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前从一个专门的数学论坛下载保存的数值分析教学大纲 一、说明 （一） 课程性质 人类数学能力的提高与采用的手段是分不开的。作为当今科学研究的三种基本手段之一的科学计算就是其中一个很好的例子。科学计算是为各种科学与工程问题的计算机求解进行算法设计与分析所进行的研究。随着计算机科学技术的进步，人们越来越依赖于用计算机解决问题，从而科学计算的用处也越来越大。有些发达国家甚至把它作为衡量国家综合实力的一个重要方面，从而大力推动其发展。 计算机解题过程实质上就是实施某种计算机算法。程序实际上就是为了用计算机解决问题所进行的对算法的一种描述，但算法并不等于程序。实质上， 程序=算法+数据结构+程序设计方法 +语言工具和环境 算法、数据结构、程序设计方法和语言环境四个方面的知识构成了一个程序设计人员应具备的基本素质。算法是程序的灵魂，解决“做什么”和“如何做”的问题。不了解算法就谈不上程序设计，程序设计的质量一般不可能优于算法的设计。著名计算机科学家、程序设计的权威 Knuth 就明确指出：“计算机科学就是关于算法的学问。 ” 计算机算法一般可分为两大类：数值运算算法和非数值运算算法。本课程集中介绍科学计算中最基本的数值运算算法。 学习数值分析这门课程的学生在将来的工作中将可能以科学计算为工具解决具体问题，他们的学习目标是“使用”算法：从许多成熟的科学计算方法及相应的计算机软件中，根据实际问题的需要，选择相适应的方法，或者改进和构造新的数值算法，以弥补现有算法的不足。本课程旨在帮助他们理解科学计算方法如何工作及有何限制。 （二）教学目的 科学计算与理论分析、实验手段一起，已成为人类探索未知科学和进行大型工程设计的三种方法和手段。在独创性研究工作的先行性研究中，科学计算更具有突出的作用。科学计算能力是 21 世纪人才不可或缺的。数值分析课程在培养学生科学计算能力上具有不可替代的作用。因此本课程主要介绍数值分析方面的基础知识及常用的数值计算方法，目的是让计算机科学的学生了解数值计算的重要性，加强他们的数学理论基础，培养他们“使用”算法、实际处理数值计算问题的能力。 （三）教学内容 本课程包括六个部分的内容： 0、科学计算引论：何为科学计算，科学计算中的误差，计算机数学，算法 1、线性方程组的数值算法-直接法和迭代法 2、非线性方程组的迭代法：迭代原理，二分法，牛顿法，弦截法 3、数值逼近（曲线拟合）：拉格朗日插值，牛顿插值，分段插值，样条插值 4、数值微积分：机械求积，牛顿-柯特斯公式，龙贝格公式，高斯公式，数值微分 5、常微分方程初值问题的数值解法：欧拉法，龙格-库塔法，线性多步法 先行课程：高等数学，线性代数，计算机程序设计语言。 （四）教学时数 本课程 3 学分，计划课堂教学总时数为 54 学时。 （五）教学方式 本课程采用以多媒体教学手段为主，黑板板书为辅的教学形式，充分发挥多媒体教学手段信息量大、板书分析细致等特点。 布置作业时，鼓励学生采用高级编程语言和数学工具软件（如 MatLab,C+,VB,Maple 等）实现各种算法。这样可以激发学生的学习兴趣，使他们能更好地把握各种算法的应用范围和使用要求，理解算法建立的数学背景、原理和基本线索，牢记最基本的算法，熟悉公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。这也是任何数学课所必须要求的。因此独立完成作业也是学好本课程的重要手段。 二、正文 科学计算引论 教学时数：4 学时。 教学内容：说明本课程的性质、何为科学计算、科学计算的意义、计算机数学的特点、科学计算中的误差、误差及其传播、算法是什么、数值计算中应注意的问题、本课程的主要参考书 学生应了解本节内容。 第一章 线性方程组的数值解法 教学要点： 向量和矩阵的范数, 高斯消去法, 三角分解法, 追赶法, 平方根法, Jacobi 迭代法 , Gauss-Seidel 迭代法, 误差分析 1.1 向量和矩阵的范数 教学时数：2 学时。 