微分变换法求解波方程及非线性耗散方程

毕业论文（设计）题目：微分变换法求解波方程及非线性耗散方程 姓 名： 贾剑豪 学 号： P101713040 学 院： 数学与计算机科学学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 2010 级数学与应用数学班指导老师： 马维元 2014 年 5 月 9 日 1微分变换法求解波方程及非线性耗散方程专业:数学与应用数学 姓名:贾剑豪 指导教师:马维元摘 要 微分变换方法(DTM)是用于求解微分方程级数形式的近似解的一种新发展的解题方法.是当代数学及其应用中较为重要的研究课题之一.到目前为止，我们只能用微分变换方法求解有限的几种特殊的线性微分方程,在本文中，我们考虑将这种方法推广到波方程和非线性耗散方程的求解上，并给出一些例子说明本方法的可行性。关键词 微分变换法,波方程,非线性耗散方程ABSTRACTDifferential transform method (DTM) is the approximate solution in form of series is used for solving the differential equation of the development of a new method to solve problems. The contemporary mathematics and its application in one of the important research topic. So far, we have to use differential transform method to solve the limited number of special linear differential equation, in this article, we consider this approach to solution of the wave equation and nonlinear dissipation equation. The feasibility of this method and gives some examples. Key Words：Differential transformation method, wave equation, Nonlinear dissipation equation21.引言微分变换方法(DTM)是用于求解微分方程级数形式的近似解的一种新发展的解题方法.是当代数学及其应用中较为重要的研究课题之一.到目前为止，我们只能用微分变换方法求解有限的几种特殊的线性微分方程,在本文中，我们考虑将这种方法推广到波方程和非线性耗散方程的求解上。并给出一些例子说明本方法的可行性。1.1波方程介绍：波方程也称为波动方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述大自然中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如无线电波、声波、光波和水波。波动方程来源于声学、量子力学、光学、电磁学、动力学、流体力学等领域。历史上有许多科学家在研究物体的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过杰出贡献，其中被我们熟知的有达朗贝尔、 丹尼尔伯努利、欧拉和拉格朗日等。1.2非线性耗散方程的介绍：通过学习我们了解到任何物质的运动都会受到一定的自然规律（物理定律）的制约，所以我们为了描述这些物质的运动从而提出了一些数学模型，本文中提到非线性耗散方程就是这些模型中的一类，这些模型中还有一些我们常见的例如弦振动方程，空气动力学方程组，热传导方程，量子力学等，这些方程都共同点就是都从数量形式上刻划了相对应物理定律所确立的某些物理量之间的制约关系。31.3 微分变换介绍1.3.1 一维微分变换的基本定义和基本运算定义 1.如果 在定义域 上是解析的,令)(txT(1)kdtt,）（对于 , ,如果其中 属于非负整数集 ,则上式it ）（）（ i,kK（1）即可改写为, (2)itkii dxtkX)(),() k其中 是 在 上的变化范围,称式（2）为 的微分变换.(ixK)(tx定义 2：如果 是解析的,则 可表示为：)t)(x(3).!(0kXttki称之为 的微分逆变换)(kX如果 表示为：(4).,210)()(0kdtxqMktk则函数 可表示为：)(tx(5),)(!()1(0kXttqki其中 , . 作为一个加权因子 .0)(kMt1.3.2 一维微分变换的性质：性质 1：如果 ,那么 .)()(xhgxf)()(kHGkF性质 2：如果 ,那么 ,其中 为常数.ccc4性质 3：如果 ,那么 .ndxgf)()()(!)()nkGkF性质 4：如果 ,那么 .)(hf l lH0(性质 5：如果 ,那么 .nxf)( nkk,1)1.3.3 二维微分变换的基本定义和基本运算.如果我们把下列含有两个变量的二维函数 看作是两个单),(yxw独变量的函数, ，那么基于一维微分变换我们就可以)(),(ygxfyw把函数 表示为：,(x(6).),()()(), 000 hkkhhhkk yxWyGxFy其中 被称为是 .