数学八年级下册教案＿全册

1八年级数学下册教学设计2第一章 三角形的证明1.1.1 等腰三角形教学目标：1、理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；2、在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；3、熟悉证明的基本步骤和书写格式。教学重难点：重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。教学过程：一、回顾旧知 导出公理提请学生回忆并整理已经学过的 8 条基本事实中的 5 条：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。教学中注意提请学生分析条件和结论，画出简图，写出已知和求证，并规范地写出证明过程。具体证明如下：已知：如图，A=D,B=E,BC=EF.求证：ABCDEF.证明：A=D,B=E（已知），又A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和等于 180），C=180-(A+B)，F=180-(D+E)，C=F（等量代换）。又 BC=EF（已知），ABCDEF（ASA）。二、折纸活动 探索新知在提问：“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。 FEDCBAD CBADCBA D(C)BA3在教学过程中，教师应注意小组的巡视，提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系从而得到“三线合一”。三、明晰结论和证明过程在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明 .其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合四、随堂练习 巩固新知学生自主完成 P4 第 2 题：如图（图略）,在ABD 中,C 是 BD 上的一点，且ACBD，AC=BC=CD，（1）求证：ABD 是等腰三角形；（2）求BAD 的度数。巩固全等三角形判定公理的应用，复习等腰三角形“等边对等角”的用法。五、课堂小结让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。形成及时总结语反思的意识与习惯，提高学生能力。教师注意对学生的感想进行适当的引导，并在学生交流的基础上，明晰部分收获供学生共享，如：1、具体有关性质定理；2、通过折纸活动对获得的定理给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据3、体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性六、布置作业P5 习题 1,2.1.1.2 等腰三角形教学目标：1、探索发现猜想证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；2、经历“探索发现猜想证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；教学重难点：重点：经历“探索发现一一猜想证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论教学过程：一、提出问题，引入新课在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?二、自主探究在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等4的线段，并尝试给出证明。教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：你可能得到哪些相等的线段？你如何验证你的猜测？你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；还可以有哪些证明方法？通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形两腰上的中线相等并对这些命题给予多样的证明。如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法：已知：如图，在ABC 中，AB=AC，BD、CE 是ABC 的角平分线求证：BD=CE证法 1：AB=AC，ABC=ACB(等边对等角)1= ABC，2= ABC，12 121=2在BDC 和CEB 中，ACB=ABC，BC=CB，1=2BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等) 证法 2：证明：AB=AC，ABC=ACB又3=4在ABC 和ACE 中，3=4，AB=AC，A=AABDACE(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等)三、经典例题 变式练习提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：在课本图 14 的等腰三角形 ABC 中，(1)如果ABD= ABC，ACE= ACB 呢?由此，你能得到一个什么结论?13 14(2)如果 AD= AC，AE= AB，那么 BD=CE 吗?如果 AD= AC，AE= AB 呢?由此你得到什么结12 12 13 13论?教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经验比较少，可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：把底角二等份的线段相等如果是三等份、四等份结果如何呢?从而引出“议一议”。由于课堂时间有限，如果学生全部解决上述问题，时间不够，可以在引导学生提出上述这些问题的基础上，让学生证明其中部分问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，如普通学生仅仅证明其中部分问题，而要求部分学优生解决所有的问题，甚至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题，4231E DCBA5你是如何想到这些问题的”。在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。四、拓展延伸，探索等边三角形性质提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于 60.已知：如图，ABC 中，AB=BC=AC求证：A=B=C=60.证明：在 ABC 中，AB=AC，B=C(等边对等角)同理：C=A，A=B=C（等量代换）又A+B+C180（三角形内角和定理），A=B=C60五、随堂练习 及时巩固 在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习。1.如图,已知ABC 和BDE 都是等边三角形.求证:AE=CD六、探讨收获 课时小结本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论。作业：1.1.3 等腰三角形教学目标：1探索等腰三角形判定定理2理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。4.培养学生的逆向思维能力。教学重难点：理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明教学过程：一、复习引入：通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。问题 1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题 2.我们是如何证明上述定理的？问题 3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？二、逆向思考，定理证明上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径例如“等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?