2.2几种常见的平面变换

2.2 几种常见的平面变换第一课时 恒等与伸压变换教学目标一、知识与技能：了解单位矩阵的概念，掌握恒等变换和伸压变换的矩阵表示及其集合意义二、过程与方法：探究练习法三、情感态度和价值观：体会知识间的联系教学重点、难点点与曲线的伸压变换教学过程一、情景引入：一个二阶矩阵可以确定一个变换，其作用是将一个点或向量变为另一个点或向量，可以通过方程组的中间纽带实现这一转化；反之常见的变换可否用一个矩阵表示呢？又如何表示？看两个最常见的变换：恒等与伸压变换二、问题探究一A(2,0),B(-1,0),C(0,2),将一个变换还能变成自身，这个变换矩阵是什么？几何抽象(x,y)(x,y)方程组表达： /yx转化为矩阵表示： =10/yx汇总：平面上任何一点通过矩阵 变换后，都自己变成自己，称恒等变换，相应的矩阵0称恒等变换矩阵，也称二阶单位矩阵，一般记为 E10三、问题探究二（仿照上面的点的变化 矩阵表示来探究）方 程 组1、能否有一个变换，将(x,y)(kx,y)?存在的话，写出变换矩阵及几何意义。2、能否有一个变换，将(x,y)(x,ky)?3、能否有一个变换，将(x,y)(k 1x,k2y)?方程组表示 /21ykx转化为矩阵 = ，变换矩阵 ，将横坐标、宗坐标进行了伸缩（或伸210/yx210k2压）变换，相应的 称伸压矩阵210k3、伸压变换矩阵与恒等变换矩阵有什么类似与不同点？四、典型例题例 1、设四边形 ABCD 的四个顶点 A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),在矩阵 变换作用下变为10a正方形，求 a 的值或范围解：变换后点 A/(-a,0),B/(a,0),C/(a,1),D/(-a,1),A/B/=B/C/,2|a|=1,a= 2练习：设 A 是纵坐标伸长为原来的 3 倍，横坐标变为压缩为原来的 的变换；B 是纵坐标伸长31为原来的 倍，横坐标变为压缩为原来的 3 变换。写出伸压变换 A、B 的矩阵31例 2、C：x 2+y2=1 在矩阵 A= 对应的伸压变换下变为一个椭圆，求此椭圆的方程（教材201P16-例 2）思考：平面图形对应的方程 f(x,y)=0 横（纵）坐标变为原来的 k 倍，纵（横）坐标不变，得到的方程是什么？练习：曲线 y= cos2x 经过伸压变换下变为新的曲线 y=cosx，求变换 T 对应的矩阵 M31五、小结：恒等与伸压变换的几何特征与矩阵表示六、作业：教材：P33-1，2，3，4补充习题1、若直线 y=4x-4 在矩阵 M 对应的伸压变换下变成另一直线 y=x-1,则 M=_2、圆 C：x 2+y2=4 在矩阵 A= 对应的伸压变换下为一贯饿椭圆，则此椭圆的方程为_1023、椭圆 x2+ =1 在矩阵 对应的伸压变换下变为一个圆，则 a=_ay24、曲线 y=sinx 经过变换 T 作用后变为新的曲线 l:y=2sin( )求对应的变换 Mx21补充习题解答1、 ； 2， ； 3，2； 4，M=401462yx 0情况反馈第二课时 反射与旋转变换教学目标一、知识与技能：掌握反射与旋转变换的几何意义，从几何上理解二阶矩阵对应的变换是线性变换，并会证明二阶矩阵对应的变换是将直线变成直线或点二、过程与方法：探究讲授法三、情感态度和价值观：体会知识间的联系教学重点、难点变换的理论探究备注本节是两节连上课，可以根据自身情况进行相应的调整教学过程一、问题探究一：一个二阶矩阵对应一个变换，通过方程组表示写成矩阵表示写出下列几何意义中对应的坐标，并将此变换用矩阵表示，指出其变换矩阵。点 P(x,y)(1)关于原点的对称点P/(-x,-y), = = ，变换矩阵yx/yx10yx10(2)关于 x 轴的对称点-3-2-10123-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4系 列 1 系 列 2-3-2-10123-4 -3 -2 -1 0 1 2系 列 1 系 列 2-2-10123-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4系 列 1 系 列 2P/(x,-y), = = ，变换矩阵yx/yx10yx0(3)关于 y 轴的对称点P/(-x,y), = = ，变换矩阵x/xyx1说明以上变换是将平面图形关于直线或定点对称，称反射变换，相应的矩阵称反射矩阵，定直线称反射轴，顶点称反射中心思考 1：关于直线 y=x 及 y=-x 的反射矩阵分别是什么？