概率论与数理统计习题

习题一1.01 口袋里装有若干个黑球与若干个白球，每次任取 l 个球，共抽取两次设事件 A 表示第一次取到黑球，事件 B 表示第二次取到黑球，问：（l）和事件 A+B 表示什么？（2）积事件 AB 表示什么？（3）差事件 A-B 表示什么？（4）对立事件 表示什么？A（5）第一次取到白球且第二次取到黑球应如何表示？（6）两次都取到白球应如何表示？（7）两次取到球的颜色不一致应如何表示？（8）两次取到球的颜色一致应如何表示？1.02 甲、乙、丙三门炮各向同一目标发射一发炮弹，设事件A 表示甲炮击中目标，事件 B 表示乙炮击中目标，事件 C 表示丙炮击中目标，问：（l）和事件 A+B+C 表示什么？（2）和事件 AB+AC+BC 表示什么？（3）积事件 表示什么？ABC（4）和事件 + + 表示什么？（5）恰好有一门炮击中目标应如何表示？（6）恰好有两门炮击中目标应如何表示？（7）三门炮都击中目标应如何表示？2（8）目标被击中应如何表示？1.03 随机安排甲、乙、丙三人在一星期内各学习一天，求：(1)恰好有一人在星期一学习的概率；(2)三人学习日期不相重的概率1.04 箱子里装有 4 个一级品与 6 个二级品，任取 5 个产品，求：(1)其中恰好有 2 个一级品的概率；(2)其中至多有 1 个一级品的概率1.05 某地区一年内刮风的概率为 ，下雨的概率为 ，既刮154152风又下雨的概率为 ，求：10(1)刮风或下雨的概率；(2)既不刮风又不下雨的概率1.06 盒子里装有 5 张壹角邮票、3 张贰角邮票及 2 张叁角邮票，任取 3 张邮票，求：(1)其中恰好有 1 张壹角邮票、2 张贰角邮票的概率；(2)其中恰好有 2 张壹角邮票、1 张叁角邮票的概率；(3)邮票面值总和为伍角的概率；(4)其中至少有 2 张邮票面值相同的概率1.07 市场上供应的某种商品只由甲厂与乙厂生产，甲厂占 60%，乙厂占 40，甲厂产品的次品率为 7%，乙厂产品的次品率为8%从市场上任买 l 件这种商品，求：(1)它是甲厂次品的概率；3(2)它是乙厂次品的概率.1.08 某单位同时装有两种报警系统 A 与 B，当报警系统 A 单独使用时，其有效的概率为 0.70，当报警系统 B 单独使用时，其有效的概率为 0.80，在报警系统 A 有效的条件下，报警系统 B 有效的概率为 0.84若发生意外时，求：(1)两种报警系统都有效的概率；(2)在报警系统 B 有效的条件下，报警系统 A 有效的概率；(3)两种报警系统中至少有一种报警系统有效的概率；(4)两种报警系统都失灵的概率1.09 口袋里装有 6 个黑球与 3 个白球，每次任取 1 个球，不放回取两次，求：(1)第一次取到黑球且第二次取到白球的概率；(2)两次取到球的颜色一致的概率1.10 在一批产品中有 80是合格品，验收这批产品时规定，先从中任取 1 个产品，若它是合格品就放回去，然后再任取 l 个产品，若仍为合格品，则接收这批产品，否则拒收求：(1)检验第一个产品为合格品且检验第二个产品为次品的概率；(2)这批产品被拒收的概率1.11 甲、乙两厂相互独立生产同一种产品，甲厂产品的次品率为 0.2，乙厂产品的次品率为 0.1从甲、乙两厂生产的这种产品中各任取 l 个产品，求：(1)这 2 个产品中恰好有 1 个正品的概率；4(2)这 2 个产品中至少有 1 个正品的概率1.12 一场排球比赛采用“三局两胜”制，在甲、乙两队对阵中，若甲队在各局取胜与否互不影响，且在每局取胜的概率皆为0.6，求甲队在一场比赛中取胜的概率1.13 甲、乙、丙三人相互独立向同一目标各射击一次，甲击中目标的概率为 O.8，乙击中目标的概率为 0.7，丙击中目标的概率为 0.6，求目标被击中的概率。