3.2函数的性质

第 3 章 函数（教案） 【课题】 3.2 函数的性质【教学目标】知识目标： 理解函数的单调性与奇偶性的概念； 会借助于函数图像讨论函数的单调性； 理解具有奇偶性的函数的图像特征，会判断简单函数的奇偶性能力目标： 通 过 利 用 函 数 图 像 研 究 函 数 性 质 ， 培 养 学 生 的 观 察 能 力 ； 通过函数奇偶性的判断，培养学生的数学思维能力【教学重点】 函数单调性与奇偶性的概念及其图像特征； 简单函数奇偶性的判定【教学难点】函数奇偶性的判断 （*函数单调性的判断） 【教学设计】（1）用学生熟悉的主题活动将所学的知识有机的整合在一起；（2）引导学生去感知数学的数形结合思想通过图形认识特征，由此定义性质，再利用图形（或定义）进行性质的判断；（3）在问题的思考、交流、解决中培养和发展学生的思维能力 【教学备品】教学课件【课时安排】2 课时(90 分钟)【教学过程】教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题3.2 函数的性质*创设情景 兴趣导入问题 1 观察天津市 2008 年 11 月 29 日的气温时段图，此图反映介绍播放课件了解观看课件从实际事例使学生第 3 章 函数（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间了 0 时至 14 时的气温 （ ）随时间 （h）变化的情况Tt回答下面的问题：（1） 时，气温最低，最低气温为 ， 时气温最高，最高气温为 （2）随着时间的增加，在时间段 0 时到 6 时的时间段内，气温不断地 ；6 时到 14 时这个时间段内，气温不断地 问题 2下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况.从上图可以看到，有些时候该股票的价格随着时间推移在上涨，即时间增加股票价格也增加；有时该股票的价格随着时间推移在下跌，即时间增加股票价格反而减小归纳类似地，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性说明质疑引导分析说明引导总结思考看图分析求解观察思考求解了解自然的走向知识点引导启发学生体会读图方法股市图主要指引导学生体会变化上升下降的描述引出函数单调性第 3 章 函数（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间质就是函数的单调性 10*动脑思考 探索新知概念函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性类型设函数 在区间 内有意义 yfx,ab（1）如图（1）所示，在区间 内，随着自变量的增加，函数值不断增大，图像呈上升趋势即对于任意的，当 时，都有 成立这时12,xab12x12fxf把函数 叫做区间 内的增函数，区间 叫做函数f,ab,ab的增区间f（2）如图（2）所示，在区间 内，随着自变量的增加，,函数值不断减小，图像呈下降趋势即对于任意的，当 时，都有 成立这时12,xab12x12fxf函数 叫做区间 内的减函数，区间 叫做函数f, ,ab的减区间图（1） 图（2）如果函数 在区间 内是增函数（或减函数） ，那fx,ab么，就称函数 在区间 内具有单调性，区间 叫,ab做函数 的 单调区间fx几何特征函数单调性的几何特征：在自变量取值区间上，顺着 x轴的正方向，若函数的图像上升，则函数为增函数；若图像归纳说明仔细分析讲解关键词语强调说明引导思考理解记忆领会理解观察了解体会带领学生总结上述图像特点得到增减概念充分讲解函数图像变化和增减之间的关系简单说明区间端点的问题第 3 章 函数（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间下降则函数为减函数判定方法判定函数的单调性有两种方法：借助于函数的图像或根据单调性的定义来判定说明强调了解数形结合结合20*巩固知识 典型例题例 1 小明从家里出发，去学校取书，顺路将自行车送还王伟同学小明骑了 30 分钟自行车，到王伟家送还自行车后，又步行 10 分钟到学校取书，最后乘公交车经过 20 分钟回到家这段时间内，小明离开家的距离与时间的关系如下图所示请指出这个函数的单调性分析 对于用图像法表示的函数，可以通过对函数图像的观察来判断函数的单调性，从而得到单调区间解 由图像可以看出，函数的增区间为 ；减区间为0,440,6例 2 判断函数 的单调性42yx分析 对于用解析式表示的函数，其单调性可以通过定义来判断，也可以作出函数的图像，通过观察图像来判断无论采用哪种方法，都要首先确定函数的定义域解法 1 函数为一次函数，定义域为 ，其图像为一条(,)直线确定图像上的两个点即可作出函数图像列表如下：说明引领讲解强调质疑分析引领观察思考主动求解理解思考领会通过例题进一步领会函数单调性图像的意义复习描点法作图的步骤方法第 3 章 函数（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间在直角坐标系中，描出点（0，2） ， （1，2） ，作出经过这两个点的直线观察图像知函数 在 内为4yx(,)增函数x 0 1y2 2讲解演示理解观察再一次强化函数单调性的图像特征30*理论升华 整体建构由一次函数 （ ）的图像（如下图）可知：ykxb0xyxy（1）当 时，图像从左至右上升，函数是单调递增函数；0k（2）当 时，图像从左至右下降，函数是单调递减函数由反比例函数 的图像（如下图）可知：kyx引导说明归纳引导说明观察思考总结观察在例题的基础上引导学生总结一次函数和反比例函数单调性尽量交给第 3 章 函数（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间（1）当 时，在各象限中 值分别随 值的增大而减小，0kyx函数是单调递减函数； （2）当 时，在各象限中 值分别随 值的增大而增大，函数是单调递增函数归纳 思考学生自我发现总结35*运用知识 强化练习 教材练习 3.2.11.