偏微分方程离散-差分格式-差分方法等

1（三）偏微分方程的数值离散方法 3.1 有限差分法 3.2 有限体积法 (有限元，谱方法，谱元，无网格，有限解析，边界元，特征线） 23.1 有限差分法 3.1.1 模型方程的差分逼近 3.1.2 差分格式的构造 3.1.3 差分方程的修正方程 3.1.4 差分方法的理论基础 3.1.5 守恒型差分格式 3.1.6 偏微分方程的全离散方法33.1.1 模型方程的差分逼近43.1.2 差分格式的构造53.1.3 差分方程的修正方程 差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程 对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。 Warming-Hyett方法： 差分方程 (2)写成算子的形式： 63.1.3 差分方程的修正方程 (续 ) 73.1.3 差分方程的修正方程 (续 ) 83.1.4 差分方法的理论基础 相容性，稳定性，收敛性 等价性定理 Fourier稳定性分析93.1.4 差分方法的理论基础（续） Fourier (Von Neumann) 稳定性分析103.1.4 差分方法的理论基础（续） Fourier (Von Neumann) 稳定性分（续） 称为 CFL条件 (Courant, Friedrichs, Levy)113.1.5 守恒型差分格式 流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组： 定义123.1.5 守恒型差分格式（续） 守恒性质： 非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的 “离散守恒律 ”。133.1.5 守恒型差分格式（续） 守恒型差分格式的 Lax-Wendroff定理：如果守恒型差分格式是和守恒律相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。 用途 : (加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用例如： Lax-Friedrichs 格式， Lax-Wendroff格式， Mac Cormack格式 143.1.6 偏微分方程的全离散方法 对差分格式的一般要求： 有精度、格式稳定、求解效率高 特殊要求 物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性(正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度等 ) 主要指非定常方程的时间离散 153.1.6偏微分方程的全离散方法 (续） 两层格式Crank-Nicolson格式、 P-C格式、 Lax-Wendroff格式、 MacCormack 格式Runge-Kutta方法 时空全守恒：如 Godunov格式、 central-upwind格式、 CESE方法 多层格式Leap-Frog格式、 Adams-Bashforth格式、后三点隐格式 163.1.6.1 两层格式 Crank-Nicolson格式 Predictor-Corrector格式 Lax-Wendroff 格式 Mac Cormack格式 Runge-Kutta方法173.1.6.1 两层格式 (cont.） Lax-Wendroff 格式一步 LW格式183.1.6.1 两层格式 (cont.） Lax-Wendroff 格式两步 LW格式常系数 Jacobian时与单步 LW等价。但计算更简单，不涉及矩阵相乘。193.1.6.1 两层格式 (cont.） Mac Cormack 格式 (1969)两步格式比 LW更简单，不需要计算函数在半点上的值。LW两步格式和 MC各式的缺点：定常解的误差依赖于时间步长。20Mac Cormack格式的构造213.1.6.2 三层 格式 Leap-Frog格式 Adams-Bashforth格式22第二课后阅读提示 傅德薰 计算流体力学 ， 3.1 3.3 水鸿寿 一维流体力学数值方法 3.1 Computational Methods for Fluid Dynamics , Ferziger and Peric, Springer Chap. 623作业 2 1.用 Fourier法分析 3.1.6.1节中 Crank-Nicolson格式的稳定性。 2.分析前面 3.1.6节中 Mac Cormack格式是几阶精度。243.2有限体积法 出发方程为积分型守恒方程（直角坐标、柱坐标、球坐标） 以控制体为离散量 计算体积分和面积分需要适当的插值公式和积分公式 (quadrature formula) 适用于任意形状的网格，复杂几何形状 缺点：难以构造大于二阶以上的格式253.2.1 定常守恒型方程和控制体263.2.2 面积分的逼近 面积分用积分点的值表示 (quadrature) 积分点的值用 CV的值表示 (interpolation) 对于 Simpson公式 ,对积分点的插值需要四阶精度273.2.4 体积分的逼近 当被积函数为某种型函数时，可以得到精确的积分，逼近精度取决于型函数的精度。283.2.4 体积分的逼近四阶精度：