教学内容：向量范数的定义、三种常用向量范数 矩阵范数的概念、由向量范数导出的三种矩阵范数 学生应熟练掌握本节内容。 1.2 高斯消去法 教学时数：2 学时。 教学内容：高斯消去法的消元过程、回代过程 按列选主元素高斯消去法 高斯消去法的计算复杂性 学生应熟练掌握和应用本节内容。 1.3 三角分解法 教学时数：2 学时。 教学内容：对角占优矩阵和对角占优方程组 三角分解法 三角分解法的计算复杂性 学生应熟练掌握本节内容。 1.4 追赶法 教学时数：1 学时。 教学内容： 三对角矩阵和三对角方程组 追赶法 学生应熟练掌握本节内容。 1.5 平方根法 教学时数：1 学时。 教学内容： 正定对称矩阵和正定对称方程组 平方根法 改进的平方根法（Cholesky 分解） 学生应熟练掌握和应用本节内容。 1.6 迭代法 教学时数：3 学时。 教学内容： 迭代公式的一般形式 Jacobi 迭代法 Gauss-Seidel 迭代法 SOR（超松驰）迭代法 迭代过程的收敛性 学生应熟练掌握和应用本节内容。 1.7 误差分析 教学时数：1 学时。 教学内容： 病态方程组 矩阵的条件数 余量 方程组右端项和系数矩阵的扰动对解的影响 精度分析 学生应了解本节内容。 考核要求：1、了解向量和矩阵范数的定义和计算 2、掌握高斯消去法、按列选主元的高斯消去法、三角分解法 3、了解求解特殊方程组的追赶法和 Cholesky 平方根法 4、掌握 Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和 SOR 迭代法 5、了解方程组右端项和系数矩阵的扰动对解的影响、方程组解法的误差分析 第二章 方程求根的迭代法 教学要点： 迭代法和迭代函数, 局部收敛性、收敛速度和收敛阶, 二分法, 牛顿法, 单点弦截法, 双点弦截法（快速弦截法） 2.1 迭代原理 教学时数：2 学时。 教学内容：方程的根 迭代法和迭代函数 迭代误差、迭代过程的收敛性 Brower 不动点原理（压缩映象原理） 局部收敛性、收敛速度和收敛阶 学生应熟练掌握本节内容。 2.2 迭代过程的加速 教学时数：1 学时。 教学内容：迭代过程的加速 校正 埃特金(Aitken)算法 学生应熟练掌握本节内容。 2.3 二分法 教学数：1 学时。 教学内容： 有根区间 二分法 学生应熟练掌握和应用本节内容。 2.4 牛顿法 教学时数：2 学时。 教学内容：泰勒展式 牛顿法（切线法） 、初值的选取 牛顿法的应用 学生应熟练掌握和应用本节内容。 2.5 弦截法 教学时数：1 学时。 教学内容：单点弦截法 双点弦截法（快速弦截法） 学生应熟练掌握本节内容。 习题课 教学时数：2 学时。 教学内容：第一和第二章。 考核要求：1、掌握迭代法的概念、迭代法的收敛性定理、局部收敛的概念、收敛阶的概念 2、了解 Aitken 迭代加速收敛方法 3、了解二分法 4、掌握牛顿迭代法及其应用 5、掌握弦截法 6、了解初始值的选取、收敛性的判断和误差估计 第三章 插值方法 教学要点： 代数插值, 拉格朗日插值, 拉格朗日插值公式, 拉格朗日插值余项, 差商,牛顿插值多项式, 埃米尔特插值, 分段插值, 样条插值 3.1 插值问题 教学时数：1 学时。 教学内容：代数插值、插值节点、插值函数 泰勒插值、泰勒插值余项定理 拉格朗日插值 插值问题解的惟一性 学生应了解本节内容。 3.2 拉格朗日插值公式 教学时数：2 学时。 教学内容：线性插值 抛物插值 插值基函数 n 次拉格朗日插值多项式 学生应熟练掌握和应用本节内容。 3.3 拉格朗日插值多项式的余项 教学时数：1 学时。 教学内容：拉格朗日插值余项 插值区间 内插、外插 学生应熟练掌握本节内容。 3.4 牛顿插值多项式 教学时数：1 学时。 教学内容：差商和差商表 牛顿插值多项式 牛顿插值多项式的余项 学生应熟练掌握和应用本节内容。 3.5 埃米尔特插值 教学时数：1 学时。 教学内容：埃米尔特插值基函数 埃米尔特插值多项式 学生应掌握本节内容。 3.6 分段插值 教学时数：1 学时。 教学内容：高次插值的龙格现象 分段线性插值 分段三次插值 学生应掌握本节内容。 3.7 样条插值 教学时数：1 学时。 