1.14 市场上供应的某种商品由甲厂、乙厂及丙厂生产，甲厂占 50%,乙厂占 30%，丙厂占 20%，甲厂产品的正品率为 88%，乙厂产品的正品率为 70%丙厂产品的正品率为 75%，求：(l)从市场上任买 1 件这种商品是正品的概率；(2)从市场上已买 1 件正品是甲厂生产的概率1.15 盒子里装有 5 支红圆珠笔与 8 支蓝圆珠笔，每次任取 1支圆珠笔，不放回取两次，求：(1)两次都取到红圆珠笔的概率；(2)第二次取到红圆珠笔的概率.1.16 某种产品中有 90是合格品，用某种方法检查时，合格品被认为合格品的概率为 98%，而次品被误认为合格品的概率为3%，从中任取 1 个产品，求它经检查被认为合格品的概率1.17 已知甲袋里装有 1 个白球与 2 个黑球，乙袋里装有 2 个白球与 1 个黑球，先从甲袋中任取 1 个球放入乙袋，再从乙袋中任取 2 个球，求从乙袋中取出两个球都是白球的概率51.18 设 A,B 为两个事件，且已知概率 P(A)=0.5，P（B)=0.6,P(B )=0.4，求：A(1)概率 P( B);(2)概率 P(AB);(3)条件概率 P(B );A(4)概率 P(A+B).1.19 填空题(1)甲、乙各射击一次，设事件 A 表示甲击中目标，事件 B 表示乙击中目标，则甲、乙两人中恰好有一人不击中目标可用事件表示.(2)已知甲、乙两个盒子里各装有 2 个新球与 4 个旧球，先从甲盒中任取 1 个球放入乙盒，再从乙盒中任取 1 个球，设事件 A 表示从甲盒中取出新球放入乙盒，事件 B 表示从乙盒中取出新球，则条件概率 P(B )=A(3)设 A,B 为两个事件，若概率 P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= ,则413261概率 P(A+B)=(4)设 A,B 为两个事件，且已知概率 P(A)=0.4,P(B)=0.3，若事件 A,B 互斥，则概率 P(A+B)=(5)设 A,B 为两个事件，且已知概率 P(A)=0.8，P(B)=0.4，若事件 A B，则条件概率 P(B )=A(6)设 A,B 为两个事件，若概率 P(B)= ,P(B )= ,P(A+B)= ,103A6154则概率 P(A)=6(7)设 A,B 为两个事件，且已知概率 P( )=0.7，P(B)=0.6,若A事件 A,B 相互独立，则概率 P(AB)=(8)设 A,B 为两个事件，且已知概率 P(A)=0.4，P(B)=0.3,若事件 A,B 相互独立，则概率 P(A+B)=(9)设 A,B,C 为三个事件，且已知概率 P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.7，若事件 A,B,C 相互独立，则概率 P(A+B+C)=(10)设 A,B 为两个事件，若概率 P(B)=0.84，P( B)=0.21，则A概率 P(AB)=1.20 单项选择题(1)设 A,B 为两个事件，若事件 A B，则下列结论中( )恒成立.(a)事件 A,B 互斥 （b)事件 A, 互斥(c)事件 ,B 互斥 (d)事件 , 互斥AAB(2)设 A,B 为两个事件，则事件 =( ).(a) + (b)A-B (c) （d)ABBAB(3)投掷两颗均匀般子，则出现点数之和等于 6 的概率为( ).(a) (b)115(c) (d)3636(4)盒子里装有 10 个木质球与 6 个玻璃球，木质球中有 3 个红球、7 个黄球，玻璃球中有 2 个红球、4 个黄球，从盒子里任取 1 个球设事件 A 表示取到玻璃球，事件 B 表示取到红球，则条件概率7P(A )=( )B(a) (b)1474(c) (d)8353(5)设 A,B 为两个事件，若概率 P(A)= ,P(A ）= ,P( )= ,则31B32A53概率 P(B)=(a) (b)5152(c) (d)34(6)设 A,B 为两个事件，且已知概率 P(A)O，P(B)0，若事件A B,下列等式中( )恒成立(a)P(A+B)=P(A)+P(B) (b)P(A-B)=P(A)-P(B)(c)P(AB)=P(A)P(B) (d)P(B )=1A(7)设 A,B 为两个事件，则概率 P(A+B)=( ).