一道例题复习的四步曲

一道例题复习的四步曲数学学习过程是一个不断地探索和思考的过程。在数学教学中，是单纯地给学生现成的知识，还是为学生创设一定的问题情景，使学生有更多的机会去探索和思考，以便发挥其潜在能力，这是数学教学改革的核心问题，一般地说，数学教科书中的例题是学习的范例，学生要通过例题的学习，了解例题所代表的一类知识的规律和理解方法。但这并不是说，只要学生学会了书本上的例题就可以自然而然地解决与之相似的问题。要能举一反三，就还需要学生有一个深入思考的过程，甚至要经过若干次错误与不完善的思考，这样才能达到一定的熟练程度。这更需要学生把书本上的知识内化为自己的知识。而教材又是重要的教学资源，我从开发教学资源的效益考虑，开放教材例题，使例题更富有课改气息，更富有挑战性，也激活了教材。 一、复习巩固：现在就（人民教育出版社出版的八年级上册数学 ）第 131 页探究进行剖析：如图 14.28（1） ，要在燃气管道 L 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气。泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？思路分析：若 A、B 两点在直线 a 的异侧，同学们能很自然地想到连结 AB，交点即为所求作的点。但因为本题中 A、B 两点位于直线 a 的同侧，如何将之转化为异侧呢？易联想到全等三角形之中的“翻折”“轴对称” 。若作出其中任意一点A，A（或 B）关于直线 a 的对称点 A（或 B） ，交直线 a 于点 M，则有 MA=MA（MB=MB） ，故依次转化就可解答此题。作法：如图 2：（1）作 A 点关于直线 a 的对称点 A；（2）连 AB，交直线 a 于 M 点。则 M点就是所求作的点。证明：如图 3：在直线 a 上任取一点 N，连结AN、BN、AN、AM。因为 A、A两点关于直线 a 对称，所以AM=AM，AN=AN。在ABN 中，BN+ANAB，所以 AN+ BNAM+BM。即 AM+BM 最小。点评：对于这样的极值问题，学生虽已接触，但难度较大，主要在两个方面。一是遇到要找出某条线段（或线段的和）最短，无从下手，再就是证明中要另选一点，学生想不到，不会用。教学时老师要注意解决好这两个难点问题。二、旁敲侧击：如图 1 在平面直角坐标系中，已知两点A（1，2） ，B（3，4） ，P 为 x 轴上一点，且点 P 到A、B 两点的距离和最短，你能求出点 P 的坐标吗？思路分析：因为点 P 到 A、B 两点的距离和最短，根据例题可知 P 点在经过 A 点的对称点 A和点 B 的直线上，并且是直线与 X 轴相交的交点，怎样求点 P 的坐标，就转化成一次函数的内容去解决。结合例题把问题进行了转化。解法：因为点 A（1、2）关于 X 轴对称点的坐标为 A（1，-2） ，设过 A、B 的解析式为 y=kx+b，解之得y=3x-5则直线 y=3x-5 与 x 轴的交点坐标为（，0） 。点评:此题除了与例题有关外,还与点关于坐标轴对称点的坐标的特点和一次函数的内容有关。只有通过前后知识的结合，才能顺利完成这道题，所以考查学生综合运用知识的能力。三、例题拓展：如图 1 所示，河的同侧有 A、B 两个村庄，要把 A 处的产品运往 B 处，并规定要走 a 千米的河岸路，要使路线最短，问河边码头应建在何处？指点迷律：如图 2 所示，设码头分别为M、N，则从 A 到 B 的路线为 AMNB，不妨假设先走河岸路，沿河岸方向将 A 平移 A，使 A A=a，作 B 关于河岸 L 的对称点 B，连接 AB与岸 L交于点 N，再将 AN 平移回 AM，则 AMNB 的长为满足条件的最短路线。显然，沿 L 平移 B 到 B，使B B=a，类似地可得建码头的另一种方案。解：如图 3 所示。作法：1。过点 A 作AEL，在 AE 上截取 A A=a；2。作点 B 关于 L的对称点 B，连接 AB，交 L 于点 N；3。过A 点作 AMAB，交 L 于点 M。则点 M、N 即为所求。探究交流：本题涉及了两种变换，即平移变换和轴对称变换，其实质是相等的边或角之间的转化，本题运用了一种探究问题的方法，先假设图形已作出，探究出解题思路后，再去解题。四、例题应用：某同学打台球，想通过击主球，使主球 B 撞击桌边 MN 后返回击中彩球 A，请在图上标明，使主球 B 撞在 MN 上，哪一点才能达到目的？思路分析：设主球撞击后与 MN 交于 P 点，为使反弹后击中 A 球，必有APM=BPN，为此，只要作 B 关于 MN 的对称点 B，连接 A B与 MN 交点即 P 点。