2005湖南高考试卷

2005 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择）题两部分，满分 150 分.考试用时 120 分钟.第卷（选择题）一、选择题：本大题共 10 小，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集 U=2，1，0，1，2，A=2，1，0，B=0，1，2，则（ UA）B=（ ）A0 B 2，1 C1，2 D0 ，1，22tan600的值是 （ ）A B C D 33333函数 f(x) 的定义域是 （ x21）A ，0 B 0， C （，0） D （，）( )4如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，E 是 A1B1的中点，则 E 到平面 AB C1D1 的距离为（ ）A B 232C D 135已知数列 满足 ，则 = （ na)(1,0*11 Nnan 20a）2A0 B C D33236设集合 Ax| 0 ，Bx | x 1| a ，若“a1”是“AB ”的（ 1）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件7设直线的方程是 ，从 1，2，3，4，5 这五个数中每次取两个不同的数作为0ByxA、B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ）A20 B 19 C18 D168已知双曲线 1（a0，b0）的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点2xyA，OAF 的面积为 （O 为原点） ，则两条渐近线的夹角为 （ 2）A30 B 45 C60 D909P 是ABC 所在平面上一点，若 ，则 P 是ABC 的（ APBA）A外心 B内心 C重心 D垂心10某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为 L1=5.06x0.15 x 2和L2=2 x，其中 x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利润为 （ ）A45.606 B 45.6 C45.56 D45.51第卷（非选择题）3二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分（第 15 小题每空 2 分） ，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11设直线 和圆 相交于点 A、B，则弦 AB 的垂直平0132yx 0322xy分线方程是 .12一工厂生产了某种产品 16800 件，它们来自甲、乙、丙 3 条生产线.为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙 3 条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品.13在（1x）（1x ） 2（1x ） 6 的展开式中， x 2 项的系数是 .（用数字作答）14设函数 f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数 f1 (x)，f (4)0，则 f1 (4) .15已知平面 和直线，给出条件： ； ； ； ；, /mm./（i）当满足条件 时，有 ；（ii）当满足条件 时，有/.m（填所选条件的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16 （本小题满分 12 分）已知数列 为等差数列，且)1(log*2Nna.9,31a（）求数列 的通项公式；n（）证明 .112312 naaa17 （本小题满分 12 分）已知在ABC 中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求角 A、B、C的大小.418 （本小题满分 14 分）如图 1，已知 ABCD 是上下底边长分别为 2 和 6，高为 的等腰梯形，将它沿对称3轴 OO1 折成直二面角，如图 2.（）证明：ACBO 1；（）求二面角 OACO 1 的大小.19 （本小题满分 14 分）图 1 图 25设 ，点 P（ ，0）是函数 的图象的一个公共点，tt cbxgaxf 23)()(与两函数的图象在点 P 处有相同的切线.（）用 表示 a，b，c；t（）若函数 在（1，3）上单调递减，求 的取值范围.)(xgfyt20 （本小题满分 14 分）某单位组织 4 个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界 3 个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.（）求 3 个景区都有部门选择的概率；（）求恰有 2 个景区有部门选择的概率.21 （本小题满分 14 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的左右焦点为 F1、F 2，离心率为 e. 直线2xy6l：yexa 与 x 轴y 轴分别交于点 A、B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，P 是点F1 关于直线 l 的对称点，设 .（）证明：1e 2；（）若 ，PF 1F2 的周长为 6；写出椭圆 C 的方程；43（）确定 的值，使得PF 1F2 是等腰三角形.2005 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）参考答案1答案：C评述:本题考查集合有关概念，补集，交集等知识点。解析：由题意得： ,故选 C.21)(,21BCuAu则2答案：D 评述: 本题考查三角函数化简，求值等知识.解析: ,故选 D.360tan4t60tan03答案：A评述 ：本题考查函数的定义域，指数函数的性质等到知识点。解析: 由题意得： ,故选 A.0(,.121。x。xx 即即4答案：B评述 ：本题考查点面距离，可转化为线面距离求解.解析 ：因为在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A 1B1 平行于平面 ABC1D1。