(,(hkW,w如果 是解析函数,并且随着 的变化而不断变化,则有)yxwt(7).)(!1,( )0,(hkyxhk其中 是原函数.而 是转变方程.那么 的微分逆),(yx),(W),(yxW变换的定义为：(8).),(),(0hkkhyxyxw从方程（7）和（8）可得出结论：(9).),(!1),( )0,(0 hkkhhkyxyxwyx1.3.4 二维微分变换的基本性质.这里我们让 分别代表 和),(),(, hkWVkU和 ),(,yxvu的分数阶微分变换,则有 1：)(yxw5()如果 ).,(),(),(),(),(),( hkVkUhkWyxvuyxw 那 么()如果 ).,(),(,),(),( kakRayxyx那 么()如果 那 么),(,),(yxvuyxw ).,(),(,0srkVshrUhkWkrs()如果 .,0.1),( ).()(),(,(), 其 他 并 且，其 中 那 么 mhnkmhnk mhnkyxw ()如果 ).,()()1()2(1),(, shrkUshrkkhWyxuyxwsr 那 么()如果 ).,1()(),(,)(),( kkWxyuyxw那 么()如果 ).1,()(),(,)(),( hkUhkyux那 么()如果 .),(),(),( ),),(00 krthsp ptrkGstVpsrUhWyxgvyxuw那 么()如果6 krhs srkVshrUkWxyuyxw0 ).,1(),1()(1),( ,(, 那 么()如果 .),2(),()1)(2(),( ,)(),002 krthsp ptrkGstVphrUtrktrWxygvyxuw那 么()如果 krhs srkVshrUkrWxyvuyxw02 ).,2(),()2)(1(),( ,)(), 那 么2.波方程求解2.1 波方程的微分变换：波方程是我们大学学习微分方程中较为重要的一中偏微分方程，也是学习数学物理方法是较为典型的一种物理方程。我们熟知的基本波方程为： ),(utxft即一维波动方程为： ),(,22 txfxttx）（）（所以由()可知的 2,ut）（微分变换有： )2,(2h)1(),( hkUhkW）（由()可知 2uxt）（的微分变换有：7)2,h(2)1(),( kUhkW）（综上所述可知公式（10）的一维波动方程微分变换后有：)h,(),(),2(k)1( kFkkU ）（）（10）2.2 例题验证：例一：假定我们给出一维波动方程的精确解如下： ttxucossinx),(那么对上述的一维波动方程进行微分变换可得： ),()2,(2h)1),2(k)1( hkFhkUhkU ）（）（11）给出初始条件为：sinxu(,0)0 )(x,ut由公式(3) 转换后可得初始条件为：（12）,.64273,.510,0!k1, )U(, k，0.) (,把（12）试带入（11）式,我们可以得到的 的值：),(hkU,1)0(U,1),(0,1)2(0U,1)3,(08,!21)0,3(U,!21)3(,!21),3(U,!21)3,(,!),(,!)(,!),( ,!),( ,!1)0,(kU,!1),(k,!1)2(kU,!1)3,(k 将所有的 的值代入（11）式到我们就可得到该波方程的解为：),(hktxtttxhkUkhcosin.)!864!21.)(!53-(, t)u,0即为 的精确解如图：),(txf9而给定的精确解 的图像为：ttxucossinx),(因为该精确解与假设的精确解一致,且 的精确解图像一样.),(txf10因此,用微分变换方法求波方程是有效的.例二：假定我们给出一维波动方程的精确解如下： sinx),(3txu那么对上述的一维波动方程进行微分变换可得： ),()2,(2h)1),2(k)1( hkFhkUhkU ）（）（13）给出初始条件为：0u(x,)0 )(x,ut由公式(3) 转换后可得初始条件为：（14）其 他k.5,310! )U(k,.) (,把(14)试带入（13）式,我们可以得到的 的值：),(hkU,0),2(1U,0)2(,)1(,U,0)32( ,0),2(1,n,3,1,!3,! ,!,3U将所有的 的值代入（13）式到我们就可得到该波方程的解为：),(hk11xttxhkUkhsin.)!53-(, t)u(,0即为 的精确解如图：),(txf而给定的精确解 的图像为：sinxt),(3xu12因为该精确解与假设的精确解一致,且 的精确解图像一样.),(txf因此,用微分变换方法求波方程是有效的.3.非线性耗散方程求解3.1 非线性耗散方程介绍通过学习我们了解到任何物质的运动都会受到一定的自然规律（物理定律）的制约，所以我们为了描述这些物质的运动从而提出了一些数学模型，本文中提到非线性耗散方程就是这些模型中的一类，这些模型中还有一些我们常见的例如弦振动方程，空气动力学方程组，热传导方程，量子力学等，这些方程都共同点就是都从数量形式上刻划了相对应物理定律所确立的某些物理量之间的制约关系。我们所熟知的非线性热传导方程： ),(f(2txubaduxxt 13就是一个典型的非线性耗散方程。