天津市五区县2016年中考数学二模试卷含答案解析

第 1 页（共 27 页） 2016 年天津市五区县中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1计算（ 3） 3 的结果等于（ ） A 9 B 9 C 27 D 27 2已知 为锐角， ，则 等于（ ） A 30 B 45 C 60 D 75 3晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 4 2015 年 8 月 18 日，第三届中国绿色博览会在天津开吗，坐落在 “新时代 ”板块的天津园面积最大，达 11000 平方米，将 11000 用科学记数法表示应为（ ） A 105 B 104 C 11 103 D 11 104 5下列几何体中，主视图和左视图都是矩形的是（ ） A B C D 6如图，表示 的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（ ） A C 与 D B A 与 B C A 与 C D B 与 C 7用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是（ ） A B C D 8把分式 中的分子、分母的 x、 y 同时扩大 2 倍，那么分式的值（ ） A扩大 2 倍 B缩小 2 倍 C改变原来的 D不改变 第 2 页（共 27 页） 9如图，在 ， 0， 上的高，若点 A 关于 在直线的对称点 E 恰好为 中点，则 B 的度数是（ ） A 60 B 45 C 30 D 75 10已知两点（ （ 函数 y= 的图象上，当 0 时，下列结论正确的是（ ） A 0 B 0 C 0 D 0 11以半径为 1 的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（ ） A不能构成三角形 B这个三角形是等 腰三角形 C这个三角形是直角三角形 D这个三角形是钝角三角形 12若二次函数 y=bx+c（ a 0）的图象上有两点，坐标分别为（ （ x2，其中 0，则下列判断正确的是（ ） A a 0 B a 0 C方程 bx+c=0 必有一根 足 、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13计算（ 5 （ 2 的结果是 14将直线 y= 2x+3 向下平移 4 个单位长度，所得直线的解析式为 15从分别标有数 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3 的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于 2 的概率是 16如图， O 直径，弦 交于点 E，若 ， 3，则 = 第 3 页（共 27 页） 17如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍，如果搭建的正三角形和正六边形共用了 2016 根火柴棍，且正三角形的个数比正六边形的个数多 6 个，能连续搭建正六边形的个数为 个 18如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A， B， C 均在格点上 则 面积为 请利用网格作以 底的等腰 面积等于 3 说明你的作图方法（不要求证明） 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分） 19解不等式组： 请结合题意填空，完成本题的解答 （ ）解不等式 ，得 ； （ ） 解不等式 ，得 ； （ ）把不等式 和 的解集在数轴上表示出来： （ ）原不等式组的解集为 20某校申报 “跳绳特色运动 ”学校一年后，抽样调查了部分学生的 “1 分钟跳绳 ”成绩，并制成了下面的频数分布直方图（每小组含最小值，不含最大值）和扇形图 第 4 页（共 27 页） （ 1）补全频数分布直方图，扇形图中 m= ； （ 2）若把每组中各个数据用这组数据的中间值代替（如 A 组 80 x 100 的中间值是 =90 次），则这次调查的样本平均数是多少？ （ 3）如果 “1 分钟跳绳 ”成绩大于或等于 120 次为优秀，那么该校 2100 名学生中“1 分钟跳绳 ”成绩为优秀的大约有多少人？ 21已知 O 的直径，点 P 是直径 任意一点，过点 P 作弦 足为点 P，过 B 点的直线与线段 延长线交于点 F，且 F= （ 1）如图 1，求证：直线 O 的切线； （ 2）如图 2，当点 P 与点 O 重合时，过点 A 作 O 的切线交线段 延长线于点 E，在其它条件不变的情况下，判断四边形 什么特殊的四边形？