2018年中考数学试卷精选汇编动态问题

动态问题 一、选择题 1（ 2018 湖北省孝感 3分）如图，在 ABC中， B=90 ， AB=3cm， BC=6cm，动点 P从点A开始沿 AB 向点 B以 1cm/s 的速度移动，动点 Q从点 B开始沿 BC向点 C以 2cm/s的速度移动，若 P， Q 两点分别从 A， B两点同时出发， P点到达 B点运动停止，则 PBQ的面积 S随出发时间 t的函数关系图象大致是（ ） A B C D 【分析】 根据题意表示出 PBQ的面积 S与 t的关系式，进而得出答案 【解答】 解：由题意可得： PB=3 t， BQ=2t， 则 PBQ的 面积 S= PBBQ= （ 3 t） 2t= t2+3t， 故 PBQ的面积 S随出发时间 t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下 故选： C 【点评】 此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键 2 （ 2018山东潍坊 3分）如图，菱形 ABCD的边长是 4厘米， B=60 ，动点 P以 1厘米秒的速度自 A点出发沿 AB方向运动至 B点停止，动点 Q以 2厘米 /秒的速度自 B点出发沿折线 BCD运动至 D点停止若点 P、 Q 同时出发运动了 t秒，记 BPQ 的面积为 S厘米 2，下面图象中能表示 S与 t之间的函 数关系的是（ ） A B C D 【分析】 应根据 0 t 2和 2 t 4两种情况进行讨论把 t当作已知数值，就可以求出 S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解 【解答】 解：当 0 t 2时， S=2t （ 4 t） = t2+4 t； 当 2 t 4时， S=4 （ 4 t） = 2 t+8 ； 只有选项 D的图形符合 故选： D 【点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键 3（ 2018湖北黄 石 3分）如图，在 Rt PMN中， P=90 ， PM=PN， MN=6cm，矩形 ABCD中AB=2cm， BC=10cm，点 C和点 M重合，点 B、 C（ M）、 N在同一直线上，令 Rt PMN不动，矩形ABCD沿 MN 所在直线以每秒 1cm的速度向右移动，至点 C与点 N重合为止，设移动 x秒后，矩形ABCD与 PMN重叠部分的面积为 y，则 y与 x的大致图象是（ ） A B C D 【分析】 在 Rt PMN中解题，要充分运用好垂直关系和 45度角，因为此题也是点的移动问题，可知矩形 ABCD 以每秒 1cm的速度由开始向右移动到停止，和 Rt PMN 重叠 部分的形状可分为下列三种情况，（ 1） 0 x 2；（ 2） 2 x 4；（ 3） 4 x 6；根据重叠图形确定面积的求法，作出判断即可 【解答】 解： P=90 ， PM=PN， PMN= PNM=45 ， 由题意得： CM=x， 分三种情况： 当 0 x 2时，如图 1，边 CD与 PM交于点 E， PMN=45 ， MEC是等腰直角三角形， 此时矩形 ABCD 与 PMN重叠部分是 EMC， y=S EMC= CMCE= ； 故选项 B和 D不正确； 如图 2，当 D在边 PN上时，过 P作 PF MN于 F，交 AD于 G， N=45 ， CD=2， CN=CD=2， CM=6 2=4， 即此时 x=4， 当 2 x 4时，如图 3，矩形 ABCD与 PMN 重叠部分是四边形 EMCD， 过 E作 EF MN于 F， EF=MF=2， ED=CF=x 2， y=S 梯形 EMCD= CD（ DE+CM） = =2x 2； 当 4 x 6时，如图 4，矩形 ABCD 与 PMN重叠部分是五边形 EMCGF，过 E作 EH MN于 H， EH=MH=2， DE=CH=x 2， MN=6， CM=x， CG=CN=6 x， DF=DG=2（ 6 x） =x 4， y=S 梯形 EMCD S FDG= = 2 （ x 2+x） = +10x 18， 故选项 A正确； 故选： A 【点评】 此题是动点问题的函数图象，有难度，主要考查等腰直角三角形的性质和矩形的性质的应用、动点运动问题的路程表示，注意运用数形结合和分类讨论思想的应用 4.（ 2018河南 3分 ）如图 1，点 F 从菱形 ABCD的顶点 A出发，沿 A D B以 1cm/s 的速度匀速运到点 B.