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概率论与数理统计教案授课时间 课时数 9授课方式 理论课授课单元 第一章 概率论的基本概念要求与目的通过教学使学生了解概率论的基本概念理，掌握概率的常用公式（乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式） ，掌握几种概型（古典概型、几何概型、贝努里概型）概率的计算。重点与难点 (1) 重点是概率论的基本概念理、概率的常用公式(2) 难点是古典概型、几何概型、贝努里概型概率的计算主要内容 一、绪论统计学的定义、重要性和怎么学习统计学一、基本概念随机试验、样本空间、随机事件、基本事件、必然事件 。 不可能事件，完备事件组、概率的定义、古典概型、几何概型、条件概率、事件的独立性二、事件的关系的关系与运算事件的包含关系、事件的相等、并(和)事件与积(交)、差事件、对立事件、互不相容事件（互斥事件） 、事件的运算法则三、常用公式1.加法公式 2.减法公式3.对立事件概率公式 4.乘法公式5 全概率公式 6、贝叶斯公式7.贝努里概型教学方法 讲授式 讲练结合参考资料 概率论与数理统计余长安编，武汉大学出版社概率论与数理统计吴传生编，高等教育出版社思考题 P7-4,5 p11-7 p14-13 p20-22,23 p24-26,29讲 稿第一章 概率论的基本概念一、基本概念1. 随机试验2. 样本空间试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。通常用大写的希腊字母 表示（本书用 S 表示）每个结果叫一个样本点.3随机事件 中的元素称为样本点，常用 表示。(1)样本空间的子集称为随机事件(用 A,B 表示)。(2)样本空间的单点子集称为基本事件。(3)实验结果在随机事件 A 中，则称事件 A 发生。(4)必然事件 。(5)不可能事件 。(6)完备事件组（样本空间的划分）4概率的定义（公理化定义）5古典概型随机试验具有下述特征：1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性是相等的；称这种数学模型为古典概型。)(AP= 基 本 事 件 总 数包 含 的 基 本 事 件 数nk。6几何概型的 长 度 （ 面 积 、 体 积 ）的 长 度 （ 面 积 、 体 积 ）p)(7条件概率设事件 B 的概率 .对任意事件 ，称 P(A|B)= )(BPA为在已知事件发生的0)(A条件下事件发生的条件概率。8条件概率的独立性A、B F,若 P(AB)= P(A) P(B) 则称事件 A、B 是相互独立的，简称为独立的。设三个事件 A,B,C 满足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称 A,B,C 相互独立。二、事件的关系的关系与运算.事件的包含关系若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含了 A， 记作 B。. 事件的相等设 A,B ,若 ，同时有 A，称 A 与 B 相等，记为 A=B，.并(和)事件与积(交)事件“A 与 B 中至少有一个发生”为 A 和 B 的和事件或并事件。记作 BA .“A 与 B 同时发生”这一事件为 A 和 B 的积事件或交事件。记作 或 .差事件“A 发生 B 不发生”这一事件为 A 与 B 的差事件，记作 .对立事件称“ A”为 A 的对立事件或称为 A 的逆事件，记作 A。 .互不相容事件（互斥事件）若两个事件 A 与 B 不能同时发生，即 B，称 A 与 B 为互不相容事件（或互斥事件） 。.事件的运算法则1)交换律 ,2)结合律 BCABAC,3)分配律 )()()(4)对偶原则 ，三、常用公式1.加法公式（1）对任意两个事件 A、B，有 P( )=P( A)+P(B)-P( )（2）对任意三个事件 A、B，C )()()()( ABCpCpPp 2.减法公式若 A B 则 P(B-A)= P(B)-P(A); P(B) P(A)P(A-B)= P(A)-P(AB) 3.对立事件概率公式对任一随机事件 A，有 P（ ）=1-P（A） ；4.乘法公式当 时: 0)(p)|()(Bp|CBC5 全概率公式定理 1：设 是 一列互不相容的事件，且有 ,对任何事件 A，n,21 inB1有 P(A)= )(1niiPiA6、贝叶斯公式定理 2：若 是一列互不相容的事件，且nB,2 in1则对任一事件 有 j jjiii BApp1)|()|(两个公式的相同点：相关问题都有两个阶段；两个公式的不同点：全概率公式用于求第二阶段某事件发生的概率， “由因求果”贝叶斯公式用于已知第二阶段的结果，求第一阶段某事件发生的概率， “由果求因”7.