常微分方程和差分方程

第十章 常微分方程和差分方程在实际问题中，我们研究的对象变量往往是以函数关系的形式建立了变量间的客观联系，但却很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，反而更容易建立这些变量、它们的导数或微分之间的关系，即得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，我们称此方程为微分方程.通过求解这样的微分方程，我们同样可以建立所研究的变量之间的函数关系，这样的过程称为解微分方程.现实世界中的许许多多问题都可以在一定的条件下抽象为微分方程，例如人口的增长问题、经济的增长问题等等都可归结为微分方程的问题；这时的微分方程习惯上称为所研究问题的数学模型，如人口模型、经济增长模型等.因此微分方程是数学联系实际并应用于实际的重要途径和桥梁，是数学及其他学科进行科学研究的强有力的研究工具. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系.我们在这一章主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的一阶、二阶微分方程的求解方法，线性微分方程的解的理论及求解方法.但是在经济管理和许多的实际问题中已知的数据大多数是按等时间间隔周期统计的，因而相关变量的取值是离散变化的.如何寻求它们之间的关系及变化规律呢？差分方程是研究这样的离散型数学问题的有力工具，本章在最后介绍差分方程的一些基本概念及常用的求解方法.10.1 微分方程的基本概念先看一个例子.例 1 设有某种新产品要推向市场， 时刻的销量为 ，由于产品性t)(tx能良好，每个产品都是一个宣传品，因而 时刻产品的销售的增长率 与dtx成正比；同时考虑到市场的容量是有限的，假设市场的容量为 ，统)(tx N计数据表明 与尚未购买产品的潜在顾客的数量 也成正比；则dtx )(tx可建立如下的微分方程：，)(Nkxdt其中 为比例系数.可以求出该微分方程的解为 ，其中k kNtCet1(为积分常数.C10.1.1 微分方程的概念含有自变量、自变量的未知函数及未知函数的（若干阶）导数或微分的方程称为微分方程.如果未知函数是一元的，通常称此方程为常微分方程；如果未知函数是多元的，通常称此方程为偏微分方程.本书中只讨论常微分方程.10.1.2 微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶的阶数称为微分方程的阶.例如： ， 是一阶的微分方程；104xy65xyd是三阶微分方程.6)(5微分方程中未知函数的导数或微分的最高阶数是一阶，称此方程为一阶微分方程，记为 或 ；微分方程中未知函数的0),(yxF),(yxf导数或微分是二阶及以上，称此方程为高阶微分方程.因此一般的 阶微分n方程可表示为 或 .),(n ),(1()( nyf10.1.3 微分方程的解若把函数 代入微分方程使微分方程恒成立，则称 是)(xy )(xy该微分方程的一个解.例如：， ， （ 是任意常数）xy1025102xyCxy102都是微分方程 的解.410.1.4 微分方程的通解、特解把含有与微分方程的阶数相同个数的独立的任意常数(即：它们不能合并而使得任意常数的个数减少)的解称为该微分方程的通解；不含任意常数的微分方程的解称为该微分方程的特解.例如： （ 是任意常数）是微分方程Cxy102的通解， 是微分方程 的通104xy cossin2 0y解；而 ， ，是微分方程 的特x25xy 14x解， 是微分方程 的特解.ycos5sin30y10.1.5 微分方程的通解与特解的关系微分方程的通解通过一定的条件确定其中的每一个任意常数的数值，这时的微分方程的解即为特解；确定每一个任意常数的值的条件称为微分方程的初始条件；微分方程与初始条件合称微分方程的初始问题 .例如 是微分方程 的通解；加上条件xCycossin210y， 可确定 ， 从而得到0x0x12是微分方程 的特解；其中条件 ，ycosi 0y10xy是微分方程 的初始条件；把10x 1,00xxy称为微分方程的初值问题.