概率论与数理统计龙永红习题答案

1第一章1. (1) )6,.(31)2,(1(2) :当日最低价 :当日最高价|2x12x(3) ,03(4) 12. (1) (3)3. 6,5432,1A,B42C5,31AB,4231AC6,42B4. (5) ABCCABA(8) C(10) B(11) A9. 25.0)()()( ABPAP又 4.0215.0)(ABP )()(ABP15.024.5 )()(ABPB15.02 )()()( BAPBAP5.0110. )()(CBAPBAP而 6.041又 )()(BAP4.0)(又 CBA)()()(BAPP3.014.7)(CBA11. A=“其中恰有 K 件” nNkP11)(3 B=“其中有次品”“一件次品也没有”BnNCP1)(1)(C=“其中至少有两件次品”“只有一件次品，或没有”CnNnNCP11)(1)( 12: A= “男生比女生先到校”24301!306!24)(PAB=“李明比王先到学校”21)(B13. C“至少两人生日同一天”“每个人生各不同”nCP365)1(41)()( 14. A=“第 2 站停车”“不停车”A25)98(1)()(APB=“第 i 和第 J 站至少有一站停车 “第 i 站到 J 站都不停”B)(1)(BP25974 “第 i 站有人下车（停车） ” “第 j 站有人下车”iAjA)(1)(1)( jijiji PAP)(jijiP)(jiji A2525)97)8(1D=“在第 i 站有 3 人下车”（贝努里试验）2325)9()(CDP15.（1）A“前两个邮筒没有信”41)(2（2）B“第一个邮筒恰有一封信” 834)(21CP16. A“前 i 次中恰好有取到 k 封信”)!()(baikiibakC17. “第三把钥匙可以开门” “第二把钥匙可以开门”3A2A )()( 3213213213213AP)()() 321AP 89406148950614 725720814 “第三把钥匙才可以开门”3A6172089506)(P C=“最多试 3 把就可以开门”4114)(C6518. 贝努里试验A“其中三次是正面” 1037310)2()(2)( CCP19.A“恰有一红球，一白球，一黑球” 4)(31025A20. !8!)(2CP21. 几何概型A“等待时间不超过 3 分钟” 到达汽车站的时间 X10tx7t103)(SAP22. A“需要等零出码头的概率”第 1 条船到达时刻 第 2 条船到达时刻 x y240),(xy40620),(yxA10xy24)3(1)(SP23. A“第一次取出的是黑球”B “第二次取出的是黑球”（1） 1)()1)( babaAPB（2） 11)( bababaB（3）A“取出两个球，有一个是黑球” B=“两个都是黑球”)2()1(anAB 12)12()( babanPAB24. （1） )(BA1APBP）（ ）（）（ ）（） （2） ）（ ）（）（） （ PB)( 212121 A21B)(2AP7)()(21APB2125. (1) )( ） （ 女 ， 女 ）， （ 男 ， 女 ） （ 女 ， 男男 ， 男A=“已知一个是女孩， ” （ 女 ， 女 ）（ 男 ， 女 ） （ 女 ， 男 ）C“两上都是女孩” （ 女 ， 女 ）31AP） （2）解略 “第 i 个是女孩”21P1） （ Ai26. A=“点数为 4”365)(AP27. A“甲抽难签” B=“乙抽难签” C=“丙抽难签” 104)( )(ABP9602415 )()( ABCPAPBC829304728. A=“试验成功，取到红球” “从第二个盒子中取到红球”0B“从第三个盒子中取到红球”1)()10ABP8)()(10ABP)(1018372059.29. A=“废品” “甲箱废品” “乙箱废品”1B2B（1） )()2AP)()2211 AP05.6.503.（2） 1203.4.)(AP501830. “第二次取球中有 i 个新球” i=0.1,2,3iB“第一次取球中有 j 个新球” j=0,1,2,3jA(1) )() 321202 ABP)()() 22110 ABPP(323A3129)(CPJj3,210J31292)(ABJj,分别对应代入该式中，可得：945.0)(2BP（2） )()()( 2112121 AABP将，代入该式，可得： 14.0)(21BP31、 A“确实患有艾滋病”B“检测结果呈阳性”由题知： 95.0)(BP01.)