，基于中国证券市场的股票指数型金融衍生产品将会不断推出。1983 年 3 月, 第一份普通股指期权合约在芝加哥期权交易所出现。该期权的标的物是S&P 100 股票指数。随后，美国证券交易所和纽约证券交易所迅速引进了指数期权交易。以华尔街为代表的成熟的金融衍生品市场得到了迅速的发展。在进行基于股票指数的期权、权证等金融衍生产品研究开发时，需要充分考虑作为标的物的股票指数特点, 才能得到一个合理的产品定价。传统的金融衍生品在定价时, 常常建立在与实际不相吻合的有效市场假设之上，这一假设认为金融资产的价格波动是相互独立的，即遵从随机游走的布朗运动，且其收益率服从正态分布。但近年来，对股票市场的大量实证研究都表明股票市场价格变化并不符合正态分布，它们呈现的是一种“尖峰胖尾”分布（Hu,Y. 和ksendal,B，2003 ；Bayraktar ，2004；徐龙炳、陆蓉，1999 1） ，而且股价之间在不同时间存在着长期相关性，而不是随机游走的。1994 年，Peters 提出了分形市场假说，它强调信息和投资起点对投资者行为的影响，并应用 R/S 分析法证明了不同资本市场都存在着分形结构和非周期循环。分形市场假说由于不依赖于独立及正态分布等假设，且利用这一假说中的分数布朗运动能够很好地解释股票市场中的“尖峰胖尾”现象。因此在进行金融衍生品的开发时,对其定价有必要结合分形市场中的分数布朗运动来进行分析为此,本文从分形市场出发,对基于股票指数的期权等金融衍生品的定价问题进行了研究.1 徐龙炳、陆蓉(1999)对深沪两市进行了R/S 分析，其Hurst指数分别为0.661 和0.643，这表明我国的股票市场也是一种呈“尖峰胖尾”分布的分形市场结构。- 2 -本文以下部分的结构为：第二部分，介绍有效市场假说的局限性及分形市场和分数布朗运动；第三部分，阐述了分形市场中的 R/S 分析方法；在第四部分，我们利用股票市场上关于主要股票指数的历史股价变化，对其 Hurst 系数进行了测定；然后在第五部分，对金融衍生品中的期权与不同 Hurst 系数之间的关系进行了说明；在最后一部分，对全文进行了总结。2、有效市场假说与分形市场介绍自从1970年Fama提出有效市场之后，有效市场假说便成为数量化资本市场理论的基石。许多现代金融投资理论，如CAPM（资本资产定价模型） 、APT（套利定价理论）等都是建立在有效市场假设之上。但是，许多实证研究表明，有效市场假设已经很难反映市场的真实性，它存在着明显的缺陷，具有一定的局限性。1994年，Peters首次提出了分形市场假说，它强调信息和投资起点对投资者行为的影响，并认为所有的稳定市场中都存在分形结构。分形市场假说强调流动性的影响以及基于投资者行为之上的投资起点，其目的是给予一个符合我们观察的投资者行为和市场价格运动的模型。Peters 应用R/S 分析法分析了不同资本市场（如股市收益率、汇率） ，都发现了分形结构和非周期循环，证明资本市场是非线性系统。由于分形市场理论可以解释“波动具有非线性、自相似性和长记忆性”等有效市场理论无法解释的现象, 因此，我们在对金融资产定价分析时，运用分形市场理论将会比有效市场假说更加准确地刻画市场的真实特性。我国一些学者针对分形市场也作了许多的实证研究。徐龙炳、陆蓉(1999)对沪深两市进行了R/S 分析，其Hurst指数分别为0.661 和0.643，周期为195 天；张维、黄兴(2001)采用更长的采样区间、分析了沪深股市的日、周收益率，从而论证了市场存在非线性结构；周孝华(2002)通过分析布朗运动与分形布朗运动，提出了分形维纳过程的概念并利用它推导出不付红利的股票价格遵循含有分形维纳过程的微分方程。2.1、有效市场假说及其局限性有效市场假设认为:证券市场中股票价格可以及时、充分反映所有相关信息,未来的价格只能由新的信息决定。资产价格的波动服从布朗运动。有效市场假说由于未考虑投资者行为的复杂性、多样性，以及市场对于信息的反馈机制等，主要存在以下三个方面的局限：（1） 有效市场假说认为价格是一个独立同分布的随机变量，当样本容量变大时，它将趋于正态分布，但通过大量实证结果表明，价格及收益率的分布并非正态分布，而是呈现“尖峰厚尾”分布。（2） 假定市场的当前价格已经充分反映了所有信息，价格变化是独立变动过程。投资者立即对价格做出反应，所以未来与过去或现在都不相关。但由于人们对信息的反应是以非线性方式做出的，因此，价格的变动具有长期记忆的特性，过去的信息现在和未来的价格都会有影响。（3） 没有考虑市场波动的期限结构。实际上，在市场中的投资者是具有不同投资期限的，市场的流动性就在于投资者的不同投资期限、不同的信息集、以及形成的对市场“公平价格”的不同理解。