贝努里概型贝努里试验:若试验 E 只有两个可能的结果 A 及，称这个试验为贝努里试验。贝努里概型设随机试验 E 具有如下特征：1）每次试验是相互独立的；2）每次试验有且仅有两种结果：事件 A 和事件 ；3）每次试验的结果发生的概率相同 0)(pqpA1)(称试验 E 表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了 n 次，则这个试验也称为 n 重贝努里试验。记为 n。设事件 在 n 次试验中发生了 次，则AXkpCkPnkn ,21,)1(四、举例例 1.已知 ， ，求)()(BppA()(B【解】 )()(1)()()( ABppBApABp 1例 2.已知 求 A,B,C 至少有,81)(,0)()(,4)()( CC一个发生的概率。【解】 )()()()()()( ABCpApBPBABAp = 850141例 3.（摸球模型不放回用组合问题求解）在盒子中有 6 个球，4 个白球、2 个红球，从中任取两个（不放回） 。求取出的两个球都是白球的概率，两球颜色相同的概率，至少有一个白球的概率。【解】设 A：两个球都是白球，B：两个球都是红球，C：至少有一个白球基本事件总数为 =1526A 的有利样本点数为 , P(A)=6/15=2/54B 的有利样本点数为 , P(B)=1/1512P(A+B)=P(A)+P(B)=7/15P(C)=1-P(B)=14/15例 4. （摸球模型有放回用二项分布求解）在上题中，取球方法改成有放回，结果如何？【解】用 表示取到白球数XP(A)= = =2p0231C94P(B)= =0XP(A+B)=P(A)+P(B)=5/9P(C)=1-P(B)=8/9例 5（抽签原理）有 个上签， 个下签，2 个人依次抽签，采用有放回与无放回抽签，证ab明每个人抽到上签的概率都是 【证】放回抽样结论是显然的；不放回可用全概率公式证明 bap例 6：（几何概型）在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于 的概率为21_【解】以 x 和 y 分别表示甲乙约会的时间，则 10,|),(yx两人到会面出时间差不超过 15 分钟 25.,10),( yxA43Sp例 7：某工厂有三条生产线生产同一中产品，该 3 条流水线的产量分别占总产量的20%，30%，50%，又这三条流水线的不合格品率为 5%，4%，3%，现在从出厂的产品中任取一件，（1）问恰好抽到不合格品的概率为多少？(2)已知抽到不合格品，求该产品来自一车间的概率【解】(1)设 ：表示产品来自第 i 条生产线iB：表示抽到不合格品A由题意 5.0)(,3.0)(,2.0)( 321 Bppp3.)|,4.|5| AABP(A) 0.4)|()31 i ii=0.037(2) 3710.54.035.20)|()|)|(311 i iiBApABp【点评】通过该题细心体会贝叶斯公式和贝叶斯公式的用法。例 8 甲乙两人同时射击同一目标，甲命中的概率为 0.6，乙命中的概率为 0.5。已知已命中目标，求是甲命中目标的概率。【分析】咋看这个题目觉得应用贝叶斯公式求解，但仔细分析个目中只有一个过程，应用条件概率求解。【解】A:甲命中，B:乙命中，C：命中，C=A+B )()()()(| BpApPBAPpA= 435.06.0例 9：一个盒子中有 4 件产品，3 件一等品，1 件二等品，从中任取两件，设事件 表示A“第一次取到一等品” ， 表示“第二次取到一等品” ，求 。BBp|【解】 3/24/3)(| 2CAPp这一结果的意义是明显的例 10：假定某人做 10 个选择题，每个题做对的概率均为 ；求41（1）该同学做对 3 道题的概率；(2) 该同学至少做对 3 道题的概率；【解】 =Xp7104C1- p2X=1- - -014391043920431C【点评】 “至少”,通过对立事件求解。例 11： 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p(08 时，F(x)=1.对于 ，有8,1x.13)(312xdtxF设 G(y)是随机变量 Y=F(X)的分布函数. 显然，当 时，G(y)=0；当 时，G(y)0y1y=1.对于 ，)1,0y )(XFPyYG= =)1(133 yXPyP .)