探究《蚂蚁怎样走最近》

1探究蚂蚁怎样走最近摘要：在有关立体图形展开求最短路程的问题中，往往会遇到一些需要分类讨论计算之后才得出结论的题目，我们在讨论 的基础上如果加以归纳总结 ，就可以从中得到解决 问题的直接路径，从而避免过多的计算。关键词：长方体；展开；最短；勾股定理在北师大教材数学八年级上第一章勾股定理有一节蚂蚁怎样走最近中提到一个问题：如图，若蚂蚁从 A 点要沿着侧面爬到 B点，该如何走才最近， 此问题主要是把圆柱侧面展开，运用勾股定理计算最近路程。在后面的练习中又将圆柱变成长方体，此时长方体就有三种展开的图形，一般来说需要将三种情况都计算出来。然后逐一比较，从而得出最近路程。 例如：如图 2，在长、宽、高分别为 6cm、5cm、7cm 的长方体上，蚂 蚁要从 A 点爬到 B 点，如何走才最近？解：将长方体展开如图：第一种展开图如图：由题意可知：BC=7cm ,在 RtABC 中：AB= =2BCA；12875622）（第二种展开图如图：由题意可知：在 RtABC 中，AB= = 2BCA1506522）（第三种展开图如图：由题意可知：在 RtABC 中，AB= =29436722）（所以，在展开图中使和在矩形的一条边上时，蚂蚁从到的距离最短。由以上计算我们可猜测：当最短的两条棱在展开图中是在一条边上时，蚂蚁走的路程最短。那这个结论是否有普遍规律呢？如果有这个规律的话，我们在AB56AB76ABC75图 1图 276ABC556AB7C2解答此类问题时，就不用一个一个的尝试计算后再得出答案，而是直接就展开成最短路程的展开图来计算了。经过探究尝试可知这个想法是可以成立的，证明如下：假设有一个长、宽、高分别为 a、b、c 的长方体，从 A 点到 B 点怎样走才是最短的距离？该长方体的三种展开图如图：第一种： abcacbaAB2)(22第二种： )( 222第三种： acbacAB)( 222比较以上三个式子，不管是哪一种展开图，根号里其中有一部分是相同的，即是 ，不同的是后面的两倍乘积，从而导致 AB 的长短不同，所以，22baAB 的长短决定于后面的是哪两个的乘积的两倍。而从式子明显的可以看出：两个数最小时其乘积也是最小的，所以，当最小的两条棱在展开图中拼在一条边上时，A 到 B 的距离是最短的。此结论还可从另一方面得到证明：首先，我们假设在展开图中有两条棱拼在展开图矩形的一条边的边长为 m，而单独作为矩形一边的边长为 n（如图） ，在 RtABC 中，由勾股定理可得：，所以需要 最222nBCA小，就要求 取最小值。m由 可知：0)(2nm022naABCcbcaABCbbaABcCBnmAabABc3所以： ；此地当且仅当 时 取得最小值 从mn22nm2mn2、的变化趋势看，m、n 之间的差距越小， 的取值就越小，所以由长、宽、高分别为 a、b、c 的长方体在展开时，为了使从 A 到 B 最近，就应该在展开图中将三条棱中较短的两条棱组合成矩形的一边，这样就使得形成的两条直角边之间的差距最短，从而就保证最小。如果 A、B 两点不在长方体的顶点上，