在有效市场假说下，通常假设股价和收益率的波动性与时间的平方根成比例。但实际上股价和收益率的波动并非如此，它们的变化具有自相似和分形等特性。另外，市场有效不一定意味着它是随机游动的，但随机游动过程一定隐含着市场是有效的，换句话说就是收益率正态分布的假设不是市场有效所必须的。有效市场理论存在的这些局限性，使它已不能客观地解释现实中金融价格波动。而分形市场理论却能很好地解- 3 -决了有效市场理论的这些不足,从而更加准确地刻画出市场的真实特性。2.2、分形市场假说 分形市场理论认为：金融资产的收益率并不是随机游走的，其概率分布也很少是正态分布或对数正态分布。正态分布只是分形分布的一种特例。它认为收益率的时间序列具有相关性和长期记忆性。收益的分布不是正态分布，且其方差可能无限大或不存在。分形市场假说的内容主要有以下三点：(1) 市场由众多的投资者组成，这些投资者处于不同的投资起点，投资者的投资起点对 其行为会产生重大的影响。信息对于处于不同投资起点上的投资者所产生的影响是不相同。(2)分形市场假设强调市场流动性及投资期限对投资者行为的影响。认为只有当大量不同投资起点的交易者存在时，市场才是稳定的，只有稳定的市场才能确保足够的流动性。(3)每个投资起点都是一个具有有限方差的随机函数，它依赖于前一个方差，因为在每一投资起点的风险相同，因此收益的频率分布形状也就相似，市场结构具有自相似和分形的特性。2.3、分数布朗运动的性质 本文将在分形市场假设下，假定金融资产的价格变动服从分数布朗运动，而不是标准的几何布朗运动。分数布朗运动具有如下几个性质：（1）Hurst 参数为 H(0 时, 具有长期依赖性，21即： ,)2|2|(1)()( HtststsEn 且有 1H若H= ， 即为标准布朗运动B(t)，表现为随机游走特性，此时累积离差是随2)(tB时间的平方根而增加, 过去的事件不会影响未来。若01 年时，对于相同到期日的期权，其价值随着 Hurst 指数的增大而增加；而对于相同的 Hurst 指数，期限越长，其价值也越大。（2） 当 0T1 时，对于相同到期日的期权，其价值随着 Hurst 指数的增大而减少；而对于相同的 Hurst 指数，期限越长，其价值也越大。由于不同 Hurst 指数对应的期权价格也不同，因此，为了正确地定价期权等金融衍生品，必须在分形市场中考虑标的股票的分形结构。下面我们以一个简单的例子来说明本文介绍的定价方法.对基于上证综合指数(000001,SS)的欧式看涨期权，假定该期权发行前日的上证综合指数的收盘数等于 2006 年6 月 30 日前 30 天的日平均收盘数 (利用上证综合指数的历史数据可以算得 2006 年 6 月 30日前 30 天的日收盘数平均价为 1614.37 点)。为了对其进行发行日的定价分析。我们取2005 年 6 月 30 日至 2006 年 6 月 30 日上证综合指数的日收盘数据，无风险利率 r=4.4%,行使价为 1800 点,期权到期日长 T=2 年,并利用公式 来计算各个股票的收益率,)1ln(tPrPt 为股票的日收盘价格，由此估算出股价的年波动率s 为 21.59%.所需数据来源为：雅虎财经网站()。利用 R/S 分析方法从 2001 年 7 月 5 日至 2006 年 6 月 30 日的历史股价数据可以得到上证综合指数的 Hurst 指数值，其 H 值为 0.748658，表明该市场具有明显的分形结构和持续性，且股票的收益率不是随机游走，而是一个有偏的“尖峰胖尾”分布。进而可以得到基于上证综合指数的期权价值为 218.18852.利用分数布朗运动下的 Black-Scholes 公式由于2 利用传统的 Black-Scholes 期权公式计算得到的期权价值为 181.4032.- 8 -充分考虑了标的指数的分形特征,将比传统的 Black-Scholes 期权定价方法更为合理,从而为金融衍生品的开发者和投资者提供一个更为准确的定价参考.6、总结近年来的大量实证研究表明我国的证券市场也是呈“尖峰胖尾”分布，基于有效市场假说的传统Black-Scholes期权定价模型已不能合理地进行金融衍生品的定价，因此为了合理地定价期权等金融衍生品，必须结合分形市场来进行定价分析。而本文通过结合目前的许多实证研究结果及相关期权定价方法，提出了分数布朗运动下的期权定价模型，使得对期权等金融衍生品的定价将更显合理，为投资者提供一个合理的投资决策方案，并进一步推动和繁荣我国的证券市场。参考文献1 Bayraktar, E., Poor, H. 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