第14章　一次函数教案

紫荆 学校 2011-2012学年七年 级下期数学教学案 第 14章 一次函数第 14 章 一次函数编写教师:卢科劲 总第 课时14.1 变量与函数(1)教学目标运用丰富的实例,使学生在具体情境中领悟函数概念的意义,了解常量与变量的含义.能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义.通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力.引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心.教学重点与难点重点：函数概念的形成过程.难点：正确理解函数的概念.教学设计提出问题:1.汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶.行驶里程为 s 千米,行驶时间为 t 小时.先填写下面的表,再试着用含 t 的式子表示 s：t(小时) 1 2 3 4 5s(千米)2.已知每张电影票的售价为 10 元.如果早场售出 150 张,日场售出 205 张,晚场售出310 张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出 x 张票,票房收人为 y 元,怎样用含 x 的式子表示 y?3.要画一个面积为 10cm2的圆,圆的半径应取多少?画面积为 20cm2的圆呢?怎样用含圆面积 S 的式子表示圆半径 r?注:(1)让学生充分发表意见,然后教师进行点评.(2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景,让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验.动手实验1.在一根弹簧秤上悬挂重物,改变并记录重物的质量,- 2 -观察并记录弹簧长度的变化,填入下表：悬挂重物的质量m(kg)弹簧长度l(cm)如果弹簧原长 10cm,每 1kg 重物使弹簧伸长 0.5cm,怎样用重物质量 m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度 l(cm)?2.用 10dm 长的绳子围成矩形.试改变矩形的长,观察矩形的面积怎样变化,记录不同的矩形的长的值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示).设矩形的长为 xdm,面积为 Sdm2,怎样用含 x 的式子表示 S?注:分组进行实验活动,然后各组选派代表汇报.通过动手实验,学生的学习积极性被充分调动起来,进一步深刻体会了变量间的关系,学会了运用表格形式来表示实验信息.探究新知(一)变量与常量的概念1.在学生动手实验并充分发表自己意见的基础上,师生共同归纳：上面的问题和实验都反映了不同事物的变化过程.其中有些量(时间 t、里程 s、售出票数 x、票房收入 y 等)的值是按照某种规律变化的.在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称之为变量.也有些量是始终不变的,如上面问题中的速度 60(千米/时)、票价 10(元)等,我们称之为常量.2.请具体指出上面这些问题和实验中,哪些量是变量,哪些量是常量.3.举出一些变化的实例,指出其中的变量和常量.注:分组活动.先独立思考,然后组内交流并作记录,最后各组选派代表汇报.培养学生主动参与、合作交流并能用数学的眼光看待世界的意识,提高观察、分析、概括和抽象等的能力.(二)函数的概念1.在前面的每个问题和实验中,是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系?师生分析得出：上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系.当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有惟一确定的值.2.分组讨论教科书 P.7 “观察”中的两个问题.注:使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象.3.一般来说,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 与 y,并且对于 x 的每一个确定的- 3 -值,y 都有惟一确定的值与其对应,那么,我们就说 x 是自变量,y 是 x 的函数.如果当 x=a时,y=b,那么,b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值.例如在问题 1 中,时间 t 是自变量,里程 s 是 t 的函数.t=1 时,其函数值 s 为 60,t=2 时,其函数值 s 为 120.同样,在心电图中,时间 x 是自变量,心脏电流 y 是 x 的函数；在人口统计表中,年份 x 是自变量,人口数 y 是 x 的函数.