作法：作主球 B 关于桌边 MN 的对称点 B，连接 A B交 MN 于点 P，点 P 即为所求作的点。点评：本题是实际问题，但如何把实际问题转化为几何问题是解决这个问题的关建，这就考查如何运用例题的能力。例题的作用不单是知识点的示范应用,有大量潜在的数学功能需要开发,挖掘这些潜在功能的过程,正是学生获得知识和技能的关键。通过提出问题和解决问题,扩大解题的“武器库”,进行这方面的诱导和培养,可以激发学生的学习兴趣, 培养和提高学生的探索能力和创新精神。数学学习过程是一个不断地探索和思考的过程。在数学教学中，是单纯地给学生现成的知识，还是为学生创设一定的问题情景，使学生有更多的机会去探索和思考，以便发挥其潜在能力，这是数学教学改革的核心问题，一般地说，数学教科书中的例题是学习的范例，学生要通过例题的学习，了解例题所代表的一类知识的规律和理解方法。但这并不是说，只要学生学会了书本上的例题就可以自然而然地解决与之相似的问题。要能举一反三，就还需要学生有一个深入思考的过程，甚至要经过若干次错误与不完善的思考，这样才能达到一定的熟练程度。这更需要学生把书本上的知识内化为自己的知识。而教材又是重要的教学资源，我从开发教学资源的效益考虑，开放教材例题，使例题更富有课改气息，更富有挑战性，也激活了教材。 一、复习巩固：现在就（人民教育出版社出版的八年级上册数学 ）第 131 页探究进行剖析：如图 14.28（1） ，要在燃气管道 L 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气。泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？思路分析：若 A、B 两点在直线 a 的异侧，同学们能很自然地想到连结 AB，交点即为所求作的点。但因为本题中 A、B 两点位于直线 a 的同侧，如何将之转化为异侧呢？易联想到全等三角形之中的“翻折”“轴对称” 。若作出其中任意一点A，A（或 B）关于直线 a 的对称点 A（或 B） ，交直线 a 于点 M，则有 MA=MA（MB=MB） ，故依次转化就可解答此题。作法：如图 2：（1）作 A 点关于直线 a 的对称点 A；（2）连 AB，交直线 a 于 M 点。则 M点就是所求作的点。证明：如图 3：在直线 a 上任取一点 N，连结AN、BN、AN、AM。因为 A、A两点关于直线 a 对称，所以AM=AM，AN=AN。在ABN 中，BN+ANAB，所以 AN+ BNAM+BM。即 AM+BM 最小。点评：对于这样的极值问题，学生虽已接触，但难度较大，主要在两个方面。一是遇到要找出某条线段（或线段的和）最短，无从下手，再就是证明中要另选一点，学生想不到，不会用。教学时老师要注意解决好这两个难点问题。二、旁敲侧击：如图 1 在平面直角坐标系中，已知两点A（1，2） ，B（3，4） ，P 为 x 轴上一点，且点 P 到A、B 两点的距离和最短，你能求出点 P 的坐标吗？思路分析：因为点 P 到 A、B 两点的距离和最短，根据例题可知 P 点在经过 A 点的对称点 A和点 B 的直线上，并且是直线与 X 轴相交的交点，怎样求点 P 的坐标，就转化成一次函数的内容去解决。结合例题把问题进行了转化。解法：因为点 A（1、2）关于 X 轴对称点的坐标为 A（1，-2） ，设过 A、B 的解析式为 y=kx+b，解之得y=3x-5则直线 y=3x-5 与 x 轴的交点坐标为（，0） 。点评:此题除了与例题有关外,还与点关于坐标轴对称点的坐标的特点和一次函数的内容有关。只有通过前后知识的结合，才能顺利完成这道题，所以考查学生综合运用知识的能力。三、例题拓展：如图 1 所示，河的同侧有 A、B 两个村庄，要把 A 处的产品运往 B 处，并规定要走 a 千米的河岸路，要使路线最短，问河边码头应建在何处？指点迷律：如图 2 所示，设码头分别为M、N，则从 A 到 B 的路线为 AMNB，不妨假设先走河岸路，沿河岸方向将 A 平移 A，使 A A=a，作 B 关于河岸 L 的对称点 B，连接 AB与岸 L交于点 N，再将 AN 平移回 AM，则 AMNB 的长为满足条件的最短路线。显然，沿 L 平移 B 到 B，使B B=a，类似地可得建码头的另一种方案。解：如图 3 所示。作法：1。过点 A 作AEL，在 AE 上截取 A A=a；2。作点 B 关于 L的对称点 B，连接 AB，交 L 于点 N；3。过A 点作 AMAB，交 L 于点 M。则点 M、N 即为所求。探究交流：本题涉及了两种变换，即平移变换和轴对称变换，其实质是相等的边或角之间的转化，本题运用了一种探究问题的方法，先假设图形已作出，探究出解题思路后，再去解题。