(a)P(A)+P(B) (b)P(A)+P(B)-P(A)P(B)(c)1-P（ ) (d)1-P( )P( )BA AB(8)设 A,B 为两个事件，若概率 P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= ，则31412( ).(a)事件 A 包含 B (b)事件 A，B 互斥但不对立(c)事件 A，B 对立 (d)事件 A，B 相互独立(9)设 A,B 为两个事件，且已知概率 P(A)= ,P(A+B)= ,若事53107件 A,B 相互独立，则概率 P(B)=( ).(a) （b) (c) (d)1610412(10)设 A,B 为两个事件，且已知概率 P(A)O，P(B)O，若事件8A,B 相互独立，则下列等式中( )恒成立(a)P(A+B)=P(A)+P(B) (b)P(A+B)=P(A)(c)P(A-B)=P(A)-P(B) (d)P(A-B)=P(A)P( )B习题二2.01 口袋里装有 3 个黑球与 2 个白球，任取 3 个球，求取到白球个数 的概率分布X2.02 汽车从出发点至终点，沿路直行经过 3 个十字路口，每个十字路口都设有红绿信号灯,每盏红绿信号灯相互独立，均以 的32概率允许汽车往前通行，以 的概率禁止汽车往前通行，求汽车停31止前进时所通过的红绿信号灯盏数 的概率分布X2.03 一批零件的正品率为 (00）的泊松分布，一本书共 400 页，有 20 个印刷错误，求：(l）任取 l 页书上没有印刷错误的概率；(2)任取 4 页书上都没有印刷错误的概率3.07 某种产品表面上疵点的个数 是一个离散型随机变量，X它服从参数为 = 的泊松分布，规定表面上疵点的个数不超过 2 个23为合格品，求产品的合格率。3.08 每 10 分钟内电话交换台收到呼唤的次数 是一个离散型X随机变量，它从参数为 ( 0）的泊松分布，已知每 10 分钟内收到3 次呼唤与收到 4 次呼唤的可能性相同，求：(1）平均每 10 分钟内电话交换台收到呼唤的次数；(2)任意 10 分钟内电话交换台收到 2 次呼唤的概率193.09 设离散型随机变量 服从参数为 ( 0）的泊松分布，X且已知概率 = ，求：1XP3e(l)参数 值；(2)概率 10）的指数分布，且平均使用寿命为 800小时，求：(l）任取 l 只日光灯管使用 1200 小时不需要更换的概率；(2)任取 3 只日光灯管各使用 1200 小时都不需要更换的概率203.13 设连续型随机变量 服从参数为 ( 0)的指数分布，且X已知方差 ( ）= ，求：DX41(1)参数 值；(2)概率 0 1.2;PX(5)概率 1;(6)概率 3.3.15 某批袋装大米重量 kg 是一个连续型随机变量，它服从X参数为 的正态分布，任选 1 袋大米，求这袋大米重kg1.0,量 9.9kg10.2kg 之间的概率.3.16 某批螺栓直径 cm 是一个连续型随机变量，它服从均值X为 0.8cm、方差为 0.0004cm 的正态分布，随机抽取 1 个螺栓，求这2个螺栓直径小于 0.81cm 概率3.17 某省文凭考试高等数学成绩 分是一个离散型随机变量，X近似认为连续型随机变量，它服从正态分布 (58,10 )，规定考试N2成绩达到或超过 60 分为合格，求：21(1)任取 1 份高等数学试卷成绩为合格的概率；(2)任取 3 份高等数学试卷中恰好有 2 份试卷成绩为合格的概率3.18 已知连续型随机变量 （3，4） ，求：XN(1)概率 ;53XP(2)概率 3.92;(3)数学期望 (- +5);E(4)方差 (- +5).DX3.19 填空题(1)若在 4 次独立重复试验中，事件 A 都发生的概率与都不发生的概率相等，则事件 A 在一次试验中发生的概率为.