微分方程的解的图形是一条曲线,称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线,特解是这一族积分曲线中的某一条积分曲线 .初值问题的几何意义就是求微分方程满足初始条件的拿条积分曲线.例 2 验证 (1)xecxy21ossin21是微分方程(2)xy的解.解 因为,xecxy21sino21,xii1故而 成xx ececxy 21ossin2sini 2121立.函数(1)及其导数代入微分方程(2)后成为一个恒等式，因此函数(1)是微分方程(2)解.例 3 已知函数 (1)是微分方程(2)通解，求满足初始条件 ，0xy的特解.0xy解 将 ， 代入例 1 的 的表达式得x0xyy,，02cos0sini21ec即，021c解得 ， ；故所求特解为 .21c xexy21cossin10.2 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为(1)0),(yxF如果从(1)中能解出 ，则一阶微分方程可表示为(2),(yxf一阶微分方程有时也可以写成如下的形式(3)0),(),(dQyxP如果一阶微分方程为 或 ；则只需等式两边积fdxfy(分即得 Cdf)(但并非一阶微分方程都可以如此求解的，比如 ，就不能像上面yx3所述的求法，原因是方程右端含有未知函数，积分 求不出来.为了d解决这个困难，在方程的两端同乘以 ，使方程变为 .这样，ydxxy3变量 与 被分离在等式的两端，然后两端积分得yx CxCdxy431ln如此得到的函数是原来的微分方程的解吗?(读者自己验证).本节中将介绍几种特殊类型的一阶微分方程及其解法.一、可变量分离的微分方程与分离变量法形如(4)(ygxfd的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程.求解方法：首先分离变量，即把 与 分别移到方程的两端：xf),(y),(dxfg)(再两端分别求积分即可求得微分方程的通解，其中 是任意常数.Cdxfyg)()(注意：(1)在移项时 才可以；如 则不妨设 是00)(yg0y的零点，即 ，代入原方程可知常数函数 显然是0)(yg)(y方程(4)的一个特解 .(2)在上述的通解表示式中， 与 表示的是一个原函数，)(ygdxf)(而不是不定积分；两个不定积分中出现的任意常数归并在一起记为 C.例 1 求微分方程 的通解.)1(32xdy解 分离变量可得 dxy23两端分别求积分得到通解即Cdxy231Cx3arctn其中 C 是任意常数.通解也可写为 ，其中 C 是任意常数.)t(3y例 2 求微分方程 的通解.dxyxdx224解 合并同类项得 y)1(3)(22(1)如果 ，分离变量得042ydyx2241积分得 122ln3)ln(C其中 是任意常数.去对数得方程得通解为1C322)4(1yCx其中 是一个正的任意常数( ).1e例 3 设一曲线经过点 ，它在两坐标轴间的任一切线段被切点所)3,2(平分，求这一曲线的方程.解 设所求的曲线方程为 ，则曲线上任一点 处的切线)(xy),(yx方程为 XY由已知，当 时， ，代入上式即得到所求曲线应满足的微分方0Yx2程及初始条件 32xyd此方程为可分离变量的微分方程，易求得通解为 C又因 ，则 ，故所求的曲线为 .32xy6C6xy二、齐次方程如果一阶微分方程 ),(yxfd中的函数 可以变为 的函数，即微分方程为 的形式，),(yxfxy)(xygd习惯上称这样的微分方程为齐次方程.例如方程 0)2()(2yxd就是齐次方程，因为我们可以把此方程化为.)(212xyxyd要求出齐次方程的通解，我们可以用变量代换的方法.设齐次方程为(5)(xygd假设 ，则可以把齐次方程(5)化为可分离变量的微分方程 .因为 ，xyu xyu则 ， 代入方程(5)可把原方程变为xyd)(ugd即 x)(分离变量得 xdug)(等式两端积分得.Cx)(记 为 得一个原函数，再把 代入，则可得方程(5)的通)(uGg1yu解为 ， 为任意常数.Cxln例 4 解方程.dxyxy2解 原方程可变为1)(22xydxy显然是齐次方程.