(3yF于是，Y=F(X)的分布函数为.1,0,)(yyG若若 若例 10：设随机变量 的概率密度为X，1,02,4Xxfx 其 他令 求 的概率密度2YYfy【解】 设 的分布函数为 ，即 ，则()F2()()YPyXy1) 当 时， ；0y0Yy2) 当 时， 12()Xyy.0013d4yx3) 当 时，4y2()YFPXy.01012yx4) 当 ， .y()Y所以.3,018(),40Y yfyF其 他定理 设 是一个连续型随机变量，其密度函数为 ，又 严格单调，其反函数 ()px()yfx有连续导数，则 也是一个连续型随机变量，且其密度函数为()hy()f(),()0phyyA其 他其中min(),axff证明 不妨设 是严格单调上升函数，这时它的反函数 也是严格单调上升函()f ()hy数，于是()()FyPfy,()()hypxdfyf由此得 的密度为 (),()()()0,yffyFA其 他同理可证当 严格单调下降时，有fx(),()()()0PhyfyfyA其 他由此定理得证.例 11： 设 ，又 ，易验证这时定理 3.1 的条件满足，又2(,)N()xyf因为 的反函数为 ，所以有()yfxh21()()ypyeAA由此可见 .0,N教学后记教 案授课时间 课时数 3授课方式 理论课授课单元 第三章：多维随机变量及其分布要求与目的通过教学使学生了解二维随机变量的概念、分布律及其表示、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性。掌握二维随机变量函数的分布。重点与难点 (1) 重点是二维随机变量的概念、分布律及其表示、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性(2) 难点是二维随机变量函数的分布主要内容 一、基本概念联合分布函数，联合分布函数的性质、边缘分布函数二、离散型二维随机变量离散型二维随机变量的分布律、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性三、连续型二维随机变量连续型二维随机变量的分布律、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性四、二维随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布2.连续型随机变量函数的分布教学方法 讲授式 讲练结合参考资料 概率论与数理统计余长安编，武汉大学出版社概率论与数理统计吴传生编，高等教育出版社思考题 P58-4 p68-8（1） p75-11 第三讲：多维随机变量及其分布一、基本概念1联合分布函数设（ ）是二维离散型随机变量， 是任意实数，YX, yx,),()(YXPF二维随机变量（ ）的联合分布函数。,2.联合分布函数的性质（1）单调性 关于 x(y)单调不减；),(yxF（2） , , ；100),()(yF1),(3) 关于 x(y)右连续；),(4) ),(),(),(),(, 2122122121 yxFyxxYyxXP 3边缘分布函数设（ ）是二维离散型随机变量的联合分布函数为 ，则, ),(，,(,)( xFYxXPxxFX )yyyYY二维随机变量（ ）的边缘分布函数。,二、离散型二维随机变量1. 离散型二维随机变量的分布律设 是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为 令 ),(YX (,)1,2ijab,jiijbYaXp(),1,2Pi称 是二维离散型随机变量 的联合分布.(;,12,)ijp )(YX二维联合分布的三个性质：11()0,;2(3)ijijijiijijpPapA2. 离散型二维随机变量的分布函数ijxXyYipyF),(3. 离散型二维随机变量的边缘分布设二维随机变量（ ）的联合概率分布 = 中对, ,jiyYxXp(,12,)ijp固定的 关于 求和而得到ij1.,jiijii pYxXpx1.,ijjjj yyYp4. 离散型二维随机变量的条件对于固定的 若， ，称j 0.jjpyYjijiji pyYxXxXp .,| 为在 的条件下，随机变量 的条件概率.jyYi同样定义 为在 的条件下，随机.,| ijijij pxXpyYxpixX变量 的条件概率.jyY条件概率符合概率的性质 0|jiyxXp1|1jii Y5. 离散型二维随机变量的独立性设离散型随机变量 的联合概率分布列与边缘分布为：),(X， ijjipyYxP, .iipxjjpyY.