(2)若在 3 次独立重复试验中，事件 A 至少发生 1 次的概率为，则事件 A 在一次试验中发生的概率为. 276(3)在进行 12 重贝努里试验时，每次试验中事件 A 发生的概率为 ，设离散型随机变量 表示事件 A 发生的次数，则方差 D( )41XX.(4)已知离散型随机变量 服从参数为 =3 的泊松分布则概率 =0= .PX(5)设离散型随机变量 服从参数为 ( 0)的泊松分布,若数学X期望 (5 -1)=9,则参数 =.E(6)已知连续型随机变量 服从区间 上均匀分布，)0(2,a则方差 .)(XD22(7)已知连续型随机变量 服从参数 = 的指数分布,则概率X51X5=.P(8)已知连续型随机变量 (0,l)，函数值 ，N708.)5.(0则概率 =.05.X(9)已知连续型随机变量 (0,1)，若概率 P XX=0.10，则常数 =.(10)已知连续型随机变量 (2,9)，函数值 ，N972.0)(则概率 =.8XP3.20 单项选择题(1)事件 A 在一次试验中发生的概率为 ,则在 3 次独立重复试41验中，事件 A 恰好发生 2 次的概率为( ).(a) (b)2116(c) (d)64349(2)设离散型随机变量 ，若数学期望 ，方差X),2(pB4.2)(XE，则参数 的值为（ ）1)(XDpn,(a) , =0.6 (b) , =0.44n6(c) , =0.3 (d) , =0.2812p(3)已知离散型随机变量 服从参数为 =2 的泊松分布，则概率X =3=( ).PX(a) (b)23e42e3(c) (d) 3(4)设离散型随机变量 服从参数为 ( 0)的泊松分布，且已X23知概率 =0= =2 ，则参数 =（ ）.PX(a） （b）221(c) (d)(5)已知离散型随机变量 , 都服从泊松分布，且已知方差 (XYD)=5， ( )=3，则数学期望 ( -2 )=（ ）.XDYE(a)-7 (b)-1(c)11 (d)17(6)已知连续型随机变量 服从区间 上的均匀分布，则概率X,ba =( ).PX32ba(a）0 (b） 31(c) (d)1(7)设连续型随机变量 服从指数分布，其概率密度为X其 他,0 x1)(kex则常数 =( ).k(a) (b)1010(c)-100 (d)100(8)已知连续型随机变量 (0,1)，常数 k0，则概率XN=( ).kXP(a) (b)1)(20)(210k(c) (d)k(9)已知连续型随机变量 (3,2)，则连续型随机变量 =（ XNY24） (0,1).N(a) (b)23X23X(c) (d)(10)若连续型随机变量 (l,1)，则连续型随机变量 =-XNY的数学期望、方差分别为（ ）.X(a) (b)1)(,)(YDE 1)(,)(YDE(c) (d)习题四4.01 已知某校有住校生 1000 名，晚间每名学生去图书馆上自习的概率皆为 0.7，且他们去图书馆上自习与否相互独立，试利用切贝谢夫不等式估计晚间同时去图书馆上自习的人数在 650 名750名之间的概率4.02 已知某厂生产产品 800 个，每个产品为废品的概率皆为.02，且每个产品为废品与否相互独立，试利用切贝谢夫不等式估计 800 个产品中废品多于 10 个且少于 22 个的概率254.03 已知随机变量 存在有限的数学期望 与方差X)(XE= ，试利用切贝谢夫不等式估计概率)(XD0)(2的值33-P4.04 每个螺丝钉重量的数学期望为 10g，标准差为 0.5g，一盒内装 400 个，求一盒螺丝钉重量小于 3980g 的概率4.05 某商店一天内有 300 