证明你的结论 22钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测一日，中国一艘海监船从 A 点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设 N、 M 为该岛的东西两端点）最近距离为 15 海里（即 5 海里），在 在点 A 的东北方向，航行 4 海里后到达 B 点，测得岛屿的东端点 N 在点 B 的北偏东 57方向（其中 N、 M、 C 在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点 间的距离（精确到 里）参考数据： 5 页（共 27 页） 23某市出租车的收费标准是：起步价 10 元（起步价指小于等于 3 千米行程的出租车价），行程在 3 千米到 5 千米（即大于 3 千米小于等于 5 千米）时，超过3 千米的部分按每千米 收费（不足 1 千米按 1 千米计算），当超过 5 千米时，超过 5 千米的部分按每千米 收费（不足 1 千米按 1 千米计算） （ ）若某人乘坐了 2 千米的路程，则他应支付的费用为 元；若乘坐了 4千米的路程，则应支付的费用为 元；若乘坐了 8 千米的路程，则应支付的费用为 元； （ ）若某人乘坐了 x（ x 5 且为整数）千米的路程，则应支付的费用为 元（用含 x 的代数式表示）； （ ）若某人乘车付了 15 元的车费，且他所乘路程的千米数位整数，那么请你算一算他乘了多少千米的路程？ 24如图所示，已知 一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片， O 为坐标原点，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 5， ，在边 选取一点 D，将 折，使点 A 落在 上，记为点 E （ ）求点 E 和点 D 的坐标； （ ）在 x 轴、 y 轴上是 否分别存在点 M、 N，使四边形 周长最小？如果存在，求出点 M、 N 的坐标及四边形 长的最小值；如果不存在，请说明理由 （ ）设点 P 在 x 轴上，以点 O、 E、 P 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点 P 的坐标 第 6 页（共 27 页） 25已知：抛物线 y= x2+ 交 x 轴于点 A， B，（点 A 在点 B 的左侧），交y 轴于点 C，其对称轴为 x=1，抛物线 过点 A，与 x 轴的另一个交点为 E（ 5，0），交 y 轴于点 D（ 0， ） （ 1）求抛物线 函数表达式； （ 2） P 为直线 x=1 上一动点，连接 C 时，求点 P 的坐标； （ 3） M 为抛物线 一动点，过点 M 作直线 y 轴，交抛物线 点 N，求点 M 自点 A 运动至点 E 的过程中，线段 度的最大值 第 7 页（共 27 页） 2016 年天津市五区县中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1计算（ 3） 3 的结果等于（ ） A 9 B 9 C 27 D 27 【考点】 有理数的乘方 【分析】 （ 3） 3 表示 3 个 3 相乘，计算即可求解 【解答】 解：计算（ 3） 3 的结果等于 27 故选： D 2已知 为锐角， ，则 等于（ ） A 30 B 45 C 60 D 75 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 将特殊角的三角函数值代入求解即可 【解答】 解： 为锐角， ， =30 故选 A 3晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】 解： A、是轴对称图形，也是中心对称图形故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形故正确； 第 8 页（共 27 页） C、是轴对称图形，也是中心对称图形故错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形故错误 故选 B 4 2015 年 8 月 18 日，第三届中国绿色博览会在天津开吗，坐落在 “新时代 ”板块的天津园面积最大，达 11000 平方米，将 11000 用科学记数法表示应为（ ） A 105 B 104 C 11 103 D 11 104 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数确定 n 的值 时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， 【解答】 解：将 11000 用科学记数法表示为 104 故选： B 5下列几何体中，主视图和左视图都是矩形的是（ ） A B C D 【考点】 简单几何体的三视图 【分析】 主视图、左视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形依此即可求解 【解答】 解： A、主视图为矩圆形，左视图为圆，故选项错误； B、主视图为三角形，左视图为带圆心的圆，故选项错误； C、主视图为矩形，左视图为矩形，故选项正确； D、主视图为矩形，左视图为圆形，故选项错误 故选： B 6如图，表示 的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（ ） 第 9 页（共 27 页） A C 与 D B A 与 B C A 与 C D B 与 C 【考点】 估算无理数的大小；实数与数轴 【分析】 确定出 7 的范围，利用算术平方根求出 的范围，即可得到结果 【解答】 解： 7 9， 3， 则表示 的点在数轴上表示时，所在 C 和 D 两个字母之间 故选 A 7用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是（ ） A B C D 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【分析】 