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第 四 节 三重积 分的 计算一 问题的提出二 直角坐标系下三重积分的计算三 柱面 坐标系下三重积分的计算四 球面坐标系下三重积分的计算一、问题的提出例 非均匀物体的质量直角坐标系下将三重积分化为三次积分二、直角坐标系下三重积分的计算1. 先 “ 一 ” 后 “ 二 ” （截线法） l得类似可以得解：解：2. 先 “ 二 ” 后 “ 一 ” （ 截面法）截面法的一般步骤 ：(1) 把积分区域 向某轴（例如 轴）投影，得投影区间 ；(2) 对 用垂直 轴且平行 平面的平面去截 得截面 (3) 计算二重积分(4) 其结果为 的函数 ； (4) 最后 计 算 单积 分即得三重 积 分 值 。 解：原式规定：注意 ：柱面坐标系就是平面 极坐标系加上 轴。三、柱面坐标系下三重积分的计算1. 柱面坐标系柱面坐标与直角坐标的关系为：柱面坐标系的三坐标面是圆柱面；半平面；平 面。2. 柱面坐标系下三重积分的计算利用柱面坐标系的三组坐标面来分割积分区域，如图 ，体积元素为解： 球面与抛物面交线为把闭区域 投影到 面上解： 所围成的立体如图， 所以四、球面坐标系下三重积分的计算1. 球面坐标系规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球 面；半平面。球面坐标与直角坐标的关系为如图，2. 球面坐标系下三重积分的计算球面坐标系中的体积元素为解：例 7 计算 其中 是与 所围成的立体 。解： 解法一：采用球面坐标解法二：采用柱面坐标 补充 利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意 . 积分区域关于坐
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