教学内容：样条函数 三次样条插值 学生应掌握本节内容。 习题课 教学时数：2 学时。 教学内容：第三章。 考核要求：1、理解插值概念和插值问题的提法 2、熟练掌握插值基函数、拉格朗日插值公式，会用余项定理估计误差 3、掌握差商的概念及其性质，熟练掌握用差商表示的牛顿插值公式 4、掌握埃米尔特插值、分段插值的定义和特点 第四章 数值求积 教学要点： 求积节点,求积系数,机械求积公式, 梯形公式,抛物线公式（辛甫生公式） ,牛顿- 柯特斯公式, 步长逐次减半法,龙贝格算法, 高斯公式, 差商公式,向前(后) 差商公式,中心差分公式 4.1 机械求积 教学时数：1 学时。 教学内容：求积节点、求积系数、机械求积公式 代数精度 插值型求积公式 求积公式的设计 学生应熟练理解和应用本节内容。 4.2 牛顿-柯特斯公式 教学时数：2 学时。 教学内容：牛顿-柯特斯公式 梯形公式 抛物线公式（辛甫生公式） 柯特斯公式 牛顿-柯特斯公式的余项 复化求积法、复化梯形公式、复化抛物线公式 学生应熟练掌握和使用本节内容。 4.3 龙贝格算法 教学时数：2 学时。 教学内容：梯形法的递推化 步长逐次减半法 龙贝格算法 学生应理解本节内容。 4.4 高斯公式 教学时数：1 学时。 教学内容：高精度的求积公式 高斯点、高斯公式 学生应掌握本节内容。 4.5 数值微分 教学时数：2 学时。 教学内容：差商公式、向前差商公式、向后差商公式和中心差分公式 理杳逊外推法 插值型的数值求导公式 龙贝格算法 学生应理解本节内容。 考核要求：1、理解数值求积的基本思想，代数精度的概念 2、熟练掌握梯形、辛普生等低价牛顿-柯特斯求积公式 3、掌握复化求积公式：复化梯形求积公式、复化辛普生求积公式 4、掌握龙贝格求积公式 5、掌握高斯求积公式的定义和特点 6、掌握几个数值微分公式 第五章 常微分方程的差分法 教学要点： 差分方法,差分格式,步长, 欧拉方法, 局部截断误差, 改进的欧拉方法, 龙格-库塔方法, 线性多步法, 亚当姆斯法, 差分方法的收敛性, 差分方法的稳定性 5.1 欧拉方法 教学时数：2 学时。 教学内容：差分方法、差分格式、步长 离散化 欧拉格式 局部截断误差 隐式欧拉格式 单步法 学生应熟练掌握和应用本节内容。 5.2 改进的欧拉方法 教学时数：1 学时。 教学内容：梯形格式 改进的欧拉格式 学生应熟练掌握本节内容。 5.3 龙格-库塔方法 教学时数：2 学时。 教学内容：龙格-库塔设计思想、平均斜率 二阶龙格-库塔方法 变形的龙格-库塔方法 三阶龙格-库塔方法 经典的四阶龙格-库塔方法 变步长的龙格-库塔方法 学生应熟练掌握和应用本节内容。 5.4 亚当姆斯法 教学时数：2 学时。 教学内容：线性多步法 亚当姆斯格式、二阶亚当姆斯格式、三阶亚当姆斯格式、四阶亚当姆斯格式 二阶隐式亚当姆斯格式、三阶隐式亚当姆斯格式 亚当姆斯预报-校正系统 误差分析 学生应了解本节内容。 5.5 收敛性和稳定性 教学时数：1 学时。 教学内容：差分方法的收敛性 差分方法的稳定性 条件稳定 学生应熟练掌握和应用本节内容。 5.6 边值问题 教学时数：1 学时。 教学内容：定解问题、初始条件、边界条件 边值问题 学生应了解本节内容。 习题课 教学时数：2 学时。 教学内容：第四和第五章。 考核要求：1、了解一阶常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念：步长、差分格式、单步法、多步法、显式法、隐式法、局部截断误差、整体截断误差、方法的阶数 2、掌握欧拉法、改进欧拉法、梯形格式 3、掌握龙格-库塔法的定义和特点 4、了解亚当姆斯线性多步法 5、了解差分法的收敛性和稳定性概念 6、了解常微分方程边值问题 三、教材及教学参考书： 1、王能超， 数值分析简明教程 ，高等教育出版社，2003 年，第二版。 2、张德荣，王新民，高安民， 计算方法与算法语言 （上册） ，人民教育出版社，1989，第二版。 3、蔡大用，白峰杉， 高等数值分析 ，清华大学出版社，1997，第一版。 4、徐萃薇， 计算方法引论 ，高等教育出版社，