当 x=1999 时,函数值y=12.52.巩固新知下列各题中分别有几个变量?你能将其中的某个变量看成是另一变量的函数吗?1.右图是北京某日温度变化图2.如图,已知菱形ABCD 的对角线 AC 长为4,BD 的长在变化,设 BD的长为 x,则菱形的面积为 y= 4x213.国内平信邮资(外埠,100 克内)简表：信件质量 m/克 O0)的图象,可以看出曲线从左向右下降,即当 x 由小变大时, x6y= 随之减小.x6(2) 归纳用描点法画函数图象的一般步骤.描点法画函数图象的一般步骤如下：第一步：列表；(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值)第二步：描点；(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点)第三步：连线.(按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑的曲线连接起来)讨论交流:教科书 P.15 “思考”中的两个问题.巩固新知1.画出函数 y=2x-1 的图象.判断：点 A(-2.5,-4)、点 B(1,3)、点 C(2.5,4)是否在函数 y=2x-1 的图象上.2.画出函数 y=x2 的图象.从图象中观察,当 x0 时呢?注:理解用图象法表示函数关系.巩固函数图象的画法.总结归纳以问题的形式要求学生思考、交流：1.作函数图象的三个步骤分别是什么?- 13 -2.如何从图象中了解函数的变化情况?注:加深对函数图象画法的印象.布置作业1.必做题：教科书 P.19 第 6 题.2.选做题：教科书 P.20 第 10 题.3.备选题：(1)画出函数 y=3x 的图象.(2)在同一直角坐标系中画出函数 y=-x 与 y=-x+6 的图象；观察这两个图象的位置关系如何.(3)在同一直角坐标系中画出函数 y=2x+6 与 y=-x+6 的图象；观察这两个图象的位置关系如何.教学反思:14.1 变量与函数(5)教学目标运用丰富的实例,帮助学生全面理解函数的三种表示方法.通过观察、作图、交流、归纳等数学实践活动,使学生加深对函数三种表示方法的认识,提高把实际问题转化为数学问题的能力.让学生通过实际操作,体会函数的三种表示方法在实际生活中的应用价值,以激发学生对数学的学习兴趣.教学重点与难点重点：函数的三种表示方法及其应用.难点：函数的三种表示方法的应用.教学准备木板一块、玩具小车一辆、三角尺、CAI 课件.教学设计提出问题- 14 -实验演示：倾斜木板,将小车置于木板顶端,观察小车下滑过程.小车沿斜坡下滑,下滑速度与其下滑时间的关系如上图所示.1.填写下表：t(秒) 1 2 3V(米/秒)2.写出 V 与 t 之间的关系式.注:通过实验演示,创设问题情境,使学生从中发现数学,建立模型,引起思考,激发兴趣.营造轻松愉悦的学习氛围,自然导入新课.探究新知1.通过学习,我们已经知道可以用列表格、写式子和画讨论：从前面的例子来看,你认为这三种表示方法各有什么优点?注:分组活动.先独立思考,然后组内交流并作记录,最后各组选派代表汇报.2.注意：表示函数时,要根据具体情况选择适当的方法.图象的方法来表示函数.这三种表示函数的方法分别被称为列表法、解析式法和图象法.为了全面地认识问题,有时需要几种方法同时运用.讲解教科书 P.17 例 4.问题 1：观察记录表中的 6 组数值,你认为这两个变量之间有什么关系?问题 2：请你写出水位高度 y(米)随时间 t(时)变化的函数解析式.问题 3：请你画出这个函数的图象.问题 4：请你预测一下,再过 2 小时,水位高度将达到多少米?注:给学生提供充分的时间与空间,让其进行自主探索和与同伴交流,经历数学活动的过程.学生的探索可能具有盲目性,精心设计“问题串”可帮助解决这个问题.但它不能代替学生的探索,而是为学生的探索提供指导.一切要从有利于学生的发展出发.巩固新知教科书 P.18 练习第 1、2 题注:加深对函数三种表示方法的理解.- 15 -解决问题某电视机厂要印制一批产品宣传资料.甲厂提出：每份资料收 1 元印制费,所有资料另收 1500 元的制版费；乙厂提出：每份资料收 2.5 元印制费,不收制版费.1.分别写出两厂的收费 y(元)与印制数量 x(份)之间的关系式.2.在同一直角坐标系内作出它们的图象.3.根据图象回答以下问题：(1)印制 800 份宣传资料,选择哪家印刷厂比较合算?(2)电视机厂拟拿出 3000 元用于印制宣传资料,选择哪家印刷厂宣传资料能多印一些?注:感受所学知识在实际中的用途,培养学生应用数学的意识.总结归纳教师强调,本节课主要学习了函数的三种表示方法：列表法、解析式法和图象法以及各自的优点.特别提醒：函数的不同表示方法之间是可以转化的.注:引导学生归纳总结所学知识,使之对函数的表示方法有比较全面的认识.布置作业1.必做题：教科书 P.20 第 11 题. 2.选做题：教科书 P.20 第 12 题.3.