生如图，在ABC 中，B=C，要想证明 AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB 与 AC 成为对应边就可以了师你是如何想到的? ED CBACBA6生由前面定理的证明获得启发，比如作 BC 的中线，或作 A 的平分线，或作 BC 上的高，都可以把ABC 分成两个全等的三角形师很好同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论生我们组发现，如果作 BC 的中线，虽然把ABC 分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的后两种方法是可行的师那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来(教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评)(证明略)师我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形这一定理可以简单叙述为：等角对等边我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美三、巩固练习将书中的随堂练习提前到此，是为了及时巩固判定定理。引导学生进行分析。已知：如图，CAE 是ABC 的外角，ADBC 且1=2求证：AB=AC证明：ADBC，1=B(两直线平行，同位角相等)，2=C(两直线平行，内错角相等) 又1=2，B=CAB=AC(等角对等边)四、适时提问 导出反证法我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?我们一起来“想一想”：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?有学生提出：“我认为这个结论是成立的因为我画了几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等但要像证明“等角对等边”那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否定的”的确如此像这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢?我们来看一位同学的想法：如图，在ABC 中，已知BC，此时 AB 与 Ac 要么相等，要么不相等假设 AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得C=B，但已知条件是BC“C=B”与已知条件“BC”相矛盾，因此 ABAC你能理解他的推理过程吗?再例如，我们要证明ABC 中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设A=90，B=90，可得A+B=180，但ABA+B+C=180, “A+B=180” 与“A+B+C=180”相矛盾，因此ABC中不可能有两个直角引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢?引出反证法。都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证CBAC21BA D7法接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等边”，最后结合实例了解了反证法的含义五、拓展延伸在一节课结束之际，为培养学生思维的综合性、灵活性特安排了 2 个练习。一个是通过平行线、角平分线判定三角形的形状，再通过线段的转换求图形的周长。另一个是一个开放性的问题，考察学生多角度多维度思考问题的能力。学生在独立思考的基础上再小组交流。1.如图，BD 平分CBA，CD 平分ACB，且 MNBC，设 AB=12，AC=18，求AMN 的周长. .2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数? 六、课堂小结（1）本节课学习了哪些内容？（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？ （3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路1.1.4 等腰三角形教学目标：1、理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有 30 角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。2、经历实际操作，探索含有 30 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力。教学重难点：重点：等边三角形判定定理的发现与证明.含 30角的直角三角形性质定理的发现与证明.难点：含 30角的直角三角形性质定理的探索与证明.引导学生全面、周到地思考问题.教学过程：一、提问问题，引入新课教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？从而引入新课。 (教师应给学生自主探索、思考的时间)二、自主探索学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：性质 判定的条件等腰三角形（含等边三角形）等边对等角 等角对等边NMCBAD8“三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合有一角是 60等边三角形三个角都相等，且每个角都是60三个角都相等的三角形是等边三角形三、实际操作 提出问题 教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含 30角的直角三角形。拿出三角板，做一做：定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半已知：如图，在 RtABC 中，C=90，BAC=30求证：BC= AB12分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD证明：在ABC 中，ACB=90，BAC=30B=60.延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD(如图所示)ACB=90ACB=90AC=AC，ABCADC(SAS)AB=AD(全等三角形的对应边相等)ABD 是等边三角形(有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形)BC= BD= AB12 12四、变式训练 巩固新知直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30吗?如果是，请你证明它在师生分析的基础上，给出证明：已知：如图，在 RtABC 中，C=90，BC= AB12求证：BAC=30证明：延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD.ACB=90，ACD=90又AC=ACACBACD(SAS)AB=ADCD=BC，BC= BD12又BC= AB，AB=BD12AB=AD=BD，即ABD 是等边三角形B=60在 RtABC 中，BAC=30教学中，教师可以引导学生思考：从前面定理证明的辅助线的作法中能否得到启示？呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题。DCBADCBACBA9例题等腰三角形的底角为 15，腰长为 2a，求腰上的高 CD 的长.分析：观察图形可以发现在 RtADC 中，AC=2a 而DAC 是ABC 的一个外角，而DAC=15=30，根据在直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD解：ABC=ACB=15DAC=ABC+ACB=15+15=30CD= AC= 2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边12 12等于斜边的一半)五、畅谈收获 课时小结让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。