（ 、 ）0114思考 2：关于这些特殊直线或原点反射矩阵有什么规律？（一个对角线上的元素为 0，另一个为或-1）例 1、求直线 y=4x 在 变换下得到的方程，并说明二者的几何关系01解：设(x 0,4x0)为直线 y=4x 上任意一点，经过 变换后得到点(x,y),则根据：01= = ，于是 ，消去 x0 得，x=4y，几何关系：关于直线 y=x 对称yx104x004yx练习 1：求 y= 在 变换作用下的方程。一般的，f(x,y)=0 在 作用下的方程是什么？1 01（x= ,f(y,x)=0）y练习 2：若 y=x2(x0)在反射矩阵 M 作用下得到 y=x2(x0) ，求反射矩阵 M ( )10二、探究二：二阶非零矩阵对应的变换下，点的共线性质有无变化？一般地，对于向量 、 ，ab在二阶非零矩阵 M 作用下，线性性质是否变化？即：M( )= 1M + 2M 是否成立？ba21ab设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P 为其上一点，P(x,y),设 = ,则 ，在二阶非P12121yx零矩阵 作用下，点 P1、P 2、P 的分别为(x 1/,y1/),(x2/,y2/),(x/,y/) 则 dcba kkdycxyba/= = = = ，/yxcyxdcba1)()(21dycxycxba1/2/1yxP/ ，于是 ，P 1/、P 2/、P 共线，这说明点的共线性质不1,/2/2/1x /2/1变。同理，可以验证 M( )= 1M + 2M 成立ba21ab这样原来是一次式，结果是一次式或常数，而一次式方程对应于一条直线，以上说明：在一个二阶非零矩阵作用下，直线变仍然变为直线或点，其中把直线变为直线的变换称线性变换。例 2：二阶矩阵 M 将点(1,-1)、(-2,1)分别变为(5,7)、(-3,6)，(1)求矩阵 M (2)求直线 L:x-y=4 在此变换下所变成的直线 L/的方程（解答(1) (2)11x-3y-68=0）20137三、探究问题三：旋转变换将点 P(x,y)绕原点旋转 角得到另一点 P/(x/,y/),写出二者坐标的关系及相应的变换矩阵。P/PO设|OP|=|OP /|=r,射线 OX 到 的角为 ，则OPx=rcos，y=rsin sincosincosin)sin(coco/ xyrrryx对应的变换为 T: =/yxiix矩阵 称旋转变换矩阵，对应的角 称旋转角，变换称旋转变换cosini1、矩阵的特点：主对角线相等，付对角线互为相反数，且列矩阵元素平方和为 12、几何意义上，关于原点对称也可以看作绕原点旋转 1800；对应的矩阵关于原点的反射矩阵与旋转矩阵相同例 3、已知 A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1)求四边形 ABCD 绕原点逆时针旋转 900后得到的点的坐标，6并作图（教材 P23-例 4）练习 1：例中将 ABCD 绕原点逆时针旋转 300，坐标及图形又如何？练习 2：设 A= 、B= 分别表示平面的什么变换？