第9章 学案51

学案 51 抛物线导学目标： 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想自主梳理1抛物线的概念平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上) 的距离_的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的_，直线 l 叫做抛物线的_2抛物线的标准方程与几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点 O(0,0)对称轴 y0 x0焦点 F( ，0)p2F( ，0)p2F(0， )p2F(0， )p2离心率 e1准线方程 xp2xp2yp2yp2范围 x 0，y R x 0，y R y 0，x R y0，xR开口方向 向右 向左 向上 向下自我检测1(2010四川)抛物线 y28x 的焦点到准线的距离是_2若抛物线 y22px 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合，则 p 的值为_x26 y223(2011陕西改编)设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x2，则抛物线的方程是_4设 F 为抛物线 y24x 的焦点， A、B、C 为该抛物线上三点，若 0，FA FB FC 则| | | | | |_.FA FB FC 5(2010佛山模拟)已知抛物线方程为 y22px (p0)，过该抛物线焦点 F 且不与 x 轴垂直的直线 AB 交抛物线于 A、 B 两点，过点 A、点 B 分别作 AM、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于 M、N 两点，那么MFN_.探究点一 抛物线的定义及应用例 1 已知抛物线 y22x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求PA PF 的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标变式迁移 1 已知点 P 在抛物线 y24x 上，那么点 P 到点 Q(2，1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为_探究点二 求抛物线的标准方程例 2 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M(m，3) 到焦点的距离为 5，求 m 的值、抛物线方程和准线方程变式迁移 2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点 F 是双曲线 16x29y 2144 的左顶点；(2)过点 P(2，4)探究点三 抛物线的几何性质例 3 过抛物线 y22px 的焦点 F 的直线和抛物线相交于 A，B 两点，如图所示(1)若 A， B 的纵坐标分别为 y1，y 2，求证：y 1y2p 2；(2)若直线 AO 与抛物线的准线相交于点 C，求证：BCx 轴变式迁移 3 已知 AB 是抛物线 y22px (p0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A(x 1，y 1)，B(x2，y 2)求证：(1)x1x2 ；p24(2) 为定值1AF 1BF分类讨论思想例 (14 分)过抛物线 y22px (p0)焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，过 B 点作其准线的垂线，垂足为 D，设 O 为坐标原点，问：是否存在实数 ，使 ？AO OD 多角度审题 这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出 A、B 两点坐标，从而得到 D 点坐标，再设出直线 AB 的方程，利用方程组和向量条件求出 .【答题模板】解 假设存在实数 ，使 .AO OD 抛物线方程为 y22px (p0)，则 F ，准线 l：x ，2 分(p2，0) p2(1)当直线 AB 的斜率不存在，即 ABx 轴时，交点 A、B 坐标 不妨设为：A ，B .(p2，p) (p2， p)BDl，D ，( p2， p) ， ，AO ( p2， p) OD ( p2， p)存在 1 使 . 6 分AO OD (2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk (k0)，(x p2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 D ，x1 ，x2 ，( p2，y2) y212p y22p由Error! 得 ky22pykp 20， y1y2p 2，y2 ， 8 分 p2y1(x 1，y 1) ， ，AO ( y212p， y1) OD ( p2，y2) ( p2， p2y1)假设存在实数 ，使 ，则Error!，解得 ，AO OD y21p2存在 实 数 ，使 .y21p2 AO OD 综上所述，存在实数 ，使 . 14 分AO OD 【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直 线方程和抛物线方程组成方程组，研究 A、D 两点坐标关系，求出 和 的坐标，判断 是否存在AO OD 【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线 AB 的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足1关于抛物线的定义要注意点 F 不在定直线 l 上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线2关于抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种不同的形式， 这四种标准方程的 联系与区别在于：(1)p 的几何意义：参数 p 是焦点到准线的距离，所以 p 恒为正数(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向3关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质，只要与椭圆 、双曲 线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于 1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性 质，而且 应 用广泛例如：已知过抛物线 y22px (p0)的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：AB x 1x 2 p 或 AB ( 为 AB 的倾斜角)，y 1y2p 2，x1x2 等 2psin2 p24(满分：90 分)一、填空题(每小题 6 分，共 48 分)1(2011大纲全国改编)已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，直线 y2x4 与 C 交于A，B 两点，则 cosAFB 等于 _2(2011湖北改编)将两个顶点在抛物线 y22px( p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n，则 n_.3(2011连云港模拟)已知抛物线 y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是_4抛物线 y2x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_5(2011淮安模拟)设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y24x 