山东省高考理科函数与导数二轮复习策略

山东省高考理科函数与导数二轮复习策略一、年山东高考数学函数与导数分析近三年分值分布统计表高考数学大纲 理科函数与导数 题号 分值2009 年 (6)(10)(14)(16)(21) 302010 年 （4） （7） （12） （22） 292011 年 （9） （10）(21) 22从近三年数学试题函数与导数分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。1 整体稳定主要考察函数的性质与图像、函数的零点、导数的应用、定积分的计算、函数应用题2重视基础，难度适中试题以考查函数与导数基础知识为主线，在基础中考查能力。3突出重点知识重点考查特别注重考查函数与导数的基础知识，2009 年文理科分别占 30 分，2010 年文科 37 分、理科 29 分，2011 年文科 26 分、理科 22 分。4考查新增内容，体现新课改理念如定积分、导数、函数的零点5突出通性通法、理性思维和思想方法的考查数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于中学数学全部内容的通法，是高考考查的核心。数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想等在高考中每年都会考查，尤其体现在函数与导数这一部分中。数形结合思想，每年还专门有一道“新函数”的大致图象问题，2009 年文理第 6 题、2010 年文理第 11 题、2011 年文科第 10 理科第 9 题。（6） 函数xey的图像大致为( ) 1x y 1O A xyO11B xyO1 1 C xy1 1 D O(11)函数 y=2x - 2的图像大致是（10）函数 2sinxy的图象大致是6注重数学的应用和创新近三年的试题加强了应用问题的考查，2009（理科）和 2011 年都在 21 题位置上设置了函数与导数的应用题。【例】 （2011 文理 21）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米） ，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 803立方米，且 2lr 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 (3)c 千元，设该容器的建造费用为 y千元（）写出 y关于 r的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的 r解：（I）设容器的容积为 V，由题意知 23480,rl又故322280()l rrr由于 因此 0.所以建造费用 2 224034()34,yrlcrrc因此 21604(),.c（II）由（I）得 3228()8() ),02.cyrrr由于 3,20,c所 以 当 33220,.rrcc时令 30,m则 ，所以 2228() ().ymrr（1）当 92c即 时，当 r=时 ,y0;当 ()时 .所以 r是函数 y 的极小值点，也是最小值点。（2）当 m即 932c时，当 (0,2),时 函数单调递减，所以 r=2 是函数 y 的最小值点，综上所述，当 932c时，建造费用最小时 2;r当 92c时，建造费用最小时 3.2rc7注重能力考查，有效区分不同思维层次的学生鼓励考生宽口径、多角度的思考和解决问题，不拘泥于某一成法，不局限考生的思想，设置的题目尽可能让考生可以从不同角度入手，均能得出结果。【例】 （2009 理 21）两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城 B的总影响度为 0.065.（1）将 y 表示成 x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离;若不存在，说明理由。解: （2）求这个函数最小值，可以用通性通法（法一）：导数或单调性定义研究其单调性；如果注意到表达式的结构特点，令A BC x 22,40,xmxn函数变为 149(),(0,2)0ymnn，利用均值不等式求解（法二） ，这是对“1”的代换的本质理解；如果考生熟悉柯西不等式，就能看出来法二其实就是柯西不等式的一个特殊情况，由此得法三:利用柯西不等式直接得解。二、2012 年高考数学命题预测函数与导数函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，在近几年的高考中， 函数类试题在试题中所占分值一般为 22-35 分一般为 2 个选择题或 2 个填空题，1 个解答题 ，而且常考常新。在选择题和填空题中通常考查函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用、定积分以及从函数的性质研究抽象函数。在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在：1通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象。2在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。3从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查。4一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。5涌现了一些函数新题型。6函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列、不等式、解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。7多项式求导（结合不等式求参数取值范围）和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题。8求极值、 函数单调性、应用题与三角函数或向量结合。9.重点考查数形结合思想、分类讨论思想、恒成立问题附：2012 年高考数学命题预测函数与导数模拟题一、选择题1、设函数 f(x)Error!