图 2是点 F运动时 , FBC 的面积 y(cm2)随时间 x(s)变化的关系图象，则 a的值为（ ） A.5B.2 C.25D.255. （ 2018广东 3分 ） 如图，点 P是菱形 ABCD 边上的一动点，它从点 A出发沿在 ABCD路径匀速运动到点 D，设 PAD 的面积为 y， P点的运动时间为 x，则 y关于 x的函数图象大致为（ ） A B C D 【分析】 设菱形的高为 h，即是一个定值，再分点 P 在 AB上，在 BC上和在 CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可 【解答】 解：分三种情况： 当 P在 AB边上时，如图 1， 设菱形的高为 h， y= APh， AP随 x的增大而增大， h不变， y随 x的增大而增大， 故选项 C不正确； 当 P在边 BC 上时，如图 2， y= ADh， AD和 h都不变， 在这个过程中， y不变， 故选项 A不正确； 当 P在边 CD 上时，如图 3， y= PDh， PD随 x的增大而减小， h不变， y随 x的增大而减小， P点从点 A 出发沿在 ABCD 路 径匀速运动到点 D， P在三条线段上运动的时间相同， 故选项 D不正确； 故选： B 【点评】 本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点 P的位置的不同，分三段求出 PAD的面积的表达式是解题的关键 6. （ 2018广西桂林 3分 ） 如图，在平面直角坐标系中， M、 N、 C三点的坐标分别为 （ ， 1），（ 3， 1），（ 3， 0），点 A为线段 MN上的一个动点，连接 AC，过点 A作 交 y轴于点 B，当点 A从 M运动到 N时，点 B随之运动，设点 B的坐标为（ 0， b），则 b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】分析：分别求出当点 A与点 M、 N重合时直线 AC的解析式，由 AB AC 可得直线 AB的解析式，从而求出 b的值，最终可确定 b的取值范围 . 详解：当点 A与点 N重合时， MN AB， MN是直线 AB的一部分， N（ 3， 1） 此时 b=1； 当点 A与点 M重合时，设直线 AC 的解析式为 y=k1x+m, 由于 AC 经过点 A、 C两点，故可得 ，解得： k1= , 设直线 AB的解析式为 y=k2x+b, AB AC, , k2= 故直线 AB的解析式为 y=x+b, 把（ ， 1）代入 y=x+b得， b=-. b的取值范围是 . 故选 A. 点睛：此题考查一次函数基本性质，待定系数求解析式，简单的几何关系 . 二 .填空题 1.（ 2018 浙江 舟山 4分） 如图，在矩形 ABCD中， AB=4， AD=2，点 E在 CD上， DE=1，点 F是边 AB上一动点，以 EF为斜边作 Rt EFP若点 P在矩形 ABCD 的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则 AF 的值是 _。 【考点】 矩形的性质，圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质 【分析】学习了圆周角的推论： 直径所对的圆周角是直角，可提供解题思路，不妨以 EF为直径作圆，以边界值去讨论该圆与矩形 ABCD 交点的个数 【解答】解：以 EF为斜边的直角三角形的直角顶点 P是以 EF为直径的圆与矩形边的交点，取 EF的中点 O， （ 1）如图 1，当圆 O与 AD 相切于点 G时，连结 OG，此时点 G与点 P重合，只有一个点，此时AF=OG=DE=1； （ 2）如图 2，当圆 O与 BC 相切于点 G，连结 OG， EG， FG，此时有三个点 P可以构成 Rt EFP， OG是圆 O的切线， OG BC OG/AB/CD OE=OF， BG=CG， OG= （ BF+CE）， 设 AF=x，则 BF=4-x， OG= (4-x+4-1)= (7-x)， 则 EF=2OG=7-x， EG2=EC2+CG2=9+1=10,FG2=BG2+BF2=1+(4-x)2 在 Rt EFG 中，由勾股定理得 EF2=EG2+FG2 ， 得（ 7-x） 2=10+1+（ 4-x） 2,解得 x= 所以当 1 AF 时，以 EF 为直径的圆与矩形 ABCD 的交点（除了点 E 和 F）只有两个； （ 3）因为点 F是边 AB上一动点： 当点 F与 A点重合时， AF=0，此时 Rt EFP 正好有两个符合题意； 当 点 F与 B点重合时， AF=4，此时 Rt EFP 正好有两个符合题意； 故答案为 0或 1 AF 或 4 【点评】 正确添加辅助线是解决本题分关键 . 