多目标规划与数学模型

多目标规划南京邮电大学理学院杨振华引例 1： 投资问题某公司在一段时间内有 a(亿元 )的资金可用于建厂投资。若可供选择的项目记为 1， 2，.， m。 而且一旦对第 i个项目投资，就用去 ai亿元；而这段时间内可得收益 ci亿元。问如何如确定最佳的投资方案？ 对第 i个项目投资不对第 i个项目投资约束条件为：最佳的投资方案 投资最少、收益最大投资最少：收益最大双目标规划引例 2： 生产问题某工厂生产两种产品，产品 A每单位利润为10元，而产品 B每单位利润为 8元，产品 A每单位需 3小时装配时间而 B为 2小时，每周总装配有效时间为 120小时。工厂允许加班，但加班生产出来的产品利润减去 1元，根据最近的合同，厂商每周最少得向用户提供两种产品各 30单位。要求 :1) 必须遵守合同； 2)尽可能少加班； 3)利润最大 . 问怎样安排生产？约束条件为：加班最少 利润最大每周正常时间生产得 A产品数量 x1每周正常时间生产得 B产品数量 x3每周加班时间生产得 A产品数量 x2每周加班时间生产得 B产品数量 x4多目标规划的模型一般形式 :求目标函数的最大值或约束条件为大于等于零的情况 ， 都可通过取其相反数化为上述一般形式定义 1 把满足问题中约束条件的解 X Rn称为可行解 (或可行点 )，所有可行点的集合称为可行集 (或可行域 )记为 D即 :原问题可简记为定义 2 x*是 绝对最优解 fj(X)fj(x*), 任意X D, j=1 px*是 有效解 不存在 X D , 使得 fj(X)fj(x*), j=1 px*是弱 有效解 不存在 X D , 使得 fj(X)0, 即此目标值再差也是可接受的 !多目标规划的基本解法3. 功效系数法 对不同类型的目标函数统一量纲，分别得到一个功效系数函数，然后求所有功效系数乘积的最优解。线性型 功效系数法，还有其它类型的方法，如指数型方法多目标规划的基本解法4. 评价函数法 这是一种最常见的方法，就是用一个评价函数来集中反映各不同目标的重要性等因素，并极小化此评价函数，得到问题的最优解。常见的以下几种方法：原理：距理想点最近的点作为最优解 !4.1 理想点法：定义评价函数：求解非线性规划问题：4.2 平方和加权法：定义评价函数 ：求解非线性规划问题：先设定单目标规划的下界 (想象中的最好值 ),即其中 j为 事先 给 定的一 组权 系数， 满 足：原理：平方和加权法体现了通常的 “自报公议 ”原则 那些强调各自目标重要者预先给出一个尽可能好的估计，然后 “公议 ”给出一组表明各目标性的权系数，最后求解非线性规划给出解答。虚拟目标法多目标规划的基本解法4.3 线性加权法：再定义评价函数：求解非线性规划问题：事先按目 标 函数 f1(X)、 .、 fp(X)的重要程度 给出一 组权 系数 j， 满 足：多目标规划的基本解法4.4 “min-max”法 (极小极大法 )定义评价函数：求解非线性规划问题：原理： 在最不利的情况下找出一个最有利的策略 ! 悲观主义决策多目标规划的基本解法4.4 “min-max”法 (极小极大法 )(转化 )此非线性规划问题目标函数不可微，不能直接用基于梯度的算法：但可方便转化为一个简单非线性规划问题 ！则该规划问题可等价为：该技巧非常有用，将一个不可微的规划问题转化为可微的约束规划！多目标规划的基本解法4.5 乘除法考虑两个目标的规划问题：求解非线性规划问题 :则定义评价函数：最优解点如 f1(x)为投资总金额，而 f2(x)为投资后的总收益，则最优结果应是单位投资的总收入最大！多目标规划的基本解法理论性结果以上所有方法所得到的最优解都是 有效解 (线性加权法当有权系数为零时得到的是弱有效解 )!1998A投资的收益和风险市 场 上有 n种 资产 Si(i=1,2 n)可以 选择 , 现 用数 额为 M的相当大的 资 金作一个 时 期的投资 . 这 n种 资产 在 这 一 时 期内 购买 Si的平均收益率 为 ri, 风险损 失率 为 qi, 投 资 越分散 , 总 的风险 越小 , 总 体 风险 可用投 资 的 Si中最大的一个 风险 来度量 . 购买 Si时 要付交易 费 (费 率 pi), 当 购买额 不超 过给 定 值 ui时 , 交易 费 按 购买 ui计 算 . 另外 , 假定同期 银 行存款利率是 r0, 既无交易 费 又无 风险 (r0=5% ). 已知 n=4时 相关数据如下：投资的收益和风险 (1998A)Si ri(%) qi (%) pi (%) ui (元 )S1 28 2.5 1 103S2 21 1.5 2 198S3 23 5.5 4.5 52S4 25 2.6 6.5 401)试给设计 一种投 资组 合方案 , 即用 给 定的 资 金 M, 有 选择 地 购买 若干种 资产 或存银 行生息 , 使 净 收益尽可能大 , 使 总 体 风险尽可能小 .2)使就一般情况对以上问题进行讨论，并利用下表数据进行计算 :Si ri qi pi ui S1 9.6 42 2.1 181S2 18.5 54 3.2 407S3 49.4 60 6.0 428S4 23.9 42 1.5 549S5 8.1 1.2 7.6 270S6 14 39 3.4 397S7 40.7 68 5.6 178S8 31.2 33.4 3.1 220S9 33.6 53.3 2.7 457S10 36.8 40 2.9 248S11 11.8 31 5.1 195S12 9 5.5 5.7 320S13 35 46 2.7 267S14 9.4 5.3 4.5 328S15 15 23 7.6 131基本假设 ：1. 投资数额 M相当大 , 为了便于计算，假设M=1；2. 投资越分散，总的风险越小；3. 总体风险用投资