3.2.1　古典概型(2) 学案（人教a版必修三）

3.2.1 古典概型( 二)【明目标、知重点】1进一步熟悉用列举法写出随机事件所包含的基本事件及个数；2能从集合的角度理解古典概型的概率计算公式；3能应用古典概型计算公式求复杂事件的概率【填要点、记疑点】1古典概型的适用条件(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等2古典概型的解题步骤(1)求出总的基本事件数；(2)求出事件 A 所包含的基本事件数，然后利用公式P(A) .A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数【探要点、究所然】探究点一 与顺序有关的古典概型思考 1 在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从 A、B、C、D 四个选项中选出所有正确答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？答 这是因为猜对的概率更小，由概率公式可知，分子上的数还是 1，因正确答案是唯一的，而分母上的数即基本事件的总数增多了，有(A)，(B)，(C)，(D)，(A，B)，(A，C) ，(A ， D)，(B，C)，(B，D)，(C，D) ，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)，(A，B，C，D)共 15 个，所以所求概率为 .11514例 1 同时掷两个骰子，计算：(1)一共有多少种不同的结果？(2)其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种？(3)向上的点数之和是 5 的概率是多少？解 (1)掷一个骰子的结果有 6 种，我们把两个骰子标上记号 1,2 以便区分，由于 1 号骰子的结果都可以与 2 号骰子的任意一个结果配对，我 们用一个 “有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果(如表) ，其中第一个数表示 1 号骰子的结果，第二个数表示 2 号骰子的结果(可由列表法得到)2 号骰子1 号骰子 1 2 3 4 5 61 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)由表中可知同时掷两个骰子的结果共有 36 种(2)在上面的结果中，向上的点数之和为 5 的结果有 4 种，分别为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)(3)由于所有 36 种结果是等可能的，其中向上点数之和为 5 的结果(记为事件 A)有 4 种，因此，由古典概型的概率计算公式可得 P(A) .A所 包 含 的 基 本 事 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数 436 19思考 2 为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么情况？若用古典概型公式，所求的概率是多少？ 答 如果不标上记号，类似于(1,2)和(2,1)的结果将没有区别，这时，所有可能的结果将是(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,4)(4,5)(4,6)(5,5)(5,6)(6,6)共有 21 种，和是 5 的结果有 2 个，它们是(1,4)(2,3)，所求的概率为 P(A) .A所 包 含 的 基 本 事 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数 221思考 3 在例 1 中所求的概率和思考 2 中所求的概率相同吗？哪种求法不符合古典概型？为什么？答 求出的概率不相同；思考 2 中的求法不符合古典概型；因为两个不同的骰子所抛掷出来的点构造的基本事件不是等可能事件. 反思与感悟 古典概型问题包含的 题型较多，但都必 须紧扣古典概型的定义，进而用公式进行计算列举法是求解古典概型 问题的常用方法，借助于图表等有时更实用有效跟踪训练 1 假设储蓄卡的密码由 4 个数字组成，每个数字可以是 0,1，9 十个数字中的任意一个假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他在自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？解 这个人随机试一个密码，相当做 1 次随机试验，试验的基本事件( 所有可能的结果)共有 10 000 种由于是假 设的随机的试密码，相当于试验的每一个结果是等可能的所以 P(“能取到 钱”) .“能 取 到 钱 ”所 包 含 的 基 本 事 件 的 个 数10 000 110 000探究点二 与顺序无关的古典概型例 2 现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 A1、A 2、A 3 通晓日语，B 1、B 2、B 3 通晓俄语，C1、C 2 通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组(1)求 A1 被选中的概率；(2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本事 件空间( A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)有 18 个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用 M 表示“A 1 恰被选中”这 一事件，则M(A 1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)事件 M 有 6 个基本事件组成，因而 P(M) .618 13(2)用 N 表示“B 1、C1 不全被选中”这一事件， 则其对立事件 表示“B 1、C1 全被选中”N这一事件，由于 (A 1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，事件 有 3 个基本事件组N N成，所以 P( ) ，由对立事件的概率公式得N318 16P(N)1P( )1 .N16 56反思与感悟 在应用古典概型概率计算公式求概率时，有些事件用文字书写较麻烦，我们常用一些字母或数字来表示事件，为解题带来方便跟踪训练 2 一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只黑球，从中一次摸出2 只球(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的 2 只球都是白球的概率是多少？解 (1)分别记白球为 1、2、3 号，黑球 为 4、5 号，从中摸出 2 只球，有如下基本事件(摸到 1、2 号球用(1,2)表示) ：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)因此，共有 10 个基本事件(2)上述 10 个基本事件发生的可能性相同，且只有 3 个基本事件是摸到两只白球(记为事件 A)，即(1,2)、(1,3)、(2,3) ，故 P(A) .310故摸出 2 只球都是白球的概率为 .310例 3 有 A、B、C、D 四位贵宾，应分别坐在 a、b、c、d 四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时，(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰好有 1 位坐在自己的席位上的概率解 将 A、B、C、D 四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如上图所示，本题中的等可能基本事件共有 24 个(1)设事件 A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上” ，则事件 A 只包含 1 个基本事件，所以 P(A) .124(2)设事件 B 为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上” ，则事件 B 包含 9 个基本事件，所以 P(B) .924 38(3)设事件 C 为“这四个人恰有 1 位坐在自己席位上” ，则事件 C 包含 8 个基本事件，所以 P(C) .824 13反思与感悟 当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多 时，我 们可借助树状图法直观地将其表示出来， 这是进行列举的常用方法树状图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况跟踪训练 3 先后抛掷两枚大小相同的骰子(1)求点数之和出现 7 点的概率；(2)求出现两个 4 点的概率；(3)求点数之和能被 3 整除的概率解 基本事件的总数共 36 种(1)记“点数之和出现 7 点”为事件 A，事件 A 包含的基本事件共 6 个：(6,1) ，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)故 P(A) .636 16(2)记“出现两个 4 点”为事件 B，从图中可以看出，事件 B 包含的基本事件只有 1 个，即(4,4)故 P(B) .136(3)记“点数之和能被 3 整除”为事件 C，则事件 C 包含的基本事件共 12 个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)故 P(C) .1236 13【当堂测、查疑缺】1下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位：台) 的茎叶图，则数据落在区间22,30)内的概率为 ( )A.0.2 B0.4 C0.5 D0.6答案 B解析 10 个数据落在区间22,30)内的数据有 22,22,27,29 共 4 个，因此，所求的 频率为0.4.410故选 B.2从甲、乙、丙三人中任选 2 人作代表，则甲被选中的概率为 ( )A. B. C. D112 13 23答案 C解析 从甲、乙、丙三人中任选 2 人作为代表，基本事件有甲，乙，甲，丙，乙，丙，共三个，而甲被选中的事件包括两个基本事件，故甲被 选中的概率 P .233从 1,2,3,4,5 这 5 个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是_答案 310解析 基本事件有(1,2)，(1,3)， (1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 个，而两数都是奇数的有(1,3)， (1,5)，(3,5)故所求概率 P .3104同时掷两枚骰子，求向上的点数之和恰为 6 这一事件的概率点数和为多少时，概率最大？并求出此概率解 掷两枚骰子得到点数和的情况如下表所示.第二枚骰子向上的点数点数之和1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 11第一枚骰子向上的点数6 7 8 9 10 11 12由上表可知，同时掷两枚骰子，共有 36 种情况，点数之和为 6