（绕原点旋转 900，关于 x 轴对011称）例 4、曲线 xy=1 表示等轴双曲线，(1)将之绕原点旋转 角（| ）能否转化为一个焦点在 x 轴上的双曲线方程,能求出旋转角2，旋转矩阵及相应的变换后的方程，不能说明理由(2)求 xy=1 的焦点坐标解(1)设旋转矩阵为 ，点(x 0, )变换后的点为(x,y),则有cosini1x= =yxcsiio01xcos1sini0xx2-y2=(x02- )cos2-2sin2 要与 x0 无关焦点在 x 轴上的双曲线，必须，2=2k+ ,kZ =k+ , kZ | k=-1,=- ，于是旋转矩阵为sinco234324，相应的方程为 x2-y2=22(2) x2-y2=2 焦点坐标为(2，0)，相应 xy=1 的焦点是将(2 ，0)绕原点逆时针旋转 ，根据矩阵变4换 = ， = 焦点坐标为( , )及（- ,-20220222）练习：求将椭圆 +y2=1 绕左焦点顺时针旋转 900得到的曲线方程（提示：将平移和旋4)3(x转综合考虑，方程 +x2=1）)(y四、问题探究四：关于直线 L:y=kx 的投射变换矩阵是什么？解答：设点 P(x,y)关于 L:y=kx 的对称点为 P/(x/,y/),直线 L 的倾斜角为 ，设|OP|=|OP /|=r,射线OX 到 的角为 ，则 x=rcos，y=rsin,tan=kOPx/=rcos(2-)=rcos2cos+rsin2sin= x+ y21k2y/=rsin(2-)=rsin2cos-rcos2sin= x- y,22变换矩阵为 2221k五、小结：反射变换和旋转变换六、作业：教材 P33-5,6,8,13补充习题1、椭圆(x-2) 2+ =1 在矩阵 作用下的方程为_4)(2y102、圆(x-3) 2+(y+6)2=4 在矩阵 M 所对应的变换下变为(x+3) 2+(y-6)2=4，则矩阵 M=_,它属于_矩阵3、曲线 f(x,y)=0 在矩阵 作用下得到的曲线方程与原方程的几何关系为_104、ABC 在矩阵 M 对应的旋转变换作用下得到A /B/C/，已知 A(0,0),B(1, ),C(0,2), A/(0,0),3B/(-1, ),C(- ,1),求矩阵 M35、设 L 为过原点的直线，射线 OX 到直线 L 的角为 300，求以直线 L 为反射轴的反射矩阵 A，并求点 P(-2,6)在作用下的点的坐标补充习题答案81、(x+2) 2+ =14)(2y2、 03、关于 x 轴对称4、 2135、A= ，P /(-1+3 ,-3- )2133情况反馈第三课时 投影变换教学目标一、知识与技能：掌握投影变换对应的矩阵及其几何意义二、过程与方法：自学指导法三、情感态度与价值观：体会知识间的联系教学难点、重点投影变换的矩阵表示教学过程一、复习变换，看书 25 页-27 页内容二、指导问题1、投影变换的几何意义是什么？（将平面图形投射到一个点或一条直线上）2、投影变换是否为一一映射？（不是） 。在学过的平移、伸压、恒等、反射及旋转变换中，是否为一一映射？（是）3、投影变换矩阵如何求出？投影轴 变换方程组 矩阵表示 投影矩阵（方程组的系数矩阵x 轴 0yx=yx01yx01y 轴 0yx=yx100yx10直线 y=x 0x= 0例 1、矩阵 M= ，A(2,1),B(1,3),C(2,2)(1)求在 M 作用下，A、B、C 对应的点 A/、B /、C /的坐标(2)矩阵将直线 AB、AC 变成什么图形？对应变换的几何意义是什么？解：(1)A /(2,0), B/(1,0),C/(2,0)(2)都变成了 x 轴，是向 x 轴上的投影变换练习：写出到直线 y=2x 的投影变换矩阵及垂直投影变换矩阵（ ， （x 0,y0）垂直投影到直线21y=2x 上的点(x,y), 则：根据 =-1 及 y=2x 解得 ，矩阵 ）20xy054yxy5421例 2、求直线 x+y=5 在矩阵 A= 对应的变换下得到的图形1解：设(x 0,5-x0)在 A 作用下对应的点为 (x,y), = = ,所以变换后得到点(0,5)yx1005x说明：此例验证了在一个非零二阶矩阵变换下，直线变为直线或点，变成点的情况例子练习：若曲线 y=sinx 在矩阵 M 对应的投影变换作用下变成直线 y=0,求 M，并求在 M 作用下曲线 f(x,y)=0 变成的方程（M= ,y=0）01例 3、求椭圆 x2+ =1 在矩阵 作用下对应的图形4y1解：设(x 0,y0)为已知椭圆上任意一点，在 作用下变为点 (x,y) = =0yx100yx10，于是 x=0,y=y0,由于(x 0,y0)在椭圆上，故-2y 