备选题：(1)某辆汽车油箱中原有汽油 100 升,汽车每行驶 50 千米耗油 9 升.完成下表：汽车行驶路线 x/千米 O 50 100 150 200 300油箱剩余油量 y/升写出 x 与 y 之间的关系式.(2)作出函数 y=3-2x 的图象,根据图象回答以下问题：y 值随 x 值的增大而_图象与 x 轴的交点坐标是_,与 y 轴的交点坐标是_.当 x_时,y0.(3)为研究某地的高度 h(千米)与温度 t()之间的关系,某天研究人员在该地的不同高度处同时进行了若干次实验,测得的数据如下表：h(千米) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3t() 25 22 19 16 13 10 7- 16 -在直角坐标系内,作出各组有序数对(h,t)所对应的点.这些点是否在一条直线上?写出 h 与 t 之间的一个关系式.估计此时 3.5 千米高度处的温度.教学反思:- 17 -14.2 一次函数14.2.1 正比例函数教学目标通过对不同背景下函数模型(关系式)的比较,接受正比例函数的概念.在用描点法画正比例函数图象的过程中发现正比例函数的性质.利用发现的性质简便地画出正比例函数的图象.初步体验研究函数的一般思路与方法.教学重点与难点重点:正比例函数的概念、图象与性质.难点：体验研究函数的一般思路与方法教学准备教师准备：作图工具、多媒体课件.学生准备：作图工具、方格子纸若干张.教学设计概念的引出1.出示教科书 P.22 的问题.先出示问题背景,再逐一提出问题、.注:问题的解决可由一位学生回答,其他学生补充进行.说明：以上我们用函数 y=200x 对燕鸥的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.注:此问题源于真实背景,难度又不大,在使全体学生进入学习状态的同时,也进一步体会到函数是反映现实世界的一种数学模型.2.此类模型在生活中广泛存在.出示教科书 P.23 的问题：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点?注:在变化的背景中寻找不变之处,经历对一类对象共同本质特征的抽象过程,促进概念的形成.通过讨论、归纳形成共识,给出正比例函数的概念.一般地,形如 y=kx(k 是常数,kO)的函数,叫做正比例函数,其中 k 叫做比例系数.注:这里不补充正反例的比较来进行概念的辨析,这部分内容放入下一节.- 18 -上述问题中各正比例函数的比例系数分别是什么?注:认识的扩大.我们知道,函数图象可以直观、清晰地表示函数关系.正比例函数的解析式具有共同的结构,那么它们的图象是否也有某种必然的共同之处呢？1.画出下列正比例函数的图象：(1)y=2x (2)y=-2x学生通过列表、描点、连线画出图象,使用课前准备好的方格子纸(或由教师统一发下)可以节约时间提高效率.注:自然激发探究冲动,感受研究函数的思考方式.利用已学过的描点法画出正比例函数的图象,既巩固旧知识,更为发现规律后简便画法的产生埋下伏笔.2.比较上面两个函数的图象的相同点与不同点,你发现它们具有怎样的规律了吗?注:让学生充分发表意见,鼓励百家争鸣、各抒己见,教师暂时不做评判,对于争论最好的办法是让学生自己想办法验证解决.学生经历活动操作、观察比较、分析思考、讨论交流的过程,并在这样一个过程中树立信心、获取知识、体验学习的方法.引导学生思考：这种规律对其他正比例函数适用吗?具有一般规律吗?3.适时引导学生继续尝试：练习：在同一个坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较：(1)y= x 21(2)y=- x21注:(1)这里无须就 k=O 时又如何展开讨论,若有学生提及,可鼓励在课外思考.(2)量的积累可以进一步增强信心,明确经验,有助于对各种意见的统一认识的全面定型.4.达成共识：一般地,正比例函数 y=kx(k0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线 y=kx.- 19 -当 k0 时,直线 y=kx 经过第三、一象限,从左向右上升,即随着 x 的增大 y 也增大；当 k1 C.m0 时,向上平移；当 b0 时,y 随 x 的增大而增大；当 k0 时,y 随 x 的增大而减小.回顾与反思在本节课中,我们经历了怎样的过程?有怎样的收获?1.一次函数的图象与性质,常数 k,b 的意义和作用；2.数形结合的思想与方法；3.进一步体验研究函数的一般思路与方法.对学习过程与结果的回顾反思进一步加深对新知的理解与感悟,不同层次感悟的程度肯定不一样,但最基本的一种感触应当让每个学生都达到.布置作业：必做题：教科书 P.31 练习 1、2、3 题.选做题：教科书 P.35 习题 11.2 第 4、8 题.备选题：1.将直线 y=3x 向下平移 2 个单位,得到直线_；2.下列一次函数中,y 随 x 的增大而减小的是( )A.y=3x-2 B.y=- x+1 C.y=-3+ x D.y=( -1)x31333.