根据图形翻折变换的性质及角平分线的定义对各选项进行逐一判断 【解答】 解： A当长方形如 A 所示对折时，其重叠部分两角的和中，一个顶点处小于 90，另一顶点处大于 90，故 A 错误； B当如 B 所示折叠时，其重叠部分两角的和小于 90，故 B 错误； C当如 C 所示折叠时，折痕不经过长方形任何一角的顶点，所以不可能是角的平分线，故 C 错误； D当如 D 所示折叠时，两角的和是 90，由折叠的性质可知其折痕必是其角的平分线，故 D 正确 故选： D 8把分式 中的分子、分母的 x、 y 同时扩大 2 倍，那么分式的值（ ） A扩大 2 倍 B缩小 2 倍 C改变原来的 D不改变 【考点】 分式的基本性质 【分析】 根据题目中分子、分母的 x、 y 同时扩 大 2 倍，得到了分子和分母同时第 10 页（共 27 页） 扩大 2 倍，根据分式的基本性质即可判断 【解答】 解：分子、分母的 x、 y 同时扩大 2 倍，即 ，根据分式的基本性质，则分式的值不变 故选 D 9如图，在 ， 0， 上的高，若点 A 关于 在直线的对称点 E 恰好为 中点，则 B 的度数是（ ） A 60 B 45 C 30 D 75 【考点】 直角三角形斜边上的中线；轴对称的性 质 【分析】 根据轴对称的性质可知 A，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质可得 A， B= 据等边三角形的判定和性质可得 0，再根据三角形外角的性质可得 B 的度数，从而求得答案 【解答】 解： 在 ， 0， 上的高，点 A 关于 恰好为 中点， A， E= A， B= 等边三角形， 0， B= 0 故选： C 10已知两点（ （ 函数 y= 的图象上，当 0 时，下列结论正确的是（ ） A 0 B 0 C 0 D 0 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征 第 11 页（共 27 页） 【分析】 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据 0，判断出两点所在的象限，根据该函数在此象限内的增减性即可得出结论 【解答】 解 ： 反比例函数 y= 中， k= 5 0， 此函数图象的两个分支在二、四象限， 0， 两点都在第四象限， 在第四象限内 y 的值随 x 的增大而增大， 0 故选 D 11以半径为 1 的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（ ） A不能构成三角形 B这个三角形是等腰三角形 C这个三角形是直角三角形 D这个三角形是钝角三角形 【考点】 正多边形和圆 【分析】 由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊 内角的多边形，可构造直角三角形解答 【解答】 解：（ 1）因为 ，所以 ； （ 2）因为 ，所以 ； （ 3）因为 ，所以 第 12 页（共 27 页） 因为（ ） 2+（ ） 2=（ ） 2， 所以这个三角形是直角三角形 故选 C 12若二次函数 y=bx+c（ a 0）的图象上有两点，坐标分别为（ （ x2，其中 0，则下列判断正确的是（ ） A a 0 B a 0 C方程 bx+c=0 必有一根 足 考点】 二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 判断出抛物线与 x 轴有一个交点在两个点之间，然后根据二次函数与方程的关系求解即可 【解答】 解： 0， 两个交点在 x 轴的上方一个，下方一个， 抛物线与 x 轴有一个交点在这两个点之间， 方程 bx+c=0 必有一根 足 a 的正负情况以及 一个是正数哪一个是负数无法判断 故选 C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13计算（ 5 （ 2 的结果是 【考点】 同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方 【分析】 先将 作是一个整体，依据同底数幂的除法法则计算，最后依据积的乘方法则计算即可 【解答】 解：原式 =（ 5 2=（ 3= 第 13 页（共 27 页） 故答案为； 14将直线 y= 2x+3 向下平移 4 个单位长度，所得直线的解析式为 y= 2x1 【考点】 一次函数图象与几何变换 【分析】 直接根据 “上加下减 ”的平移规律求解即可 【解答】 解：将直线 y= 2x+3 向下平移 4 个单位长度，所得直线的解析式为 y= 2x+3 4，即 y= 2x 1 故答案为 y= 2x 1 15从分别标有数 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3 的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于 2 的概率是 【考点】 概率公式 【分析】 根据写有数字 3、 2、 1、 0、 1、 2、 3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于 2 的有 1、 0、 1，直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】 解： 写有数字 3、 2、 1、 0、 1、 2、 