由()可知 的微分变换有：tu )1,()(),(hkUhkW由()可知 的微分变换有：x ),2()1(),( kk）（由()可知 的微分变换有：xu krhs srkVshrUW0 ),1(),()1(),(由()可知 的微分变换有：xu ),(),(),(2hkhk综上所述我们得到该方程的微分变换为： ),(),(),( ),1(),()1(),2(k1d12 0hFVhkbU srkVshrUkaUrhs （3.2 例题验证：例三：假定我们给出非线性耗散方程的精确解如下： 3x),(txu对非线性耗散方程进行微分变换： 622)(6utxxtxt 由()可知 t的微分变换有： )2,(2h)1(),(hkUhkW）（由()可知 的微分变换有：xu ),()(),( kk）（14由()可知 2u的微分变换有： k0 ),(),(),(rhs srkUW由()可知 62(6txxt的微分变换有： 6).-h ,(k 3)-h1,(k -)h 3,(k), 综上所述我们得到该方程的微分变换为： 6)-h ,(k 3)-h1,(k 6- )h3,-(k 6 ),(),(2,(2)1 k0 rhs srkUsUU）（）（(15)假定我们给出该耗散方程的初始条件如下：0),(ux0),(uxt由公式(3) 转换后可得初始条件为：(16)0),(kU0)1,(kU把(16)试带入（15）式,我们可以得到的 的值：),(h,0),2(1U,)1(,0)2(,U,)3(1 ,0),2(1,nU,3,!3,! ,!,3 ,0)6(,5,4U ,)1(, ,0)26(5,4U ,)3(, ,0)6(,5,4nU将所有的 的值代入（15）式到我们就可得到该非线性耗散方),(hk程的解为：1530),(),( txhkUtxukh即 为的精确解,如图：)(txf而给定的精确解 的图像为：3xt),(xu因为该精确解与假设的精确解一致,且 的精确解图像一样.),(txf16因此,用微分变换方法求非线性耗散方程是有效的.例四：假定我们给出非线性耗散方程的精确解如下： xcos),(tu对非线性耗散方程进行微分变换： txtxt 22cs由()可知 tu的微分变换有： )2,(2h)1(),(hkUhkW）（由()可知 的微分变换有：xu ),()(),( kk）（由()可知 2的微分变换有： k0 ),(),(),(rhs srkUW由()可知 txt2cos的微分变换有：)h2,-(k 1!)hcos(2 ),-(k1!)hs( ),-(k21),( h综上所述我们得到该方程的微分变换为： )h 2,-(k1!)hcos(2 ),-(k1!)2hcos( ),-(k21 ),(),(,)(,)( k0 srkUrUUh rhs）（）（(17)给出初始条件为：x)0,(u0),(uxt17由公式(3) 转换后可得初始条件为：(18)其 他 1k01),(kU0)1,(kU把(18)试带入（17）式,我们可以得到的 的值：),(h,0),4(3,2)1(0U,)1(,)(,1,0)24(3,)(,02U,0)3,4(,2)1(,03, ,0)2,4(3,)1(,02,nUn,5,5,!1,5 ,)!(1,5,0),7(6U,)17(6,0)2(U,0)3,7(6 ,0)2,7(6nU 将所有的 的值代入（17）式到我们就可得到该波方程的解为：),(hk txtxthkUtxukh cos.)!421(),(),(0 即 为的精确解,如图：)(txf18而给定的精确解 的图像为：xtxucos),(19因为该精确解与假设的精确解一致,且 的精确解图像一样.),(txf因此,用微分变换方法求非线性耗散方程是有效的.4、小结微分变换方法(DTM)是最近发展起来的一种较为简便地解题方法,在本文中详细介绍了微分变换法并较为详细的介绍了它的基本定义与性质，并且也较为快速的介绍了波方程和非线性耗散方程各自的抽象来源与定义，并对给出的波方程和非线性耗散方程采用微分变换方法进行求解，并运用例子表明采用微分变换法求解波方程和非线性耗散方程的可行性与有效性.20参考文献1康东升一个反应扩散方程的显示波前解与一个平面三次系统的全局分析J数学物理学报,1998,18(增刊)： 1-l22密苏里大学 Nakhle H、Asmar，偏微分方程教程，机械工业出版社，2006.103叶俊杰,钱德亮. Riemann-Liouville 型分数阶微分方程的微分变换方法. 应用数学与计算数学学报. 2009 年 12月. 第 23卷.第 2期.4 S. El-Sayed, The decomposition method for studying the KleinGordon equation,Chaos, Solitons & Fractals 18 (2003) 10251030.5 K.Maleknejad,N.Aghazade,M.Rabbani,Numerical solution of second kind Fredholm integral equations system by using a Taylor-series expansion method, Appl. Math. Comput. 175 (2006) 12291234.6 A. Golbabai , K. Sayevand, Fractional calculus A new approach to the analysis of generalized fourth-order diffusionwave equatio