三 解答题 1. （ 2018山 西 13分） 综 合 与 探 究如图，抛物 线211 433y x x 与 x 轴交 于 A , B 两点（ 点 A 在 点 B 的 左 侧 ） ， 与 y 轴交于 点 C ，连 接 AC , BC .点 P 是 第 四 象 限 内 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ， 点 P 的横坐标 为 m ， 过 点 P 作 PM x 轴 ， 垂 足 为 点 M ， PM 交 BC 于 点 Q ，过 点 P 作 PE AC 交 x 轴于 点 E ， 交 BC 于 点 F . （ 1） 求 A ， B ， C 三点的坐标 ； （ 2） 试探究在 点 P 的 运 动 的 过 程 中 ， 是 否 存 在 这 样 的 点 Q ， 使 得 以 A ， C ， Q 为 顶 点 的 三 角 形 是 等腰三角 形 .若 存 在 ， 请 直 接 写出此时 点 Q 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说明理由 ； （ 3） 请用 含 m 的 代 数 式 表 示 线 段 QF 的长，并求 出 m 为 何 值 时 QF 有最大 值 . 【考点 】 几 何 与 二 次 函 数 综 合 【解析 】 （ 1） 解 ： 由 y 0 ， 得2114=033xx解 得 x1 3 ， x2 4 . 点 A ， B 的坐标分别 为 A(-3,0)， B（ 4， 0） 由 x 0 ， 得 y 4 . 点 C 的 坐 标 为 C（ 0， -4） . （ 3） 过 点 F 作 FG PQ 于 点 G . 则 FG x 轴 . 由 B（ 4， 0） ， C（ 0， -4） ， 得 O B C为 等 腰 直 角 三 角 形 . OBC QFG 45 . GQ FG 22FQ . PE AC , 1 2 . FG x 轴 ， 2 3 . 1 3 . FGP AOC 90 , FGP AOC . 2（ 2018山东滨州 14分 ）如图 ，在平面直角坐标系中，圆心为 P（ x， y）的动圆经过点 A（ 1， 2）且与 x轴相切于点 B （ 1）当 x=2 时，求 P的半径； （ 2）求 y关于 x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图 中画出此函数的图象； （ 3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（ 2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到 点 A 的距离等于到 x轴 的距离的所有点的集合 （ 4）当 P的半径为 1时，若 P与以上（ 2）中所得函数图象相交于点 C、 D，其中交点 D（ m，n）在点 C的右侧，请利用图 ，求 cos APD的大小 【分析】 （ 1）由题 意得到 AP=PB，求出 y的值，即为圆 P的半径； （ 2）利用两点间的距离公式，根据 AP=PB，确定出 y关于 x的函数解析式，画出函数图象即可； （ 3）类比圆的定义描述此函数定义即可； （ 4）画出相应图形，求出 m的值，进而确定出所求角的余弦值即可 【解答】 解：（ 1）由 x=2，得到 P（ 2， y）， 连接 AP， PB， 圆 P与 x轴相切， PB x轴，即 PB=y， 由 AP=PB，得到 =y， 解得： y= ， 则圆 P的半径为 ； （ 2）同（ 1），由 AP=PB，得到（ x 1） 2+（ y 2） 2=y2， 整理得： y= （ x 1） 2+1，即图象为开口向上的抛物线， 画出函数图象，如图 所示； （ 3）给（ 2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点 A 的距离等于到 x轴的距离的所有点的集合； 故答案为：点 A； x轴； （ 4）连接 CD，连接 AP并延长，交 x轴于点 F， 设 PE=a，则有 EF=a+1， ED= ， D坐标为（ 1+ ， a+1）， 代入抛物线解析式得： a+1= （ 1 a2） +1， 解得： a= 2+ 或 a= 2 （舍去），即 PE= 2+ ， 在 Rt PED 中， PE= 2， PD=1， 则 cos APD= = 2 【 点评】 