3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于 2 的有 1、 0、 1、， 任意抽取一张卡 片，所抽卡片上数字的绝对值小于 2 的概率是： 故答案为： 16如图， O 直径，弦 交于点 E，若 ， 3，则 = 【考点】 相似三角形的判定与性质；圆周角定理 【分析】 根据圆周角定理得到 C= A， D= B，则可判断 第 14 页（共 27 页） 出对应边成比例，即可得出结果 【解答】 解： C= A， D= B， = ； 故答案为： 17 如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍，如果搭建的正三角形和正六边形共用了 2016 根火柴棍，且正三角形的个数比正六边形的个数多 6 个，能连续搭建正六边形的个数为 286 个 【考点】 规律型：图形的变化类 【分析】 设连续搭建正三角形的个数为 x 个，连续搭建正六边形的根数为 y 个，根据 “所用火柴棍数 =三角形个数 2+1+正六边形个数 5+1”联立正三角形的个数比正六边形的个数多 6 个得出关于 x、 y 的二元一次方程组，解方程组即可得出 结论 【解答】 解：设连续搭建正三角形的个数为 x 个，连续搭建正六边形的根数为 由题意得 ， 解得： 故答案为： 286 18如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A， B， C 均在格点上 则 面积为 请利用网格作以 底的等腰 面积等于 3 说明你的作图方法（不要求证明） 延长 到格点 E， 作 格点 F， 格线交于点 M，连结 左平移 2 格得到 格线于 N，同样把 右第 15 页（共 27 页） 平移 3 格得到 格线于 L，连结 点，然后连结 所作 【考点】 作图 复杂作图 【分析】 先利用勾股定理计算出 后根据三角形面积公式求解； 由于 中点为 K，则点 D 过点 K 且平行于 直线上，延长到 ，再平移 到 距离为 2 ，由于 面积等于 3，则 ，所以把 等份，利用平行线分线段成比例定理作 ： 3 得到 N 点和 L 点，然后连结 可得到点 D 【解答】 解： = ， 所以 S = ； 故答案为 ； 如图，延长 到格点 E，作 格点 F， 格线交于点 M，连结 左平移 2 格得到 格线于 N，同样把 右平移 3 格得到 格线于 L，连结 点，然后连结 所作 故答案为 ；延长 到格点 E，作 格点 F， 格线交于点 M，连结 左平移 2 格得到 格线于 N，同样把 右平移 3 格得到 格线于 L，连结 点，然后连结 第 16 页（共 27 页） 所作 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分） 19解不等式组： 请结合题意填空，完成本题的解答 （ ）解不等式 ，得 x 3 ； （ ）解不等式 ，得 x 2 ； （ ）把不等式 和 的解集在数轴上表示出来： （ ）原不等式组的解集为 3 x 2 【考点】 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 【分析】 根据不等式基本性质分别求出不等式 、 的解集，由大于向右、小于向左，包括该数用实心点、不包括该数用空心点在数轴上表示不等式的解集，结合解集找到其公共部分即可得不等式组的解集 【解答】 解： ， （ ）解不等式 得： x 3， （ ）解不等式 得： x 2， （ ）把不等式 和 的解集在数轴上表示出来如图： （ ）原不等式组的解集为： 3 x 2， 故答案为：（ ） x 3；（ ） x 2；（ ） 3 x 2 20某校申报 “跳绳特色运动 ”学校一年后，抽样调查了部分学生的 “1 分钟跳绳 ”成绩，并制成了下面的频数分布直方图（每小组含最小值，不含最大值）和扇形图 第 17 页（共 27 页） （ 1）补全频数分布直方图，扇形图中 m= 84 ； （ 2）若把每组中各个数据用这组数据的中间值代替（如 A 组 80 x 100 的中间值是 =90 次），则这次调查的样本平均数是多少？ （ 3）如果 “1 分钟跳绳 ”成绩大于或等于 120 次为优秀，那么该校 2100 名学生中“1 分钟跳绳 ”成绩为优秀的大约有多少人？ 【考点】 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数 【分析】 （ 1）首先由第二小组有 10 人，占 20%，可求得总人数，再根据各小组频数之和等于数据总数求得第四小组的人数，作出统计图，先求出第 一小组所占百分比，再乘以 360即可求出对应扇形圆心角的度数； （ 2）根据加权平均数的计算公式求出平均数即可； （ 3）求出样本中成绩优秀的人数所占的百分比，用样本估计总体即可 【解答】 解：（ 1）由直方图和扇形图可知， A 组人数是 6 人，占 10%， 则总人数： 6 10%=60， m= 360=84， D 组人数为： 60 6 14 19 5=16，； （ 2）平均数是： =130； （ 3）绩为优秀的大约 有： 2100 =1400 人 第 18 页（共 27 页） 21已知 O 的直径，点 P 是直径 任意一点，过点 P 作弦 足为点 P，过 B 点的直线与线段 延长线交于点 F，且 F= （ 1）如图 1，求证：直线 O 的切线； （ 2）如图 2，当点 P 与点 O 重合时，过点 A 作 O 的切线交线段 延长线于点 E，在其它条件不变的情况下，判断四边形 什么特殊的四边形？