(ABP01.)(AP )()()(A01.9.5.01.87 C=“高感染群体确实患有艾滋病”01.)(CP)()()( CBPCPB01.95.01432. 解：不能说明“袭击者确为白人的概率”为 0.8设 A“被袭击者正确识别袭击者种族”“错误识别袭击者种族”B“袭击者为白人” “袭击者为非白人”B根据已知条件，有8.0)(AP2.0)(AP10)()ABP()()(ABP2.08.0ABP因 与 未给出，因而不能断定 )()(8.)(33. 解： 21)()(CPBA 41)()(ACPBA两两独立， ,又 8)()(4)( 不相互独立，只是两两独立。CBA,34. 有 独立0)(P)(0)(BPABP, 有 独立 独立1与）（）（）（ AB)(A）（） （）（）（） （ PP） ）（） （ 1）（）（ AB35. 且 且 A，B 互不相容0)(AP0)(P则 A，B 不可能相互独立 因为 但因为 )(0)(P)(B0)(BPAP不 独 立36. 相互独立，证明 亦相互独立C， C，11证： ）（）（） （） 且（）（）（） （ BPABPCBPABCP ）（）（） （） ，（）（） （ C则 ）（）（） （ 1）（）（）（ BAPP1)(）（）（）（ ）（）（ )(BPA同理可证 )(C)()(CPB下证 1()( BACP )()()()()()1 APA CPC)()()(BPB11A)()(C相互独立 CBA,37. 证略，可用数学归纳法38. A“第一道工序出品 ” B“第二道工序出废品 ”C“第三道工序出废品 ” )(1)(CBAPBAP)(8.095.316039. A=“雷达失灵” B=“计算机失灵”12（因为独立） )()(BPAP7.096340. B“击落” A，B，C 分别代表三收炮弹发炮弹击中敌机 i3,21i)()()()1 PPA3.07.07073. 4)()()()2 CBACB3. 189027.)()3AP.1B60)(23AP1027.6189.4.)( B260)()(2BPA)(2286.0194习题二（A）1解：X: 甲投掷一次后的赌本。Y：乙240px 2130p1340,12,)(FxxX 30,12,)(FYxy.解（1） 10101022)(iii iiaixp（） 3121)(101aixpiii ii3.解21 50Xp解14（）X:有放回情形下的抽取次数。P（取到正品） 107CP（取到次品） 3 107)3( 107)3( 10,7i 2X-2 p（）Y:无放回情形下。 7819203 71 903 7 42Yp解 541)()3()3P( XpXpX 2)P(X0(2107)5()2(3)P(11Xp6解（）根据分布函数的性质 1)(2lim1lim1 AxFx(2) 0.39)5.0()8.(.05.(FXP2.8解：依据分布满足的性质进行判断：（） x单调性： 时不满足。x).(2121 在（） ，不满足单调性。0（） ，满足单调性，定义 是可以做分布函数xxxF0,1)(215的.所以， 能做分布函数。21)(xF 解（） F（x）在 x=0,x=1 处连续，所以 X 是连续型。其 他,0)(f（） F（x）在 x=0 处连续，但在 X处间断，所以 X 不是连续型。解：（）求 a,由 211)(2)(00axdeadxefx） ，dxexXPx)()F当 x0， ,xxe2121当 x0, xxex )(00所以 ,21)(Fxe） )1()( FXP )(21211ee)()()(FXp )(21122 2eeeP (2) ）求 a:1)(dxf16 010 10)2(aadxxxd(21104a） xdfXPxF)()()X0,F(X)=0.0X1, 201)xx（1x2, , 12321)(F1 xxddX2,F(x)=1.所以： ，2,120,)(2xxx）,410)(2)1(2XP,492)()2( 2xP(X1) ,1(210. 因 f(x)关于 x=u 对称,)(dxf )()(xuff)(2xuxufu下面证明 ,xxudzyf)(令 z+y =2u y=2u-z xuxuxu dzffdyf )2()2()()(= (由式有 f(2u-z)=f(z)xuxu dzz217又 ，由于式1)()()( dzfzfdzfxuxuy1)()(F11.