已知函数图像如下图所示（1）根据图像说出函数的单调区间以及函数在各单调区间内的单调性（2）写出函数的定义域和值域 提问巡视指导思考动手求解交流及时了解学生知识掌握的情况40*创设情景 兴趣导入问题 平面几何中，曾经学习了关于轴对称图形和中心对称图形的知识如图所示，点 关于 轴的对称点是沿着 x3,2Px轴对折得到与 相重合的点 ，其坐标为 ；点1关于 轴的对称点是沿着 轴对折得到与 相重合的3,2PyyP点 ，其坐标为 ；点 关于原点 的对称点是3,2PO线段 绕着原点 旋转 180得到与 相重合的点 ，其坐O3标为 质疑引导分析总结观察思考求解交流从图像入手便于学生理解自然得到对称的概念引导启发学生了解对称特点 45P1P3P2第 3 章 函数（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间*动脑思考 探索新知一般地，设点 为平面上的任意一点，则,Pab（1）点 关于 x 轴的对称点的坐标为 ；, ,ab（2）点 关于 轴的对称点的坐标为 ；,aby,（3）点 关于原点 的对称点的坐标为 PO说明归纳 思考理解 教给学生自我分析总结 50*巩固知识 典型例题例 3 （1）已知点 ，写出点 关于 x 轴的对称点的2,3P坐标；（2）已知点 ，写出点 关于 轴对称点的坐标与关于,)Pxy（ y原点 的对称点的坐标；O（3）设函数 ，在函数图像上任取一点 ，yfx,Paf写出点 关于 轴的对称点的坐标与关于原点 的对称点的PO坐标分析 本题需要利用三种对称点的坐标特征来进行研究解 （1）点 关于 轴的对称点的坐标为 ；2,3Px2,3（2）点 关于 轴的对称点的坐标为 ，点,y ,xy关于原点 的对称点的坐标 ；,xyO,xy（3）点 关于 轴的对称点的坐标为,Pafy，点 关于原点 的对称点的坐标为,afO质疑说明引领讲解观察思考主动求解理解领会通过例题进一步领会三种对称方法的特点注意数形结合分析55*运用知识 强化练习教材练习 3.2.2求满足下列条件的点的坐标： 提问思考 及时了解第 3 章 函数（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间（1）与点 关于 轴对称；2,1x（2）与点 关于 轴对称；,3y（3）与点 关于坐标原点对称； ,1（4）与点 关于 轴对称0y 巡视指导 动手求解交流 学生知识掌握的情况 60*创设情景 兴趣导入问题 观察下列函数图像是否具有对称性，如果有关于什么对称？图（1） 图（2）生活中还有很多类似的对称图形（见对应课件） 对于图（1） ，如果沿着 y 轴对折，那么对折后 y 轴两侧的图像完全重合即函数图像上任意一点 关于 轴的对称点P仍然在函数图像上，这时称函数图像关于 轴对称； 轴P叫做这个函数图像的对称轴对于图（2） ，如果将图像沿着坐标原点旋转 180，旋转前后的图像完全重合即函数图像上任意一点 关于原点P的对称点 仍然在函数的图像上，这时称函数图像 关于坐OP标原点对称；原点 叫做这个函数图像的对称中心O质疑引导说明分析讲解强调思考观察理解领会记忆充分利用各种图形使学生领会图形的对称生活中的对称图形也可以使学生感受数学的对称美65*动脑思考 探索新知概念设函数 的定义域为数集 D，对任意的 ，都yfxx说明 了解 奇偶性的概念第 3 章 函数（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间有 （即定义域关于坐标原点对称） ，且xD（1） 函数 的图像关于 轴对称，ffxyfxy此时称函数 为偶函数；()yf（2） 函数 的图像关于坐标原点fxyfx对称，此时称函数称函数 为奇函数()f如果一个函数是奇函数或偶函数，那么，就说这个函数具有奇偶性不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数判断判断一个函数是否具有奇偶性的基本步骤是：（1）求出函数的定义域，如果对于任意的 都有xD（即关于坐标原点对称） ，则分别计算出 与 ,xD()f)fx然后根据定义判断函数的奇偶性（2）如果存在某个 ，但是 ，则函数肯定是0xD0x非奇非偶函数当然，对于用图像法表示的函数，可以通过对图像对称性的观察判断函数是否具有奇偶性讲解分析强调说明理解记忆领会掌握记忆稍有抽象结合图像分析仔细分析关键词语意义强调奇偶性判断的步骤性70*巩固知识 典型例题例 4 判断下列函数的奇偶性：（1） ； （2） ；3fx21fx（3） ； （4） f f分析 需要依照判断函数奇偶性的基本步骤进行解 （1）函数 的定义域为 ，是关于原点对3fx,称的区间，且 ，所以 是3fxf3fx奇函数；质疑说明强调观察体会思考通过例题进一步领会函数奇偶性的判第 3 章 函数（教案） 教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间（2） 的定义域为 ，是关于原点对21fx,称的区间，且 ，所以函数21fxfx是偶函数；21fx（3） 的定义域是 ，不是一个关于原点fx0,对称的区间，所以函数 是非奇非偶函数；fx（4） 的定义域为 ，是关于原点对称1fx,的区间，且 ，由于 ，1fxf并且 ，所以函数 是非奇非偶函数fxffx引领讲解分析 主动求解理解领会 断方法特殊情况重点加以讲解分析 75*运用知识 强化练习教材练习 3.2.22.判断下列