六、布置作业1.2.1 直角三角形教学目标：1、掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立教学重难点：重点：1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法2、结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立难点：勾股定理及其逆定理的证明方法教学过程：一、创设情境，引入新课通过问题 1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。问题 1一个直角三角形房梁如图所示，其中 BCAC， BAC=30，AB=10 cm，CB 1AB，B 1CAC 1，垂足分别是 B1、C 1，那么 BC 的长是多少? B 1C1呢?由此提问：“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?”从而引入勾股定理及其证明。CBA D1C1BCAB10教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?请同学们打开课本 P18，阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法二、讲述新课阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读（1）勾股定理及其逆定理的证明反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论你能证明此结论吗?师生共同来完成已知：如图：在ABC 中，AB 2+AC2BC 2求证：ABC 是直角三角形总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（2）互逆命题和互逆定理这样的情况，在前面也曾遇到过例如“两直线平行，内错角相等”，交换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”又如“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30”。三、议一议观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系。在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题四、想一想要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，CAB11条件变换成结论，就得到了逆命题请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗？五、随堂练习说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，内旁内角互补；(3)如果 ab0，那么 a0， b0六、课时小结这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力七、课后作业习题 15 第 1、2、3、4 题1.2.2 直角三角形教学目标：1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性；2、利用“HL”定理解决实际问题。教学重难点：利用“HL”定理解决问题教学过程：一、复习提问1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同学们相互交流。3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”教师顺水推舟，询问能否证明：“在两个直角三角形中，直角所对的边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，从而引入新课。12二、引入新课（1）“HL”定理由师生共析完成已知：在 RtABC 和 RtABC中，C=C=90，AB=AB，BC=BC求证：RtABCRtABC证明：在 RtABC 中，AC=AB 2一 BC2(勾股定理)又在 Rt A B C中，A C =AC=AB 2一 BC2 (勾股定理)AB=AB，BC=BC，AC=ACRtABCRtABC (SSS)定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示练习：判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； (2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等； (4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 对于（1）、（2）、（3）一般可顺利通过，这里教师将讲解的重心放在了问题（4），学生感觉是真命题，一时有无法直接利用已知的定理支持，教师引导学生证明三、做一做问题 你能用三角尺平分一个已知角吗? 请同学们用手中的三角尺操作完成，并在小组内交流，用自己的语言清楚表达自己的想法（设计做一做的目的为了让学生体会数学结论在实际中的应用，教学中就要求学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。）四、议一议已知ACB=BDA=90，要使ACBBDA，还需要什么条件?把它们分别写出来 这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案五、例题学习如图，在ABCABC中，CD，CD分别分别是高，并且ACAC，CD=CDACB=ACBAB CCBACCA D B BDA13求证：ABCABC六、课时小结本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法HL 定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力七、课后作业习题 16 第 3、4、5 题1.3.1 线段的垂直平分线教学目标：1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理。2经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力丰富对几何图形的认识。教学重难点：重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。难点是垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。教学过程：一、创设情境，引入新课如图，A、B 表示两个仓库，要在 A、B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等所以在这个问题中，要求在“A、B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”二、性质探索与证明教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。14已知：如图，直线 MNAB，垂足是 C，且 AC=BC，P 是 MN 上的点求证：PA=PB分析：要想证明 PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等证明：MNAB，PCA=PCB=90AC=BC，PC=PC,PCAPCB(SAS) ；PA=PB(全等三角形的对应边相等)教师用多媒体完整演示证明过程 三、逆向思维，探索判定逆命题就很容易写出来“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上”写出逆命题后时，就想到判断它的真假如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明引导学生分析证明过程，有如下证法： 已知：线段 AB，点 P 是平面内一点且 PA=PB求证：P 点在 AB 的垂直平分线上证法一：过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC,PA=PB，PC=PC，证法二：取 AB 的中点 C，过 PC 作直线证法三：过 P 点作APB 的角平分线从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理四、巩固应用 在做完性质定理和判定定理的证明以后，引导学生进行总结：（1）线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。