一根弹簧长 15cm,它能挂的物体质量不能超过 18kg,并且每挂 1kg 就伸长 0.5cm.写出挂上物体后的弹簧长度 y(cm)与所挂物体的质量 x(kg)之间的函数关系式与自变量 x 的取值范围,并且画出它的图象.教学反思:14.2.2 一次函数(3)教学目标了解待定系数法的思维方式与特点.明确两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数的基本事实.会根据所给信息用待定系数法求一次函数解析式,发展解决问题的能力.进一步体验并初步形成“数形结合”的思想方法.教学重点与难点重点：根据所给信息确定一次函数的表达式.- 27 -难点：培养数形结合解决问题的能力.教学设计复习与反思1.复习：画出函数 y= x 与 y=3x-1 的图象212.反思：你在作这两个函数图象时,分别描了几个点?你为何选取这几个点?可以有不同取法吗?注:前面学习中是通过描点法画出一次函数的图象,发现它们的特点与性质.再利用发现的结论形成图象的简便画法.此处则是对简便画法本身的进一步反思,从而初步感知基本量,为待定系数法思想的形成做好准备.3.引入：在上节课中我们学习了在给定一次函数表达式的前提下,我们可以说出它的图象特征及有关性质；反之,如果给你信息,你能否求出函数的表达式呢?这将是本节课我们要研究的问题.提出问题、形成思路1.求下图中直线的函数表达式：图 1 图 2注:在前面学习中,学生都是先有解析式(数),再由数出发探求.这里反过来,是先有图再探求数,是一种思维的逆向.2.分析与思考：根据原有经验,图 1 的解析式学生可凭经验与直觉答出.但图 2 的解析式凭直觉不易得出.应引导学生进行理性思考.注:给学生充分的时间进行分析与思考,体现课堂的动态生成与灵动.经历从直觉经验到理性思考的过程,也促进学生体会数学学习的特点与魅力.从图象知,图 1 中直线的函数是正比例函数,故其解析式必为 y=kx+b 形式,关键是如何求出 k 的值；同样由图可知图象经过点(1,2),所以该点坐标必适合解析式,将坐标代入- 28 -y=kx 即可求出 k 的值.图 2 中直线的函数是一次函数,故其解析式为 y=kx+b 形式,同样代入直线上两点(2,0)与(0,3)即可求出 k、b,确定解析式.注:教学时,应让学生充分表达自己的想法,并在讨论交流中清晰思路.3.反思小结：确定正比例函数的表达式需要 1 个条件,确定一次函数的表达式需要 2 个条件.初步应用、感悟新知1.例题：已知一次函数的图象经过点(3,5)与(-4,-9).求这个一次函数的解析式.注:在前面形成思路的基础上,此题的解答应突出解题过程的完整.教师应作好板演示范.这个问题涉及数学对象的一个本质概念基本量.鼓励学生做这样的思考,有助于增强其对数学对象的理解.与前面的例子相比，从直观的图形信息到文字形式展示,本质上是一样的,更突出 2个基本量的事实.适时进行规范解题过程的示范是必要的.2.回顾并介绍：像这样先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法.3.反思体会：在前面的学习过程中我们发现数与形之间是怎样结合互化的.对数形基本状态的概括整理,使原有认知清晰化、结构化.综合运用1.写出两个一次函数,使它们的图象都经过点(-2,3).2.生物学家研究表明,某种蛇的长度 y(cm)是其尾长 x(cm)的一次函数,当蛇的尾长为6cm 时,蛇长为 45.5cm；当尾长为 14cm 时,蛇长为 105.5cm.当一条蛇的尾长为 10cm 时,这条蛇的长度是多少?注:在分析解决问题中巩固加深已有知识与经验,发展解决问题的能力.4 道题目可视学生情况机动处理,着眼于学生的发展,体现教学的层次性.第 1、2 两题- 29 -当堂解决,由学生完成；下面 3、4 两题可视教学情况灵活处理(比如作为选做题).3.教科书 P.35 第 6 题：一个一次函数的图象是经过原点的直线,并且这条直线过第四象限及点(2,-3a)与点(a,-6),求这个函数的解析式.4.小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内,准备捐给希望工程,盒内钱数 y(元)与存钱月数 x(月)之间的关系如图所示,根据下图回答下列问题：求出 y 关于 x 的函数解析式.根据关系式计算,小明经过几个月才能存够 200 元?回顾反思1.用待定系数法求函数解析式的一般步骤(过程)2.数形结合解决问题的一般思路.作业1.必做题：教科书 P.32 练习 1、2,35 页习题 11.2 第 5 题2.选做题：教科书 P.35 第 7 题.3.备选题：(1)若一次函数 y=3x-b 的图象经过点 P(1,-1),则该函数图象必经过点( )A.A(-1,1) B.B(2,2) C.C(-2,2) D.D(2,-2)(2)老师给出一个函数,甲、乙、丙各正确地指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙：函数的图象经过第二象限；