故令 ，则u，xydxyu于是原方程变为 12u即 dx再分离变量，得 u)1(两端积分，得 xClnl即 ，以 代换上式中的 便得到原方程的通解为Cuxlnxyuxyl注记:齐次方程的求解实质是通过变量替换，将方程转化为可分离变量的方程.变量替换法在解微分方程中，有着特殊的作用.但困难之处是如何选择适宜的变量替换.一般来说，变量替换的选择并无一定之规，往往要根据所考虑的微分方程的特点而构造.对于初学者，不妨多试一试，尝试几个直接了当的变量替换.例 5 求微分方程 的通解.22yxdy解 令 ,则xu，xuy1du原方程化为 21udx即 2两端积分，得 cxuarctn把 用 换回，得原方程的通解为uyx)tan(cxy三、一阶线性微分方程方程(6)()(xQyPdx称为一阶线性微分方程，因为它对于未知函数 及其导数是一次方程.如果方程(6)中的 ，则把此时的方程(6)称为齐次的；如果 不恒等0)(xQ)(x于零，则把方程(6)称为非齐次的.设方程(6)是非齐次的微分方程，为求出其通解，首先我们讨论 (6)式所对应的齐次方程(7)0)(yxPd的通解问题.显然这是一个可分离变量的方程，分离变量得 dy)(两端积分，得 1C)(lnxP或 ，(其中 )dxey)C1e这是方程(6)对应的齐次线性微分方程(7)的通解.现在我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程(6)的通解.此方法是将方程(7)的通解中的常数 换成 的未知函数 ，即作变换cx)(xu（8）dPeuy)(假设(8)式是非齐次线性方程(6)的解.则如果能求得 是什么问题)(xu也就解决了. 为此两边求导得(9)dxPdxPeuexy)()(将(8)式和(9)式代入方程(6)，得)()()()()()( xQxue dxPdxPdxP 即 )()(xedxPxQu)(CdexP)(将上式代入(8)式得到非齐次线性微分方程(6)的通解为(10)()()( xeQeydPdxP注意：公式(10)中的不定积分 和 分别理解dxeP)(为一个原函数.将(10)式写成如下两项之和 dxeQecyPdxPdxP)()()(不难发现：第一项是对应的齐次线性方程(7)的通解；第二项是对应的非齐次线性方程(6)的一个特解(在(6)的通解(10)中取 即得此特解).由此0C得到一阶线性非齐次微分方程的通解之结构为对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和.例 6 求方程 23)1(xydx的通解.解 这是一个非齐次线性微分方程，由公式（10）得 )1()12(3)12( Cdxexeyxdx )(22 )1(ln23)1(ln xx)(212Cd)(x2251)由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次微分方程，求解它只需套用公式（10）即可，当然也可以用常数变易法进行求解.例 7 求微分方程 0)(3dyxy的通解（设 ）.0y解 如将上述方程变形为 03xyd则显然不是线性微分方程.如果将方程改写为 03yxd即21yxd这是一个把 当因变量而 当自变量的形如xy(11)()(yQxP的一阶线性微分方程；用公式可直接得到通解为(12)()()( CdyeexPdyP故本问题的通解为 )(121dydy积分得.)4(Cyx四、伯努利方程形如(13)nyxQPdxy)()(的微分方程称为伯努利方程，其中 为常数，且 .n1,0伯努利方程是一类非线性微分方程，但通过适当的变换就可以把它转化为线性的微分方程.在(13)式的两端除以 ，可得ny或)()(1xQyPdxynn )()(11xQyPn于是令 ，就得到关于变量 的一阶线性微分方程z1z)(1)(1xnxnxz利用线性微分方程的求解公式，再把变量 换回原变量可得伯努利方程z（13）的通解为.)