此题属于圆的综合题，涉及的知识有：两点间的距离公式，二次函数的图象与性质，圆的性质，勾股定理，弄清题意是解本题的关键 3（ 2018江苏扬州 12分 ）如图 1，四边形 OABC是矩形，点 A的坐标为（ 3， 0），点 C的坐标为（ 0， 6），点 P从点 O出发，沿 OA以每秒 1个单位长度的速度向点 A出发，同时点 Q从点 A出发，沿 AB以每秒 2个单位长度的速度向点 B运动，当点 P与点 A重合时运动停止设运动时间为t秒 （ 1）当 t=2 时，线段 PQ的中点坐标为 （ ， 2） ； （ 2）当 CBQ与 PAQ相似时，求 t的值； （ 3）当 t=1 时，抛物线 y=x2+bx+c经过 P， Q两点，与 y轴交于点 M，抛物线的顶点为 K，如图 2所示，问该抛物线上是否存在点 D，使 MQD= MKQ？若存在，求出所有满足条件的 D的坐标；若不存在，说明理由 【分析】 （ 1）先根据时间 t=2，和速度可得动点 P和 Q的路程 OP和 AQ的长，再根据中点坐标公式可得结论； （ 2）根据矩形的性质得： B= PAQ=90 ，所以当 CBQ与 PAQ相似时，存在两种情况： 当 PAQ QBC 时， ， 当 PAQ CBQ时， ，分别列方程可得 t的值； （ 3）根据 t=1 求抛物线的解析式，根据 Q（ 3， 2）， M（ 0， 2），可得 MQ x轴， KM=KQ， KEMQ，画出符合条件的点 D，证明 KEQ QMH，列比例式可得点 D的坐标，同理根据对称可得另一个点 D 【解答】 解：（ 1）如图 1， 点 A的坐标为（ 3， 0）， OA=3， 当 t=2时， OP=t=2， AQ=2t=4， P（ 2， 0）， Q（ 3， 4）， 线段 PQ的中点坐标为：（ ， ），即（ ， 2）； 故答案为：（ ， 2）； （ 2）如图 1， 当点 P与点 A重合时运动停止，且 PAQ可以构成三角形， 0 t 3， 四边形 OABC是矩形， B= PAQ=90 当 CBQ 与 PAQ 相似时，存在两种情况： 当 PAQ QBC 时， ， ， 4t2 15t+9=0， （ t 3）（ t ） =0， t1=3（舍）， t2= ， 当 PAQ CBQ 时， ， ， t2 9t+9=0， t= ， 7， x= 不符合题意，舍去， 综上所述，当 CBQ 与 PAQ 相似时， t的值是 或 ； （ 3）当 t=1 时， P（ 1， 0）， Q（ 3， 2）， 把 P（ 1， 0）， Q（ 3， 2）代入抛物线 y=x2+bx+c中得： ，解得： ， 抛物线： y=x2 3x+2=（ x ） 2 ， 顶点 k（ ， ）， Q（ 3， 2）， M（ 0， 2）， MQ x轴， 作抛物线对称轴，交 MQ于 E， KM=KQ， KE MQ， MKE= QKE= MKQ， 如图 2， MQD= MKQ= QKE， 设 DQ交 y轴于 H， HMQ= QEK=90 ， KEQ QMH， ， ， MH=2， H（ 0， 4）， 易得 HQ的解析式为： y= x+4， 则 ， x2 3x+2= x+4， 解得： x1=3（舍）， x2= ， D（ ， ）； 同理，在 M的下方， y轴上存在点 H，如图 3，使 HQM= MKQ= QKE， 由对称性得： H（ 0， 0）， 易得 OQ的解析式： y= x， 则 ， x2 3x+2= x， 解得： x1=3（舍）， x2= ， D（ ， ）； 综上所述，点 D的坐标为： D（ ， ）或（ ， ） 【点评】 本题是二次函数与三角形相似的综合问题，主要考查相似三角形的判定和性质的综合应用，三角形和四边形的面积，二次函数的最值问题的应用，函数的交点等知识，本题比较复杂，注意用 t表示出线段长度，再利用相似即可找到线段之间的关系，代入可解决问 题 4（ 2018山东菏泽 10分 ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx 5交 y轴于点 A，交 x轴于点 B（ 5， 0）和点 C（ 1， 0），过点 A作 AD x轴交抛物线于点 D （ 1）求此抛物线的表达式； （ 2）点 E是抛物线上一点，且点 E关于 x轴的对称点在直线 AD上，求 EAD 的面积； （ 3）若点 P是直线 AB下方的抛物线上一动点，当点 P运动到某一位置时， ABP的面积最大，求出此时点 P的坐标和 ABP 的最大面积 【考点】 HF：二次函数综合题 菁优网 【分析】 （ 1）根据题意可以求得 a、 b的值，从而可以求得抛物线的表达式； （ 2）根据题意可以求得 AD的长和点 E到 AD的距离，从而可以求得 