的焦点，A 为抛物线上一点，若 4，则点 A 的坐标为_OA AF 6(2011重庆，15)设圆 C 位于抛物线 y22x 与直线 x 3 所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆 C 的半径能取到的最大值为_7已知 A、B 是抛物线 x24y 上的两点，线段 AB 的中点为 M(2,2)，则AB _.8(2010浙江)设抛物线 y22px( p0)的焦点为 F，点 A(0，2)若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为_二、解答题(共 42 分)9(14 分) 已知顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y2x1 所得的弦长为 ，15求抛物线方程10(14 分)(2010韶关一模)已知抛物线 C：x 28y.AB 是抛物线 C 的动弦，且 AB 过F(0,2)，分别以 A、B 为切点作轨迹 C 的切线，设两切线交点为 Q，证明：AQ BQ.11(14 分)(2010济南一模)已知定点 F(0,1)和直线 l1：y 1，过定点 F 与直线 l1 相切的动圆圆心为点 C.(1)求动点 C 的轨迹方程；(2)过点 F 的直线 l2 交轨迹 C 于两点 P、Q，交直线 l1 于点 R，求 的最小值RP RQ 学案 51 抛物线答案自主梳理1相等 焦点 准线自我检测14 2.43y 28x解析 因为抛物线的准线方程为 x2，所以 2，所以 p4，所以抛物 线的方程是p2y28x.46 5.90课堂活动区例 1 解题导引 重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物 线焦点弦有关问题 的重要途径解 将 x3 代入抛物线方程y22x，得 y .6 2，A 在抛物线内部6设抛物线上点 P 到准线 l：x 的距离为 d，由定义知12PAPFPA d，当 PAl 时，PAd 最小，最小值为 ，72即 PAPF 的最小值为 ，72此时 P 点纵坐标为 2，代入 y22x，得 x2，点 P 坐 标为(2,2) 变式迁移 1 (14， 1)解析 点 P 到抛物线焦点的距离等于点 P 到抛物线准线的距离，如图，PFPQPSPQ，故最小值在 S，P，Q 三点共线时取得，此 时 P，Q 的纵坐标都是1，点 P 的坐标为 .(14， 1)例 2 解题导引 (1) 求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位( 即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数 p 的值) 解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；(3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把 PF 转化为点 P 到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意 领会和运用解 方法一 设抛物线方程为 x22py (p0)，则焦点为 F ，准线方程 为 y .(0， p2) p2M(m，3)在抛物线上，且 MF5，Error! 解得Error!抛物 线 方程为 x28y ，m 2 ，6准线方程为 y2.方法二 如图所示，设抛物线方程为 x22py (p0)，则焦点 F ，(0， p2)准线 l：y ，作 MNl，垂足为 N.p2则 MNMF5，而 MN3 ，p23 5，p4.抛物线方程为 x28y，p2准线方程为 y2.由 m2(8) (3)，得 m2 .6变式迁移 2 解 (1)双曲线方程化为 1，x29 y216左顶点为(3,0)，由题意设抛物 线方程为 y22px (p0)且 3，p6.p2方程 为 y212x .(2)由于 P(2，4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可 设方程为 y2mx (m 0)或x2ny (n0)为例) ：y1y2 p2，x1x2 ；p24AB x1x 2 p.证明 (1)方法一 由抛物线的方程可得焦点坐标为 F .设过焦点 F 的直线交抛物(p2，0)线于 A，B 两点的坐 标分别为( x1，y1)、(x2，y2)当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为yk ，由Error!(x p2)消去 x，得 ky2 2pykp 20.(*)当 k0 时，方程 (*)只有一解，k0，由韦达定理，得 y1y2p 2；当斜率不存在时，得两交点坐标为， ，y1y2p 2.(p2，p)(p2， p)综合两种情况，总有 y1y2p 2.方法二 由抛物线方程可得焦点 F ，设直线 AB 的方程 为 xky ，并设 A(x1，y1)，(p2，0) p2B(x2，y2)，则 A、B 坐标满 足Error!消去 x，可得 y22p ，(ky p2)整理，得 y22 pkyp 20，y1y2p 2.(2)直线 AC 的方程为 y x，y1x1点 C 坐标为 ，( p2， py12x1)yC .py12x1 p2y12px1点 A(x1，y1)在抛物线上，y 2px 1.21又由(1)知，y 1y2p 2，yC y2，BCx 轴y1y2y1y21变式迁移 3 证明 (1) y22px (p0)的焦点F ，设直线 方程为 yk (k0) ，(p2，0) (x p2)由Error! ，消去 x，得 ky22pykp 20.y1y2p 2，x1x2 ，y1y224p2 p24当 k 不存在时，直 线方程为 x ，这时 x1x2 .p2 p24因此，x 1x2 恒成立p24(2) 1AF 1BF 1x1 p2 1x2 p2 .又x 1x2 ，x1 x2 px1x2 p2x1 x2 p24 p24代入上式得 常数，所以 为定值1AF 1BF 2p 1AF 1BF课后练习区145解析 方法一 由Error!得Error!或Error!令 B(1，2) ，A(4,4)，又 F(1,0)，由两点间距离公式得| BF|2，|AF |5，| AB|3 .5cosAFB BF2 AF2 AB22BFAF 4 25 45225 .45方法二 由方法一得 A(4,4)，B(1，2)， F(1,0)， (3,4)， (0，2)，FA FB | | 5，| |2.FA 32 42 FB cosAFB .FA FB |FA |FB | 30 4 252 4522解析 如图所示，A，B 两点关于 x 轴对称， F 点坐标为( ，0)，设 A(m， )(m0)，则由p2 2pm抛物线定义，AFAA 1，即 m AF.p2又 AFAB2 ，2pmm 2 ，整理，得 m2 7pm 0，p2 2pm p24( 7p) 2 4 48p 20，p24方程 有两相异实根，记为 m1，m2，且m1m 27p0 ，m1m2 0，m10，m20，n2.p243相切 4.( ， ) 5.(1 ，2)18 246. 16解析 如图所示，若圆 C 的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线 x3 同时相切，设圆心的坐标为(a,0)( a0)，则Error!，消去 y 得，4x2(2 p4)x 10，x1x 2 ，x1x2 ， (4 分)p 22 14AB |x1x 2|1 k2 5 x1 x22 4x1x2 ， (7 分)5 (p 22 )2 414 15则 ，p24p120，p24 p 3解得 p6(p2 舍去)，抛物线方程为 y212x .(9 分)(2)当抛物线开口向左时， 设抛物线方程为 y22px (p0)，仿 (1)不难求出 p2，此时抛物线方程为 y24x .综上可得，所求的抛物线方程为