（2）到一条线段两个端点的距离相等个点在这条线段的垂直平分线上因此只需做出这样的两个点即可做出线段的垂直平分线。例题：已知：如图 1-18，在 ABC 中，AB = AC，O 是 ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段 BC。NAPBCM15五、随堂练习课本 P23；习题 1.7：第 1、2 题六、课堂小结通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？七、课后作业习题 l.7 第 3、4 题 1.3.2 线段的垂直平分线教学目标：1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点；2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形； 教学重难点： 重点：1、能够证明与线段垂直平分线相关的结论 2、已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形 难点：证明三线共点。教学过程：一、情景引入 尺规作图作三条边的垂直平分线。“三角形三边的垂直平分线交于一点”、“这一点到三角形三个顶点的距离相等”等都是学生可以发现的直观性质。这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论 二、例题解析（1）教师引导学生分析，寻找证明方法。我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，但这是我们没有遇到过的不妨我们再来看一下演示过程，或许你能从中受到启示通过演示和启发，引导学生认同：“两直线必交于一点，那么要想证明“三线共点，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可”QPNMFECBAO16虽然我们已找到证明“三线共点”的突破口，询问学生如何知道这个交点在第三边的垂直平分线上呢?师生共析，完成证明（2）讨论结束后，学生书写证明过程。教师点评，注意几何符号语言的规范性。我们得出的结论：定理 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等三、引申拓展 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?（4）例题学习已知底边及底边上的高，求作等腰三角形已知：线段 a、h（5）做一做：课本第 25 页：教师引导学生分析作出草图，注意对学生作法叙述的准确性加以更正。四、动手操作（1）例题：已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由。（2）拓展：如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流.五、随堂练习:：习题 1.8 第 1、2 题。六、课时小结 本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”七、课后作业习题 18 第 3、4 题CBAO171.4.1 角平分线教学目标：1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理2进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力 教学重难点：正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。教学过程：一、情境引入 我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：从折纸过程中，我们可以得出 CD=CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等你能证明它吗?二、探究新知（1）引导学生证明性质定理请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论我们把它叫做角平分线的性质定理。 （2）你能写出这个定理的逆命题吗?我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上它是真命题吗? 你能证明它吗?没有加“在角的内部”时，是假命题证明如下：已知：在么 AOB 内部有一点 P，且 PD 上 OA，PEOB，D、E 为垂足且 PD=PE，求证：点 P 在么 AOB 的角平分线上证明：PDOA，PEOB，PDO= PEO=90在 RtODP 和 RtOEP 中OP=OP，PD=PE，RtODP RtOEP(HL 定理)181=2(全等三角形对应角相等)逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理我们就把它叫做角平分线的判定定理。（3）用直尺和圆规画已知角的平方线及作图的依据讨论。三、巩固练习综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展学生的推论证明能力。在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范例题：在 ABC 中， BAC = 60，点 D 在 BC 上， AD = 10，DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.（4）课本例题学习四、随堂练习 课本第 29 页 1、2 题。五、课堂小结这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决。 六、课后作业习题 19 第 1，2，3,4 题1.4.1 角平分线教学目标：1、证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论2、角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用教学重难点：重点：1、三角形三个内角的平分线的性质2、综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用教学过程：一、设置情境问题，搭建探究平台问题 l 习题 18 的第 1 题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” l3l21lCBA19二、展示思维过程，构建探究平台已知：如图，设 ABC 的角平分线 BM、 CN 相交于点 P，证明： P 点在B AC 的角平分线上在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?（ PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线 三条角平分线锐角三角形 交于三角形内一点钝角三角形 交于三角形外一点三角形直角三角形 交于斜边的中点交于三角形内一点交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等问题 2 如图：直线 l1、 l2、 l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?三、例题讲解如图，在ABC 中AC=BC，C=90，AD 是ABC 的角平分线，DEAB，垂足为 E(1)已知 CD=4 cm，求 AC 的长；(2)求证：AB=AC+CD例 2已知：如图，P 是么 AOB 平分线上的一点，PCOA，PDOB，垂足分别为 C、D求证：(1)OC=OD；(2)OP 是 CD 的垂直平分线思考：图中还有哪些相等的线段和角呢?四、课时小结本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题五、课后作业习题 110 第 1、2 题AD BEC201.5 三角形的证明回顾与思考教学目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.教学重难点：重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固是重点，难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。