证明你的结论 【考点】 切线的判定与性质 【分析】 （ 1）欲证明直线 O 的切线，只要证明 0 （ 2）结论四边形 平行四边形，只要证明 可 【解答】 （ 1）证明：如图 1 中， A= C， F= 0， 直线 O 的切线 （ 2）结论：四边形 平行四边形 证明：如图 2 中，连接 第 19 页（共 27 页） B， D， 四边形 平行四边形 即 又 O 于点 A， 同理 四边形 平行四边形 22钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测一日，中国一艘海监船从 A 点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设 N、 M 为该岛的东西两端点）最近距离为 15 海里（即 5 海里），在 在点 A 的东北方向，航行 4 海里后到达 B 点，测得岛屿的东端点 N 在点 B 的北偏东 57方向（其中 N、 M、 C 在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点 间的距离（精确到 里）参考数据： 第 20 页（共 27 页） 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 在直角 5 度，则 等腰直角三角形，即可求得长，则 以求得，然后在直角 ，利用三角函数求得 据N 可求解 【解答】 解：在 ， =1， M=15， C 5 4=11 在 ， = = 15=里 答：钓鱼岛东西两端点 间的距离约为 里 23某市出租车的收费标准是：起步价 10 元（起步价指小于等于 3 千米行程的出租车价），行程在 3 千米到 5 千米（即大于 3 千米小 于等于 5 千米）时，超过3 千米的部分按每千米 收费（不足 1 千米按 1 千米计算），当超过 5 千米时，超过 5 千米的部分按每千米 收费（不足 1 千米按 1 千米计算） （ ）若某人乘坐了 2 千米的路程，则他应支付的费用为 10 元；若乘坐了 4千米的路程，则应支付的费用为 ；若乘坐了 8 千米的路程，则应支付的费用为 ； （ ）若某人乘坐了 x（ x 5 且为整数）千米的路程，则应支付的费用为 x 5） 元（用含 x 的代数式表示）； （ ）若某人乘车付了 15 元的车费， 且他所乘路程的千米数位整数，那么请你算一算他乘了多少千米的路程？ 第 21 页（共 27 页） 【考点】 一元一次方程的应用 【分析】 （ ）分别利用乘车收费标准求出不同路程的乘车费用； （ ）利用某人乘坐了 x（ x 5 且为整数）千米的路程，进而利用乘车收费标准得出答案； （ ）首先求出此人乘车的路程超过 5 千米，进而利用（ ）所求得出等式求出答案 【解答】 解：（ ）由题意可得：某人乘坐了 2 千米的路程，他应支付的费用为：10 元； 乘坐了 4 千米的路程，应支付的费用为： 10+（ 4 3） ）， 乘坐了 8 千米的路程，应支付的费用 为： 10+2 ）， 故答案为： 10； （ ）由题意可得： 10+2+x 5） = 故答案为： x 5） （ ）若走 5 千米，则应付车费： 10+2=）， 15， 此人乘车的路程超过 5 千米， 因此，由（ ）得 5， 解得： x=6 答：此 人乘车的路程为 6 千米 24如图所示，已知 一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片， O 为坐标原点，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 5， ，在边 选取一点 D，将 折，使点 A 落在 上，记为点 E （ ）求点 E 和点 D 的坐标； （ ）在 x 轴、 y 轴上是否分别存在点 M、 N，使四边形 周长最小？如果存在，求出点 M、 N 的坐标及四边形 长的最小值；如果不存在，请说明理由 第 22 页（共 27 页） （ ）设点 P 在 x 轴上，以点 O、 E、 P 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点 P 的 坐标 【考点】 四边形综合题 【分析】 （ ）由矩形的性质和勾股定理计算得到点 D， E 的坐标； （ ）做出点 D 关于 x 轴的对称点 D，点 E 关于 y 轴的对称点 E，连接点 DE交 x， y 轴于 M， N 求找到了周长最小的位置； （ ）分四种情况分别根据各自的特点，进行简单的计算即可 【解答】 解：（ ）依题意可 A=15， E 在 ， 2， E（ 12， 9）， 又 C ， 在 ， 即 ： 9 2 D=5， D（ 15， 5） （ ）存在 如图， 第 23 页（共 27 页） 作点 D 关于 x 轴的对称点 D（ 15， 5）， E 关于 y 轴的对称点 E（ 12， 9）， 连接点 DE，分别交 x 轴、 y 轴于点 M、 N，则点 M、 N 即为所求， 设直线 DE的解析式为 y=kx+b，将 D（ 15， 5）、 E（ 12， 9）代入得 k= ，b= 直线 DE的解析式为 y= x+ 令 x=0，得 y= 令 y=0，得 x= M（ ， 0）、 N（ 0， ） ， 在 中， DE=5 四边形 长最小值 =N+D=5+5 （ ）当在 x 轴正半轴上， E=15 时，点 A 重合， 15， 0）， 当在 x 轴负半轴上时， E=15 时， 15， 0）， 如图， 当 ，作 E=