()(1)1(1 CdxexQey PndxPnn 例 8 求方程 的通解2)ln(yxadxy解 方程两端除以 ，令 ，则原方程可变为21zxxl再由线性微分方程的求解公式可得 )(ln2aCz再把变量 换回原变量，可得原方程的通解为z 1)(lxy四、一阶微分方程在经济上的应用的实例例 9 （新产品推广模型）设某产品的销售量 是时间 的可导函数，)(tt如果该产品的销售量对时间的增长速率 与销售量 及销售量接近于dtx饱和水平的程度 之积成正比( 为饱和水平，比例常数为 )，)txNN0k且当 时 .求：0t41(1) 销售量 ，)(tx(2) 销售量 的增长最快的时刻 .T解 1.由题意可建立如下的微分方程：，( )xNkdt0k此方程为可分离变量的微分方程，分离变量得 dtx)(两端积分，得 NktCe从中解出 ，得)(tx1)(NktCetx由 得 ，故可得Nx41)0(3CNktetx31)(2.对求一阶、二阶导数得 2)(Nktdt3232)1(kttetx令 ，得 .02dtxNkTln当 时 ；当 时 .故而当 时 增长t2txTt02dtxNkT3ln)(tx的速度是最快的.注：习惯上把，( )xNkdt0k称为 Logistic 方程，该方程的解曲线 称为 Logistic 曲线.在NktetB1经济学、生物学等中常遇到这样的变化规律.例 10 （人才分配模型 ）每年的大学毕业生（含硕士、博士研究生）中都要有一定比例的人员充实教师队伍，其余的从事科技管理方面的工作.设 年时教师人数为 ，科技管理人员人数为 ，又设一个教师每年t)(1tx)(2tx平均培养 个毕业生，又每年退休、死亡或调出人员的比例为，每年毕业生中从事教师职业的比率为 ，则根)0( )10(据已知可建立如下的微分方程(14) 11xdtx(15)212)(xdtx方程(14)是可分离变量的微分方程，易解得其通解为 teC)(1设 ，则 ；得(13)的特解为mx)0(1C1 tmex)(1将上式代入(15)式得 tdt )(2(这是一个一阶线性微分方程，可求得其通解为 ttmeeCx)(21设 ，则 ；故得(14)的特解为nx)0(22.ttmeex )(21)1( 若取 ，即毕业生全部充实教师队伍，则当 时，1 t而 ，此时表明教师队伍将迅速增加，但科技管理队)(1tx0)(2tx伍将不断萎缩，必然会影响经济的发展.若取 ，即毕业生很少充实教师队伍，则当 时， t且 ，此表明若不保证适当的比例的毕业生充实教师队0)(1tx)(2tx伍，必将影响人才的培养，最终会导致两支队伍全面的萎缩.因此选择好比例 十分重要.10.3 可降阶的二阶微分方程对于二阶微分方程 ),(yxfy在某些情况下可通过适当的变量代换，把二阶的微分方程转化为一阶的微分方程，习惯上把具有这样性质的微分方程称为可降阶的微分方程.其相对应的求解方法自然地称为降阶法.下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程.一、 型的微分方程)(xfy微分方程(1)(xfy的右端仅含有自变量 ，求解时只需把方程(1)理解为 ，对此x )(xfy）（式两端积分，得 1)(Cdxfy同理，对上式两端再积分，得 21)(f此方法显然可推广到 阶.n例 1 求微分方程 4sinxy的通解.解 对给定的方程两端连续积分两次，得 1sicoCxxy 22in)1( 例 2 求微分方程 xeyxcos2满足 的特解.1)0(,)(y解 对给定的两端积分两次，得 12sinCxe由初始条件 ，得 .1)0(y2C21cos4Cxex由初始条件 ，得 .)(y52故原方程满足初始条件的特解为 4521cos412xeyx二、 型的微分方程),(xfy方程(2),(yxf的典型特点是不显含未知函数 ，求解方法：作变量代换 ，则 ，原方程可化为以 为未知)(xPy )(p )(xP函数的一阶微分方程 ),(xf设此方程的通解为 ，得),()1Cxp,1xy再方程两端积分，得 .21),(d例 3 求微分方程 0)(2yx的通解.