若 f()4，则实数 ( )A4 或2 B4 或 2 C2 或 4 D2 或 2【解析】 当 0 时，f()4，4；当 0，f() 24，2.2、下列函数中，既是偶函数又在(0，)单调递增的函数是( )Ayx 3 By|x|1 Cyx 21 Dy2 |x|【解析】 A 选项中，函数 yx 3是奇函数；B 选项中， y 1 是偶函数，且在|x|上是增函数；C 选项中，yx 21 是偶函数，但在 上是减函数；D 选(0， ) (0， )项中，y2 |x| |x|是偶函数，但在 上是减函数故选 B.(12) (0， )3、设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则 yf(x)的图像可能是( )图 11【解析】 由 f(x)f(x)可知函数为偶函数，其图像关于 y 轴对称，可以结合选项排除 A、C，再利用 f(x2)f(x)，可知函数为周期函数，且 T2，必满足 f(4)f(2)，排除 D，故只能选 B.4、已知点 A(0,2)，B(2,0)若点 C 在函数 yx 2的图象上，则使得ABC 的面积为 2的点 C 的个数为( )A4 B3 C2 D1【解析】 由已知可得 |AB|2 ，要使 SABC 2，则点 C 到直线 AB 的距离必须为 ，2 2设 C(x，x 2)，而 lAB：xy20，所以有 ，|x x2 2|2 2所以 x2x22，当 x2x22 时，有两个不同的 C 点；当 x2x22 时，亦有两个不同的 C 点因此满足条件的 C 点有 4 个，故应选 A.5、对实数 a 和 b，定义运算“”：abError!设函数 f(x)(x 22)(x x2)，xR，若函数 yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是( )A(，2 B(，2( 1，32) ( 1， 34)C. D. ( 1，14) (14， ) ( 1， 34) 14， )【解析】 f(x)Error! Error!则 f 的图象如图 14.(x)图 14yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，yf(x)与 yc 的图象恰有两个公共点，由图象知 c2，或1bc Bbac Cacb Dcab【解析】 令 mlog 23.4，nlog 43.6，tlog 3 ，在同一坐标系下作出三个函数的103图象，由图象可得 mtn，图 13又y5 x为单调递增函数，acb.7、在下列区间中，函数 f(x)e x4x3 的零点所在的区间为( )A. B. C. D.(14， 0) (0， 14) (14， 12) (12， 34)【解析】 因为 f e 20，(14) (12)所以 f f 2，所以 G(x)f(x)20 恒成立，所以 G(x)f(x)2x4 是 R 上的增函数，又由于 G(1)f(1)2(1)40，所以 G(x)f(x)2x40，即 f(x)2x4 的解集为(1，)，故选 B.12、函数 f(x)ax n(1x) 2在区间0,1上的图像如图 12 所示，则 n 可能是( )图 12A1 B2 C3 D4【解析】 由函数图像可知 a0.当 n1 时，f(x)ax(1x) 2a(x 32x 2x)，f(x)a(3x1)(x1)，所以函数的极大值点为 x 0.5，故 C 错误；35当 n4 时，f(x)ax 4(1x) 2a(x 62x 5x 4)，f(x)a(6x 510x 44x 3)2ax 3(3x2)(x1)，函数的极大值点为 x 0.5，故 D 错误23二、填空题、13、已知函数 f(x) 2,13x若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是_【解析】 函数 f(x)的图象如图 15 所示：图 15由上图可知 00，故 g(x)在(0,3)上为增函数；当 x(3，)时，g(x)0，即 m .14又对任意的 xx 1，x 2，f(x)g(x)0，x 1x22m0，故 00，则 f(x)g(x)mxx(xx 1)(xx 2)0，又 f(x1)g(x 1)mx 10，所以函数 f(x)g(x)mx 在 xx 1，x 2的最大值为 0.于是当 0. 在区间（64，640）内为增函数，所以 ()f在 =64 处取得最小值，此时， 64019.mnx故需新建 9 个桥墩才能使 y最小。21、设 Ra，函数 eaxef)(1(2)(为自然对数的底数）.（）判断 xf的单调性；（）若 ,1)(2e在 上恒成立，求 a 的取值范围.【解答】 （）由已知 )2(1)(2)(2axexexf ,(212ax令 .1)xg当 )(,0)(,)(,0xff时 在 R 上为减函数.当 ,0442 aaxa的 判 别地 )()(,)(xffg即在 R 上为减函数.当 0时，由 ,012a得 ,1xx或由 ,02a得 ,11x),(),() aaxf在 上为增函数；),()f在上为减函数. （）当 2,1(,0在时 xfa上为减函数. .515)( 2min aeexf 得由当 2(,f时 )(xf在1，2上不恒成立， a 的取值范围是 ).,51 22、设函数 ()fx定义在 (0上， (0f，导函数 1()fx，()gx（1）求 的单调区间和最小值；（2）讨论 ()gx与 的大小关系；（3）是否存在 0x，使得 01|()|gx对任意 0成立？若存在，求出 0x的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】 （1）先求出原函数 ()f，再求得 ()x，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间） ，并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论【解答】 （1） 1()fx， ()lnfxc（ 为常数） ，又 (1)0f，所以ln0c，即 ， ()fx； ()lng， 21()gx，令 ()g，即 2x，解得1，当 (0,)时， ()0x， ()是减函数，故区间在 (0,)是函数 ()g的减区间；当 x时， g， x是增函数，故区间在 1是函数 x的增区间；所以 1是 ()x的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以 g的最小值是 1g（2） 1()lngx，设 11()()2lnhxgx，则2(1)xh，当 x时， 0h，即 ，当 0,()时，()， (1)，因此函数 x在 ,内单调递减，当 1x时， ()1hx=0， 1()gx；当 时， ()h=0， ()g