解（）第题（）： 111 )3(2)3(2iiiiiaEX（）第题：由分布律得：5120)(512.解：ER=1%0.1+2%0.1+6%0.1=3.7%,若投资额为 10 万元，则预期收入为10（1+3.7%）10.37（万元）DR=ER2-(ER)2=15.710-4-(3.7)210-4=2.0110-4ER2=(1%)20.1+(2%)20.1+(3%)20.2+(4%)20.3+(5%)20.2+(6%)20.1=10-5+410-5+1810-5+4810-5+5010-5+3610-5=15.710-413.解：题意不清晰，条件不足，未给出分期期类.解一.设现在拥用 Y，收益率 k%, 假设现在至 1100 时仅一期，则K 10K1010)()1()()FY xkpxkpxxdx 20)0(25510) （ 其 他（,051)()(2xdFfYY其 他， ，015.2xx元4.10735.ln205.1ln20)(105. ydyfEY解二，由于 0x5 题意是否为五期呢？由贴现公式185K%= K%510Y10P(YX)= )10(2)P( xkpxdx 45(05)102 （ 其 他其 他 ,0102.0)1(24)( 22 xxxfY .985.ln4ln40)(125/125. 。dxfEY14.证明：E(X-EX) 2 dxfEXxdxfEXx )()( 22ff )22(2)(EX15.证明：（2.31）2)()(axaxDDXaExaxE22)()(2.32)L (C)=E(X-C)2=E16.连续型。普照物 -Th2.3 证明过程50p令 2)(Exh则 )(.)( )()()( 22)(2 )() )(22 22 xhpdxf dxfhdxfhdxfh x于是有 (*)2)(Ep19将 h(X)=(X-EX) 代入(*)得 （证毕）.22)(DxEXxExp离散型。 )()( )()()(E2)(22 )()(2 22 ixhi xhiixhii xhiiiip xpppi iii于是 同理将 h (x)=(x-EX)2代入得2ii xEp 2)(DXExp17.解：设 P 表示能出厂。P0.7+0.30.80.94q 表示不能出厂。Q=0.30.2=0.06(1)Xb（n，0.94） X:能出厂数P(X=K)= KnKnC)06.(94.(2) P(X=n)= =(0.94)n)0(3)Yb(n,0.06) Y:不能出厂数。P(Y=0)-P(Y=1)=1- n00n11 )94.(6.C)94.(6.n(4)EY=n0.06,DY=n0.060.9418.解 pq Pn210 X gp )1(.()1(E 20200 qnpqnn 其 中 注 意 应 用 ：19.解：已知 XP( )2)(1P( 2 ！ eXpeXEX=DX= =1EX2=(EX)2+DX= 2+)1.(63)(1其 中！ eex20.解：P:等车时间不超过 2min 的概率，X:等车时间20521)()2P(X0dxxf531pq再会 Y：等车时间不超过分钟的人数352.01425)()53(2)()2( 31 CY21.解：设 Y:利润X:理赔保单如：X b(8000,0.01)Y=5008000-40000X由 EX=np=80000.01=80EY=4000000-4000080=80000022.解（）X 0,)(xexfxxxxxx eedeedfF 1)()()()( 000所以： ,1xEX,DX 推导见原习题解。23.证明Xe ( )0,1(xexF)(1)()( sXprsXprsrPrsrsree)1( )()(1rpr （ 24.解：设 X:表示元件寿命，X 0eY:1000h 不损坏的个数，当 Y 为以上时系统寿命超过 1000h， ),3(pbYP:1000h 不损坏的概率。110)10()10( eXpXP, epq21多元件独立工作 3123)()2( pCqPYp31)()()ee3123e25.解：X ),N(2)y(,)(E2 xdxe令y21)(21udey2126.