笔销售收人，每笔销售收人都以元为单位，并将小数部分经四舍五人归为整数，所产生的误差服从区间（.5,0.5）上的均匀分布，且各笔销售收人相互独立，求在300 笔销售收人中误差总和的绝对值不超过 5 元的概率4.06 一个系统由 100 个相互独立的部件组成，在系统运行期间每个部件损坏的概率皆为 0.05，而系统只有在损坏部件不多于 8个时才能正常运行，求系统正常运行的概率4.07 一批种子发芽率为 0.9，从中随机抽取 1000 粒，求这1000 粒种子中发芽种子所占比例与这批种子发芽率之差绝对值小于0.01 的概率4.08 设总体 ， ， ， ， 是正态总体 的X），（ 2N1X234XX一个样本， 为样本均值， 为样本方差，若 为未知参数且 为S已知参数，下列随机变量是否为统计量？(1) (2) 1X2332X26(3) (4)3SX2)(4SX(5) 2 (6) )-12（4.09 求满足下列概率等式的相应分布分位数 值或 值或 ,1值：2(1) =0.01（n=8)PT(2) =0.05（n=6)-(3) =P =0.05( )(n=10)12212(4) =P =0.005( )(n=8)P(5) =P =0.025( )( =7， =6)1F2121n2(6) =0.10( = =n=21)PT1n24.10 已知 ， ， ， ， 是总体 的一个样本， 为1X234X5XX样本均值，下列统计是否为总体数学期望 ( )的无偏估计量？E(l) + (2) 12524(3) + (4) 13XX3514.11 已知 ， 是总体 的一个样本，统计量 2 与12 1X2都是总体数学期望 ( )的无偏估计量，评价它们中哪一132 E个有效4.12 从一批灯泡中随机抽取 10 个，测量其寿命(单位：小时)27分别为1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200试估计这批灯泡寿命 的数学期望 ( )与方差 ( )值XEXDX4.13 已知总体 服从正态分布 (50,28), ， ， 是N127正态总体 的一个样本， 为样本均值，求概率 .X 5P494.14 已知总体 服从正态分布 (100,3 ), , ， 是21X2n正态总体 的样本, 为样本均值，若概率 1010.95问样本容量 至少应取多大？n4.15 已知某加热炉正常工作时的炉内温度 C 服从正态分布X,用一种仪器反复 5 次测量其温度分别为)14(N1250,1265,1245,1260,1275试以 0.90 的置信度，求加热炉正常工作时炉内平均温度 的置信区间4.16 已知每桶奶粉净重 g 服从正态分布 ( ，从一批桶XN)5,2装奶粉中随取 15 捅，经过测量得到它们的平均净重为 446g，试以0.95 的置信度，求每桶奶粉平均净重 的置信区间4.17 已知成年人的脉搏 次分钟服从正态分布 ( ， ),XN2从一群成年人中随机抽取 10 人，测量其脉搏分别为2868, 69, 72, 73, 66, 70, 69, 71, 74, 68试以 0.95 的置信度，求每人平均脉搏 的置信区间.4.18 已知某种型号飞机的最大飞行速度 m秒服从正态分布X( ， ),飞机作独立飞行试验 8 次，测量其最大飞行速度分别为N2422,425,418,420,425,425,431,434试以 0.95 的置信度，求飞机最大飞行速度方差 的置信区间24.19 已知某种型号保险丝在短路情况下的熔化时间 秒服从X正态分布 ( ， )，从一批保险丝中随机抽取 9 根，测量其在短N2路情况下的熔化时间分别为4.2, 6.5, 7.5, 7.8, 6.9, 5.9, 5.7, 6.8, 5.4试以 0.99 的置信度，求：(1)每根保险丝在短路情况下平均熔化时间 的置信区间；(2)每根保险丝在短路情况下熔化时间方差 的置信区间24.20 已知每株梨树的产量