四、例题应用：某同学打台球，想通过击主球，使主球 B 撞击桌边 MN 后返回击中彩球 A，请在图上标明，使主球 B 撞在 MN 上，哪一点才能达到目的？思路分析：设主球撞击后与 MN 交于 P 点，为使反弹后击中 A 球，必有APM=BPN，为此，只要作 B 关于 MN 的对称点 B，连接 A B与 MN 交点即 P 点。作法：作主球 B 关于桌边 MN 的对称点 B，连接 A B交 MN 于点 P，点 P 即为所求作的点。点评：本题是实际问题，但如何把实际问题转化为几何问题是解决这个问题的关建，这就考查如何运用例题的能力。例题的作用不单是知识点的示范应用,有大量潜在的数学功能需要开发,挖掘这些潜在功能的过程,正是学生获得知识和技能的关键。通过提出问题和解决问题,扩大解题的“武器库”,进行这方面的诱导和培养,可以激发学生的学习兴趣, 培养和提高学生的探索能力和创新精神。数学学习过程是一个不断地探索和思考的过程。在数学教学中，是单纯地给学生现成的知识，还是为学生创设一定的问题情景，使学生有更多的机会去探索和思考，以便发挥其潜在能力，这是数学教学改革的核心问题，一般地说，数学教科书中的例题是学习的范例，学生要通过例题的学习，了解例题所代表的一类知识的规律和理解方法。但这并不是说，只要学生学会了书本上的例题就可以自然而然地解决与之相似的问题。要能举一反三，就还需要学生有一个深入思考的过程，甚至要经过若干次错误与不完善的思考，这样才能达到一定的熟练程度。这更需要学生把书本上的知识内化为自己的知识。而教材又是重要的教学资源，我从开发教学资源的效益考虑，开放教材例题，使例题更富有课改气息，更富有挑战性，也激活了教材。 一、复习巩固：现在就（人民教育出版社出版的八年级上册数学 ）第 131 页探究进行剖析：如图 14.28（1） ，要在燃气管道 L 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气。泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？思路分析：若 A、B 两点在直线 a 的异侧，同学们能很自然地想到连结 AB，交点即为所求作的点。但因为本题中 A、B 两点位于直线 a 的同侧，如何将之转化为异侧呢？易联想到全等三角形之中的“翻折”“轴对称” 。若作出其中任意一点A，A（或 B）关于直线 a 的对称点 A（或 B） ，交直线 a 于点 M，则有 MA=MA（MB=MB） ，故依次转化就可解答此题。作法：如图 2：（1）作 A 点关于直线 a 的对称点 A；（2）连 AB，交直线 a 于 M 点。则 M点就是所求作的点。证明：如图 3：在直线 a 上任取一点 N，连结AN、BN、AN、AM。因为 A、A两点关于直线 a 对称，所以AM=AM，AN=AN。在ABN 中，BN+ANAB，所以 AN+ BNAM+BM。即 AM+BM 最小。点评：对于这样的极值问题，学生虽已接触，但难度较大，主要在两个方面。一是遇到要找出某条线段（或线段的和）最短，无从下手，再就是证明中要另选一点，学生想不到，不会用。教学时老师要注意解决好这两个难点问题。二、旁敲侧击：如图 1 在平面直角坐标系中，已知两点A（1，2） ，B（3，4） ，P 为 x 轴上一点，且点 P 到A、B 两点的距离和最短，你能求出点 P 的坐标吗？思路分析：因为点 P 到 A、B 两点的距离和最短，根据例题可知 P 点在经过 A 点的对称点 A和点 B 的直线上，并且是直线与 X 轴相交的交点，怎样求点 P 的坐标，就转化成一次函数的内容去解决。结合例题把问题进行了转化。解法：因为点 A（1、2）关于 X 轴对称点的坐标为 A（1，-2） ，设过 A、B 的解析式为 y=kx+b，解之得y=3x-5则直线 y=3x-5 与 x 轴的交点坐标为（，0） 。点评:此题除了与例题有关外,还与点关于坐标轴对称点的坐标的特点和一次函数的内容有关。只有通过前后知识的结合，才能顺利完成这道题，所以考查学生综合运用知识的能力。三、例题拓展：如图 1 所示，河的同侧有 A、B 两个村庄，要把 A 处的产品运往 B 处，并规定要走 a 千米的河岸路，要使路线最短，问河边码头应建在何处？指点迷律：如图 2 所示，设码头分别为M、N，则从 A 到 B 的路线为 AMNB，不妨假设先走河岸路，沿河岸方向将 A 平移 A，使 A A=a，作 B 关于河岸 L 的对称点 B，连接 AB与岸 L交于点 N，再将 AN 平移回 AM，则 AMNB