教学过程：一、创设问题情境，搭建“回顾与思考”的平台通过提问方式复习本章所学习的相关基本知识，如定理、逆定理等。问题 1：你能说说作为证明基础的几条公理吗？教师通过学生回答并整理出六条公理如下：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 问题 2：向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法.综合法：从已知出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理；反证法（教师可关注基础较差的学生，给于关注和指导）问题 3：你能说出一对互逆命题吗？它们的真假性如何？问题 4：任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分已知：如图，AOB求作：(1)射线 OC，使AOC=BOC；(2)射线 OD、OE，使AOD=DOC=COE=EOB二、建立本章的知识框架图21本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括哪些呢？等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定理；角平分线的性质定理及判定定理1通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于 60 ； 等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形（2）与直角三角形有关的结论：勾股定理的逆定理；在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) （3）与一般三角形有关的结论：在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）2命题的逆命题及其真假 ：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题其中一个命题称为另一个命题的逆命题一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理其中一个定理称为另一个定理的逆定理例如勾股定理及其逆定理3尺规作图线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线22三、例题讲解例 1、已知：如图，D 是ABC 的 BC 边上的中点，DEAC，DFAB，垂足分别是E、F，且 DE=DF. 求证：ABC 是等腰三角形. 分析：要证ABC 是等腰三角形，可证B=C. 例 2、如图，在ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，已知BCE 的周长为8，ACBC=2. 求 AB 与 BC 的长.分析：由已知 ACBC=2，即 ABBC=2，要求 AB 和 BC 的长，利用方程的思想，需找另一个 AB 与 BC 的关系四、课时小结本章的内容总结如下：通过探索、猜测、计算、证明得到的定理与等腰三角形、等边三角形有关的结论与直角三角形有关的结论与一般三角形有关的结论命题的逆命题及其真假 尺规作图线段的垂直平分线角的平分线五、布置作业课内： A 组题中的第 3、4、5、6、7、8 题；课外：A 组题中的 9 题，B 组题第 1、2、3 题.第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组课题 2.1 不等关系学习目标理解不等式的意义.能根据条件列出不等式.学习重点通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。学习 实际问题中怎样建立量与量之间的不等关系。EFCDABEDCAB23难点学习过程 学习内容 补充调整预习导学1. 已知正方形的边长为 a，则正方形的面积为 2. 已知圆的半径为 r，则该圆的面积为 学习研讨1、 不等关系在日常生活中十分常见，你能举出一些关于不等关系的例子吗？2、如图 11，用两根长度均为 l cm 的绳子，分别围成一个正方形和圆.图 11（1）如果要使正方形的面积不大于 25 cm2， 那么绳长 l 应满足怎样的关系式？（2）如果要使圆的面积不小于 100 cm2,那么绳长 l 应满足怎样的关系式？（3）当 l=8 时，正方形和圆的面积哪个大？l =12 呢？（4）你能得到什么猜想？改变 l 的取值，再试一试分析:一个是正方形和圆的面积计算公式_另一个是了解“不大于” “大于”等词的含意_（1） 因为绳长 l 为正方形的周长，所以正方形的边长为_，得面积为_，要使正方形的面积不大于 25 cm2，就是_（2） 因为圆的周长为 l，所以圆的半径为_要使圆的面积不小于 100 cm2，就是_（3）当 l=8 时，正方形的面积为_圆的面积为_的面积大当 l=12 时，正方形的面积为_圆的面积为_（cm 2）此时_的面积大.(4) （4）我们可以猜想，用长度均为 l cm 的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论 l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即_因为分子都是_相等、分母_，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分母大的反而小，因此不论 l 取何值，都有 _3、通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面 1.5 m 的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为 5 cm，以后树围每年增加约为 3 cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过 2.4 m？（只列关系式）4. 叫做不等式。当 1.用不等式表示（1） a 是正数；_ （2） a 是负数；_24堂检测（3） a 与 6 的和小于 5；_（4） x 与 2 的差小于1；_（5） x 的 4 倍大于 7；_（6） y 的一半小于 3._2. a,b 两个实数在数轴上的对应点如图 12 所示：图 12用“”或“”号填空：（1） a_b; （2）| a|_|b|;（3） a+b_0; （4） a b_0;（5） a+b_a b; （6） ab_a.延伸拓展商店为促销某种产品，将定价为元的产品按下列方式促销：若购买不超过 5 件按原价付款，若一次性购买 5 件以上，超过部分打 8 折。如果用 27 元钱，最多可购买商品的件数是多少？（只列关系式）总结反思1、本节课你有哪些收获？ 2、预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？3、你认为上课过程中还有哪些须要注意或改进的地方课题 2.2 不等式的基本性质学习目标掌握不等式的基本性质。经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。学习重点不等式三个基本性质的掌握，应用。学习难点不等式基本性质 3 的掌握，应用。学习过程 学习内容 补充调整预习导学查阅资料，回忆等式的两条基本性质。1、2、学 探究 1： 232+1 3+12-1 3-12+a 3+a2-a 3-a25习研讨25_352 1_3 12（1）_3（1）2（5）_3（5）2（ ）_3（ 2）结论：1.不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向 .2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 探究 2：将下列不等式化为“ ax”或“ x”的形式：（1） 74x；（2） x435（3） 62； （4） 15（5） ；（6） 9x当堂检测1.已知 ba，用“ ”或“ ”填空： .2_2)6(;4_4)5( ;04223 3;1 bab2. 将下列不等式化为“ ax”或“ x”的形式： 645)(53)(13)4( 31)(5)2(21)( xxx xx3.实数 a在数轴上对应点如图所示，则 1,a的大小关系正确的是（ ） aDCBaA1.1.a0 126延伸拓展已知 23y，试用不等式的性质化简： 49y总结反思1、本节课你有哪些收获？ 2、预习时的疑难解决