定理 1：离散型随机变量 独立的充分必要条件是对于任意的 都有, i,ijp.ij例 1 从 1，2，3，4 种任取一个记为 ，在从 1 种任取一个记为 ，XY(1)求二维随机变量（ ）的联合分布律 Y,XY 1 2 3 41 1/4 0 0 02 1/8 1/8 0 03 1/12 1/12/ 1/12 04 1/16 1/16 1/16 1/16(2)求二维随机变量（ ）的边缘分布律。YX,4/1/4132X 48/3748/13/25(3)求 的条件下，X 的概率分布Y8/|1.pp2564|2.2/|31.3YX38|4.pp(4) 随机变量 独立吗？,)4/25(1)/(1.1不独立。YX,例 2 ， ，且 ，求随机变量（5.06.04Y4.0XYp）的联合分布律及 。Y, XpX Y 0 1 .ip010.3 0.20.1 0.40.50.5jp. 0.4 0.6例 3 已知 X,Y 独立，完成下表：X Y 1 2 3 .ip1281jp.6例 4 已知（X,Y）的分布律为： X Y 0 1120.4 a b 0.1已知 独立，求 a,b0Y与三、连续型二维随机变量1定义与性质如果联 是一个合分布函数，若存在函数 ，使对任意的 ，有(,)Fxy(,)pxy(,)xy(,)xypuvd成立，则称 是一个连续型的联合分布函数，并且称其中的 是 的联(,) (,)xy(,)F合概率密度函数或简称为密度.如果二维随机变量 的联合分布函数 是连续型分布函数，就称 是二(,)(,)Fxy(,)维的连续型随机变量.密度函数的性质：由分布函数的性质可知，任一二元密度函数 必具有下述性(,)pxy质： (1),0;2(,)(,)1pxydxyF反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数 ，必定可以作为某个二维随(,)pxy机变量的密度函数.此外，密度函数还具有性质：（3）若 在点 连续， 是相应的分布函数，则有(,)pxy(,)(,)Fxy2,Fxy（4）若 是平面上的某一区域，则G(,)(,)GPpxyd2连续型随机变量的边缘分布若（ ）联合分布函数已知，那么，它的两个分量 X 与 Y 的分布函数称为边际分YX,布函数可由联合分布函数 求得，(,)Fxy概率密度dxyfyfdfxf YX ),()(,)()( 3. 连续型随机变量条件分布若（ ）概率密度为 ，边缘概率密度 ，称Y, ),(xf )(fY0)()|(| yfxfYX为在 的条件下，随机变量 的条件概率密度.yYX类似地，称 )(,)|(| xfyfX)(xf0为在 的条件下，随机变量 的条件概率密度.xY设随机变量 的联合分布为 ，如果对任意的 都),( ),(yFyx,)(, FYPxXxXPyxF YX则称 是独立的YX,4.随机变量的独立性设随机变量 的联合分布为 ，如果对任意的 都),(),(yxFyx,)(, FYPXYXPyxF YX则称 是独立的YX,定理 2：如果 是二维连续型随机变量，则 X 与也都是连续型随机变量，它们的),(Y 密度函数分别为 ，这时容易验证 X 与 Y 独立的充要条件为：(yfxYX几乎处处成立。),(f说明：(1) 或 点点成立，则 X 与 Y 独立。(yFxyYX )(),yfxfYX(2)X 与 Y 独立,则 点点成立 不一定点)(),(YX )(),(yfxfYX点成立。(3)在个别点 ，则 X 与 Y 可能还独立；在一点)(),(yfxyfYX，则 X 与 Y 一定不独立。),(FxyYX例 1：已知随机变两（X,Y）的概率密度为 其 他00,),(2yxAeyxfyx(1)求 A1),(dxyf2,202Ae(2)求分布函数当 时，,yxxyduveduvfF02),()(12yxe其他， 0),(其 他 0,)(,2yxeyxFyx（3）求 YXp0231xydeYXp(4) 求边缘概率密度 )(,ffY otherxotherxyedyxffX 0202),()( tytdfyfY),()(5) 求条件概率密度 |yxfYX当 时， 不存在；0y)|(|当 时，otherxyfxfYYX02)(,)|(|(6) 求 |2p 41)2(,2| eFYPXpY(7) 独立吗？ 点点成立，则 X 与 Y 独立。YX, )(,(yfxyfX例 2：已知随机变量（X,Y）时区域 D 上的分布，D 由 围成，问1yx0,.X,Y 是否独立？解： 其 他，（0),(yxyxf21,dF otherxotherxdyyxff xX 012012),()(14