02,所以变成了 y 轴上在-2,2 间的线段说明：注意变形的等价性练习：求曲线 y2=x 在矩阵 对应的变换作用下得到的图形（射线 OX）1三、小结：投影变换的定义及矩阵的找法四、作业：教材 P33-7,P34-9,10,12补充习题1、设 L 是过原点的直线，倾斜角为 600，A 是到直线 L 的垂直投影变换，求 A 及点 P(2,-1)在 A作用下象 P/的坐标2、矩阵 M= 将直线 L:2x+y-7=0 变成 L/:x+y-3=0，求 a、bba103、二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,-1)、(-2,1)分别变成(5,7)、(-3,6)(1)求 M (2)求直线 L:x-y=4 在此变换下得到的 L/的方程补充习题答案1、A= ，P /432432,12、a=13/7,b=3/73、(1) (2)11x-3y-68=02017情况反馈第四课时 切变变换教学目的一、知识与技能：掌握切变变换对应的矩阵表示及几何意义二、过程与方法：自学总结练习三、情感态度和价值观：体会知识间的联系教学重点、难点变换找法教学过程一、看书 28-30 页二、汇总：1、沿水平方向的切变变换变换 T: = = ，切变变换矩阵 ，其中系数 k 可以代入一个点的yx/ykx10yx10k坐标来求，如代点 B，可以求得 k= ,如图一mb xy一一C/ B/C BA(A/)OxyA/一一C/B/C BAO2、竖直方向上的切变变换变换 T: = = ，切变变换矩阵 ，其中系数 k 可以代入一个点的yx/ykx10yx10k坐标来求，如代点 B，可以求得如图二3、切变变换矩阵的特点：一对角线为 1，另一对角线一个为 0，一个为系数 k4、切变变换下，图形的长度、角、周长、面积是否发生变化？（面积不变，其余变）例 1、矩形 ABCD 的顶点 A、B、C、D 在变换 T 下变成 A/、B /、 C/、 D/，求 T 对应的变换矩阵A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2)(0,0),(1,1),C(1,3),(0,2)解： = = ，变换矩阵为yx/yx10yx10练习：变成坐标为(0,0),(1,0),(3,2),(2,2)时呢？（ ）02例 2、OABOA /B/的变换矩阵是什么，其中 O 为原点，A（2，1） ，A /(3,2),B(1,2),B/(3,1)解：变换 T: = = ，有 ，k=1 ,故矩阵为yx/ykx01yx3k10例 3、求直线 x=2 在矩阵 下对应的方程112解：设 x=2 上一点(2,b),经 作用后为点(x,y),则 = = ，于是10yx10b2，消去 b 即得方程 x+y-2=0yx2练习：求椭圆 在矩阵 作用下变成的方程（ +xy+ y2=1）142yx102x43三、切变变换的几何意义与矩阵特征四、作业：教材 P34-11补充设圆 F：x 2+y2=1 在变换(x,y)(x /,y/)=(x+2y,y)切变变换下变成一个图形 F/，求 F/的方程（x 2-4xy+5y2=1）情况反馈单元复习 矩阵与向量教学目标一、知识与技能：掌握矩阵与向量的有关概念和几种常见的变换几何表示及几何意义二、过程与方法：汇总-例练三、情感态度和价值观：体会知识网络关系教学难点、重点例练教学过程一、知识体系：1、矩阵有关概念：（1）矩阵就是一个数表（2）矩阵三个要素：行、列、元素。矩阵相等：行数、列数和对应元素全部相同2、矩阵与向量的乘法：方程组 ，矩阵表示 = 即系数矩阵乘向量等于/ydcxbadcbayx/另一向量3、几种常见的变换变换名称 草图 方程组 矩阵表示 变换矩阵恒等变换伸压变换反射变换旋转变换投影变换切变变换这些变换都是同一思路得到的：几何变换草图 矩阵表示变换矩阵 方 程 组 表 示其中：绕原点的旋转变换矩阵和切变变换矩阵比较难于记忆，绕原点旋转旋转 角的变换矩阵为（特点：主对角线相同，副对角线互为相反熟，各列的平方和为 1） ；水平切变变换cosini矩阵为 ，竖直切变