EAD的面积； （ 3）根据题意可以求得直线 AB 的函数解析式，再根据题意可以求得 ABP 的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题 【解答】 解：（ 1） 抛物线 y=ax2+bx 5交 y轴于点 A，交 x轴于点 B（ 5， 0）和点 C（ 1，0）， ，得 ， 此抛物线的表达式是 y=x2+4x 5； （ 2） 抛物线 y=x2+4x 5交 y轴于点 A， 点 A的坐标为（ 0， 5）， AD x轴，点 E是抛物线上一点，且点 E关于 x轴的对称点在直线 AD 上， 点 E的纵坐标是 5，点 E到 AD的距离是 10， 当 y= 5时， 5=x2+4x 5，得 x=0 或 x= 4， 点 D的坐标为（ 4， 5）， AD=4， EAD的面积是： =20； （ 3）设点 P的坐标为（ p， p2+4p 5），如右图所示， 设过点 A（ 0， 5），点 B（ 5， 0）的直线 AB的函数解析式为 y=mx+n， ，得 ， 即直线 AB的函数解析式为 y= x 5， 当 x=p时， y= p 5， OB=5， ABP的面积是： S= = ， 点 P是直线 AB下方的抛物线上一动点， 5 p 0， 当 p= 时， S取得最大值，此时 S= ，点 p的坐标是（ ， ）， 即点 p的坐标是（ ， ）时， ABP 的面积最大，此时 ABP 的面积是 【点评】 本题考查二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答 5 （ 2018江西 9分 ） 在菱形 中， ,点 是射线 上一动点，以 为边向右侧作等边 ，点 的位置随点 的位置变化而变化 . （ 1）如图 1，当点 在菱形 内部或边上时，连接 ， 与 的数量 关系是 ， 与 的位置关系是 ； （ 2）当点 在菱形 外部时， (1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立， 请说明理由 (选择图 2，图 3中的一种情况予以证明或说理 ). (3) 如图 4，当点 在线段 的延长线上时，连接 ，若 , ,求 四边形 的面积 . 图 1 图 2 图 3 图 4HECADECADECADECADBBBBP P P P【解析】 （ 1） BP=CE 理由如下： 连接 AC 菱形 ABCD， ABC=60 ABC 是等边三角形 AB=AC BAC=60 ECADBPAPE 是等边三角形 AP=AE PAE=60 BAP=CAE ABPACE BP=CE CEAD 菱形对角线平分对角 ABPACE CFAD 即 CEAD （ 2） (1)中的结论： BP=CE , CEAD 仍然成立，理由如下： 连接 AC 菱形 ABCD， ABC=60 FECADBP HECADBPABC 和 ACD 都是等边三角形 AB=AC BAD=120 BAP=120 DAP APE 是等边三角形 AP=AE PAE=60 CAE=60 60 DAP=120 DAP BAP=CAE ABPACE BP=CE DCE=30 ADC=60 DCE ADC=90 CHD=90 CEAD (1)中 的结论： BP=CE , CEAD 仍然成立 . (3) 连接 AC交 BD 于点 O , CE, 作 EH AP于H 四边形 ABCD是菱形 AC BD BD平分 ABC ABC=60 ， AB O=30 BO=DO=3 BD=6 由 (2)知 CE AD AD BC CE BC HOECADBP 由 (2)知 BP=CE=8 DP=2 OP=5 APE 是等边 三角形， 四边形 ADPE的面积是 . 6 （ 2018江苏盐城 10分 ） 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 、 两点，且与 轴交于点 . （ 1）求抛物线的表达式； （ 2）如图，用宽为 4个单位长度的直尺垂直于 轴，并沿 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 、 两点（点 在点 的左侧），连接 ，在线段 上方抛物线上有一动点 ，连接 、 .（ ）若点 的横坐标为 ，求 面积的最大值，并求此时点 的坐标； （ ）直尺在平移过程中， 面积是否有最 大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由 . 【答案】 （ 1）解： 抛物线 经过点 、 两点， 解得 抛物线 （