解 显然该方程不显含有未知函数 ，故令 ，则 ，)(xP )(xpy于是原方程化为 02)1(xpd即21xdp两端积分，得 12ln)l(nC即或)1(2xCp)(21xy两端积分，得原方程的通解为.231)(C例 4 求微分方程 xey满足 的特解.ey)1(,2)(解 显然该方程为 型，故令 ，则 ，),(yxf)(xPy )(xpy于是原方程化为 xep1这是一阶线性微分方程，易解得或)(1Cexp)(1yx因 ，得 0，即ey)1(1xey两端积分，得 2)1(Cx又因 ，可得原方程满足初始条件的特解为2)1(y)(xey三、 型的微分方程),(yf该方程(3),(yf类型的特点在于不显含自变量 ,求解方法：x令 ，利用复合函数求导法则把 转化为因变量 的函数，即py ydpxydpy故方程(3)变为 ),(pyf此方程为关于 的一阶微分方程.如能求出它的通解不妨设为py,或),(1C),(1dx此方程是一个可分离变量的微分方程，易得原方程的通解为.21),(y例 5 求微分方程 2)(的通解.解 显然该方程为 型，故令 ，则 ，代入),(yf )(xPydyp原方程得 2pdy即 0)(y(1) 如果 且 ，则方程两端约去 及同除 ，得0pypyyd两端积分，得 1lnlCp即或y11再分离变量并积分，可得原方程的通解为.xCe12(2) 如果 或 ，即 ( 为任意实数)是原方程的解(又0py称平凡解)，其实已包括在(1)的通解中(只需取 ).0110.4 二阶线性微分方程解的结构在应用问题中较多遇到的一类高阶微分方程是二阶线性微分方程，它的一般形式为(1)()(xfyQxPy其中 为已知的 的函数.),(fxQP当方程右端函数 时，方程(1)称为二阶齐次线性微分方程，0)(即(2)0)()(yxQPy当方程右端函数 时，方程(1)称为二阶非齐次线性微分方程.0xf本节中主要讨论二阶线性微分方程解的一些性质，这些性质还可以推广到 阶线性微分方程n.)()()(1)1)( xfyPxyxPnnnn 定理 1 如果 是方程(2)的两个解，则,21(3)()(21xyCy也是方程(2)的解，其中 为任意实数.(读者自证)2,此性质表明齐次线性微分方程的解满足叠加原理，即两个解按(3)式的形式叠加起来仍然是该方程的解；从定理 1 的结果看，该解包含了两个任意常数 和 ，但是该解不一定是方程(2)的通解.例如二阶线性微分方程1C2，不难验证 都是方程 的解，0y xysin5,si210y但其 形式的解 ，这显然不是方)()(21xxCsi)(21程 的通解(由通解的定义即可知道 ). 那么满足何条件下的(3)式形y式的解才是方程(2)的通解呢？事实上， 是二阶线性微分方程xysin1的解，可以验证 也是方程 的解，那么两0y co2 0y个解的叠加 是方程 的通解. 比较一下，xCssin1容易发现前一组解的比 ，是常数，而后一组解的比51i2y，不是常数. 因而在 是方程 (2)的两个非零xytancosi21)(,21xy解的前提下，如果 为常数，则 不是方程(2)的通21y)()(21Cy解(事实上 是相关联的)；如果 不为常数，则21, 21是方程(2)的通解(事实上 是不相关联的).21xyCy 21,y为了解决这个问题，我们引入一个新的概念，即函数的线性相关与线性无关的概念:设 是定义在区间 内的两个函数，如果存在两个不全为零)(,21xyI的常数 ，使得在区间 内恒有k 0)()(21xyk成立，则称此两个函数 在区间 内线性相关，否则称线性无关.,2xyI显然如果 是常数，则 线性相关； 不是常数，则 线2121,21y21,y性无关.据此我们有以下齐次线性微分方程的解的结构定理：定理 2 如果 是方程(2)的两个线性无关的特解，则)(,21xy)(21xyC就是方程(2)的通解，其中 为任意实数.2,下面我们来讨论二阶非齐次微分方程的解的结构.在一阶线性微分方程的讨论中，我们已知道一阶线性非齐次微分方程的通解之结构为对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和，那么二阶及以上的线性微分方程是否也有这样解的结构呢？回答是肯定的.