解)6.19()6.19()6.19( xpxpxp05.20n=100Y:误差绝对值大于 19.6 的次数Yb(100,0.05)a=P(Y3)=1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)用泊松分布近似计算： 50.1npa=1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2) 5525150 .8!- eee27.解：设 C:损坏，则由题意： 1.0)2(Xcp4.)(c22219.0)8()250()20(0 Xp576.1.49)()(p所以：P(C)=0.211 90.1+0.57620.01+0.21190.2=0.06931而由贝叶斯定理有： )(240,)240( cpxcXp83.691.5728.解：设数学成绩为：X，XN(70,100),由题意：%)P(a即 95.0)(51aXpp1701.645a=70+101.645=86.45 分29. .20 34.1062Xp . .19Y30.解： 令 Y= X+)()()()() xyFyXpyxpyYPFY 1 fyf xX其 他， ，01byab23即 其 它， ， 01bxyaxb也即 Y 在a +,b +上服从均匀分布。31.解： 令 Y=X2, 其 他,0121)(Xxxf )()()()()()F2Y yFyXpypy xxffFxxxxY 2121f 即：其 他， ，0141y其 他,04)(fYyy212)()(F00xdxfyyyyXY即： 1,)(yyY32.解： 0,)(1xexfexXYax+ )()()()() yFyXpypyF x1 fFyfXyY 其 他其 他 ,01,0)(1 yeey yxYeyF1)()24其 他其 他 ,01,01)()( yeyey33.解： 令 X:直径 其 他01)f(bxabxY:体积 3)24Y（ )()1243141()( 443 abxabdxabdxfgEY baba )24234.解：dxeyXpypyYF yY 201)()()()yxyxede2020)(. ）221yy(所以： 0,1)(2yeyFY所以： ）2)(YYefdy0(y所以：所以：Y 2(2)0y,021)()(yYefyg .35.解 Xe(2)所以： 0,2)(xexfX 0,1)(2xexFX25)1ln(2()1()1()() 22 yXpyepyepyYFXXY lnlnFXX0,011,)ln(2yey0,011),(y0,1,y0,1,)(yyFY 其 他,)(yfY36.解：由已知参考( )知 67p0,)(ln1(xxfX0,0,212)(lnxex当前价格 元。Xdxedxf uX2)(ln001)(E依据 -eg2.3167p2221515ee25925412 ee4)(22eDX295ln2其中0,0,21)(2)(lnxexxf uXln215l226连续复合年收益率 r=lnx-lnx =lnx-ln100 )10()ln(l)1ln()() yR eXpyXpyXpyPrF dxeey2)(l10令)2ln(2)(ln10xey vx2ln)10l(210ln2 ydvy所以：)2ln()(0yyFR)frr注：对数正态分布与对数正态分布的矩，包括中心矩，原点矩等，如 EX，DX 均不作要求属于超纲内容，BlackScholes 期权定价公式一般是作为研究经济现象工具也属于超纲内容，因而本题不作要求。37.证明：)()()()F2yXpypyYPY 显然当 y0 时, ，所以 0X0fYy0 时， 20)()()yY dxy（复合函数求导方法）()( 202fdxfdFfY 所以：0,)(2)(2yfyfY38.解:X 密度函数 f (x), Y=ax+bX, abyXdxfXpybapyY )()()()()F 0a)(1)()()( abyfdyxfdyf XayXYY 27固当 a0 时， )(1)(abyfyfXY当 a0 时，习题三答案1. 证明： 112212 ,FyxFyx21PP由概率的非负性，知上式大于等于零，故得正.0,212yx2. 解：，2x1 jxXP20121/5610/5610/565/5620/5610/563/2815/285/14ixXP13/8 5/8 1. 0|010, 1122 xPxP45683127C1,0,XP212121 xx562,0x 1 xPPP28356143. 解：由概率的性质 12, 43100 kdxyekdxyf又 2gxx xyxX ekekf 331