厦门大学《应用多元统计分析》第07章因子分析

第七章 因子分析第一节 引言 第二节 因子分析模型 第三节 因子载荷矩阵求解 第四节 公因子重要性的分析 第五节 实例分析与计算机实现 第一节 引言n 一般认为因子分析是从 Charles Spearman在 1904年发表的文章 对智力测验得分进行统计分析 开始，他提出这种方法用来解决智力测验得分的统计方法。目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都取得了成功的应用，是多元统计分析中典型方法之一。 n 因子分析 (factor analysis)也是一种降维、简化数据的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个 “抽象 ”的变量来表示其基本的数据结构。这几个抽象的变量被称作 “因子 ”，能反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而因子一般是不可观测的潜在变量。 n 例如，在商业企业的形象评价中，消费者可以通过一系列指标构成的一个评价指标体系，评价百货商场的各个方面的优劣。但消费者真正关心的只是三个方面：商店的环境、商店的服务和商品的价格。这三个方面除了价格外，商店的环境和服务质量，都是客观存在的、抽象的影响因素，都不便于直接测量，只能通过其它具体指标进行间接反映。因子分析就是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。又比如，在研究区域社会经济发展中，描述社会与经济现象的指标很多，过多的指标容易导致分析过程复杂化。一个合适的做法就是从这些关系错综复杂的社会经济指标中提取少数几个主要因子，每一个主要因子都能反映相互依赖的社会经济指标间共同作用，抓住这些主要因素就可以帮助我们对复杂的社会经济发展问题进行深入分析、合理解释和正确评价。n 因子分析的内容非常丰富，常用的因子分析类型是 R型因子分析和 Q型因子分析。 R型的因子分析是对变量作因子分析， Q型因子分析是对样品作因子分析。本章侧重讨论 R型因子分析。 第二节 因子分析模型一 因子分析的数学模型 二 因子载荷阵的统计意义 一、因子分析的数学模型n 无论是 R型或 Q型因子分析，都用公共因子 F代替 X，一般要求 mp， mn，因此，因子分析与主成分分析一样，也是一种降低变量维数的方法。我们下面将看到，因子分析的求解过程同主成分分析类似，也是从一个协方差阵出发的。 n 因子分析与主成分分析有许多相似之处，但这两种模型又存在明显的不同。主成分分析的数学模型本质上是一种线性变换，是将原始坐标变换到变异程度大的方向上去，相当于从空间上转换观看数据的角度，突出数据变异的方向，归纳重要信息。而因子分析从本质上看是从显在变量去 “提练 ”潜在因子的过程。正因为因子分析是一个提练潜在因子的过程，因子的个数 m取多大是要通过一定规则确定的，并且因子的形式也不是唯一确定的。一般说来，作为 “自变量 ”的因子 F1， F2， ， Fm是不可直接观测的。这里我们应该注意几个问题。 二、因子载荷阵的统计意义n 前面的因子分析模型中出现了一个概念叫因子载荷矩阵，实际上因子载荷矩阵存在明显的统计意义。为了对因子分析过程和计算结果做详细的解释，我们对因子载荷矩阵的统计意义加以说明。 第三节 因子载荷矩阵求解一 因子载