定理 3 如果 是方程(1)的一个特解，且 是其相应的齐次)(*xy)(xY方程(2)的通解，则（4）)(*x是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解.证 将(4)式代入方程(1)的左端，得 )()()( * YyxQYyxPYyxP)(因为 是方程(1)的解， 是方程(2)的解，可知上式中的第一个)(*xy)(xY中括号内的表达式恒为 ，第二个中括号内的表达式恒为零,即方程(1)的f左端等于 ，与右端恒相等.故(4)式是方程(1)的解.)(xf又因为 是其相应的齐次方程(2)的通解，由定理 2 知其包含两个Y任意常数，因而 也包含两个任意常数，从而得知)(*xYy是方程(1)的通解)(*xy例如，方程 是二阶非齐次线性微分方程，其相应xey2的齐次方程 的通解为 ，又容易验证0y xCYcossin21是方程 的一个特解，因此xe* xe xeycssi21是方程 的通解.xey2在求解非齐次线性微分方程时，有时会用到下面两个定理.定理 4 如果 分别是方程)(,*21y)()(1xfyQxP)(2y的特解，则 是方程)(*2*1x)()()(21xffyQPy的特解.这一定理的证明较简单，只需将 代入方程21)()()(xffyxy便可验证。这一结论告诉我们欲求方程 特解 ，可分别求)()()(21xffyxQPy *y与 )()()(2xfyxy的特解 和 ，然后进行叠加 .*12 *1*定理 5 如果 分别是方程)(21xiy )(21xiffQP的解，其中 为实值函数， 为纯虚数.则)(,)(,21xfx分别为方程)(,21yx )()()(1xfyQxPy与 )()()(2f的解.证 由定理的假设，得 )()()( 21212121 xiffiyxQiyxPiy 即 )()()()()( 21222111 iffi由两复数必有等式两端的实部与虚部分别相等，得 )()()(1xfyQxPy.2最后指出，在本节中我们仅讨论了二阶线性齐次(非齐次)微分方程的通解之结构，尚未给出求解二阶线性微分方程的方法，在下面两节中将对较特殊的二阶齐次（非齐次）线性微分方程的通解的求法加以讨论.10.5 二阶常系数线性微分方程由二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题关键在于：如何求得二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解；本节将讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其解法.把具有形式(1)(xfqyp的方程称为二阶常系数线性微分方程，其中其中 是常数. 把具有形式qp,(2)0y的方程称之为二阶常系数齐次线性方程.一、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法我们已经知道要得到方程(2)的通解，只需求出它的两个线性无关解与 ，即 常数，那未 就是方程（ 2）的通解.1y21y21ycy我们先分析方程（2）可能具有什么形式的特解.从方程的形式看，方程的解 及 、 各乘于常数的和等于零，意味着函数 及 、 之 y间只能差一个常数，在初等函数中符合这样的特征的函数很显然是（ 为常数）.于是假设xre xrey是方程（2）的解（其中 为待定常数） ，则有 ， ，代rxrxrey2入方程（2）中，得0)(2xreqpr因 ，从而有0xre（3）2r由此可见，只要 满足代数方程（3） ，函数 就是微分方程（2）的r xrey解。我们把该代数方程（3）叫做微分方程（2）的特征方程,并称特征方程的两个根为特征根.根据初等代数的知识可知，特征根有三种可能的情形，下面分别讨论.1. 特征方程（3）有两个相异的实根 .21,r此时特征方程满足 ，它的两个根 可由公式042qp21,422,1qpr求出，则 与 均是微分方程（2）的两个解，并且xrey1xr不是常数，因此微分方程（2）的通解为xrxrey)(12112（4）xrxr