所以点 E 到平面 ABC1D1 距离转化为点 B1 到平面 AB C1D1 距离，即.21CB7故选 B。5答案:B 评述: 本题由数列递推关系式,推得数列a n是周期变化的,找出规律,再求 a20.解析: 由 a1=0, 得 a2=-).(13Nann ,0,3,4由此可知: 数列a n是周期变化的,且三个一循环 ,所以可得:a 20=a2=- 故选 B6.答案:A评述: 本题考查分式不等式,绝对值不等式的解法,充分必要条件等知识.解析: 由题意得 A:-1，n1B1BO所以 cos ， =cosnB.43|1即二面角 OACO1 的大小是 .arcos图 3ABOCO1DABOCO1DxyzF E11解法二（I）证明 由题设知 OAOO 1，OBOO 1，所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OAOB. 从而 AO平面 OBCO1，OC 是 AC 在面 OBCO1 内的射影.因为 ，3tan1OB3tan11OC所以OO 1B=60，O 1OC=30，从而 OCBO 1由三垂线定理得 ACBO 1.（II）解 由（I）ACBO 1，OCBO 1，知 BO1平面 AOC.设 OCO 1B=E，过点 E 作 EFAC 于 F，连结 O1F（如图 4） ，则 EF 是 O1F 在平面AOC内的射影，由三垂线定理得 O1FAC.所以O 1FE 是二面角 OACO1 的平面角. 由题设知 OA=3，OO 1= ，O 1C=1，3所以 ，13,221221 CAA从而 ， 又 O1E=OO1sin30= ，311CFO所以 即二面角 OACO1 的大小是.4sin11E .43arcsin19解：（I）因为函数 ， 的图象都过点（ ，0） ，所以 ，)(xfgt0)(tf即 .因为 所以 .03at,t2ta,)(2bcbg所 以即又因为 ， 在点（ ，0）处有相同的切线，所以xf)(gt ).(tgtf而 .23,2,3)(2 btatxa 所 以将 代入上式得 因此 故 ， ，ta.tb.3c2t.3tc（II）解法一 .)(,)(23 xxytxxgfy 当 时，函数 单调递减.03(t )(gf图 412由 ，若 ；若0ytxtt3,则 .3,0txt则由题意，函数 在（1，3）上单调递减，则)(gf.,),()3,1( tt或所以 9.ttt 或即或又当 时，函数 在（1，3）上单调递减.9)(xgfy所以 的取值范围为t ,(解法二： )(32,)( 323 txtxytxtxgfy 因为函数 在（1，3）上单调递减，且 是( )(y（1，3）上的抛物线，所以 即 解得.0|,31xy.0)3(9t .39tt或所以 的取值范围为t ,(20解：某单位的 4 个部门选择 3 个景区可能出现的结果数为 34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（I）3 个景区都有部门选择可能出现的结果数为 （从 4 个部门中任选 2 个作为 1 组，!24C另外 2 个部门各作为 1 组，共 3 组，共有 种分法，每组选择不同的景区，共有63！种选法） ，记“3 个景区都有部门选择”为事件 A1，那么事件 A1 的概率为P（A 1）= .94!2C（II）解法一：分别记“恰有 2 个景区有部门选择”和“ 4 个部门都选择同一个景区”为事件 A2 和 A3，则事件 A3 的概率为 P（A 3）= ，事件 A2 的概率为71P（A 2）=1P（A 1）P（A 3）= .2941解法二：恰有 2 个景区有部门选择可能的结果为 （先从 3 个景区任意选定 2).!(241C13个，共有 种选法，再让 4 个部门来选择这 2 个景区，分两种情况：第一种情况，32C从 4 个部门中任取 1 个作为 1 组，另外 3 个部门作为 1 组，共 2 组，每组选择 2 个不同的景区，共有 种不同选法.第二种情况，从 4 个部门中任选 2 个部门到 1 个景!4区，另外 2 个部门在另 1 个景区，共有 种不同选法）.所以 P（A 2）=24C.73)!(4C21 （）证法一：因为 A、 B 分别是直线 l： 与 x 轴、y 轴的交点，所以 A、Baey的坐标分别是 .222.,1).,0( bacbbaxea 这 里得由所以点 M 的坐标是（ ）. 由c2, ).,(),(2eaABM得即 22 1eabec解 得证法二：因为 A、B 分别是直线 l： 与 x 轴、y 轴的交点，所以 A、B 的坐ay标分别是 设 M 的坐标是).,0(ae),(),),( 000 eyxyx 得由所以 因为点 M 在椭圆上，所以 .)1(0aye ,120byax即 .1)1(,)()( 2222 eb所 以解得,01(4ee .2e即14（）当 时， ，所以 由MF 1F2的周长为 6，得4321c.ca .62ca所以 椭圆方程为.3,2ba .1342yx（）解法一：因为 PF1l ，所以PF 1F2=90+BAF 1 为钝角，要使PF 1F2 为等腰三角形，必有|PF 1|=|F1F2|，即 .|cP设点 F1 到 l 的距离为 d，由 ,1|10)(| 221 ceaed得 所以.2e .3,32于 是即当 PF 1F2为等腰三角形.,3时解法二：因为 PF1l，所以 PF1F2=90+BAF 1 为钝角，要使PF 1F2 为等腰三角形，必有|PF 1|=|F1F2|，设点 P 的坐标是 ，),(0yx则 .1)(2,3.20200 eaycxacxey解 得由|PF 1|=|F1F2|得 ,4)()3( 222c两边同时除以 4a2，化简得 从而.1)(2e.312于是 . 即当 时，PF 1F2 为等腰三角形 .31e3152009 届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编07 立体几何试题收集：成都市新都一中 肖宏三、解答题(第一部分)1、(湖南省衡阳市八中 2009 届高三第三次月考试题) 如图， PABCD 是正四棱锥，是正方体，其中 1ABCD2,AB6（1）求证： ；1PB（2）求平面 PAD 与平面 所成的锐二面角 的余弦值；1D（3）求 到平面 PAD 的距离1解法一：以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系1 分BAx1yA1z（1）设 E 是 BD 的中点， PABCD 是正四棱锥， ABCDPE又 ， 2,62E)4,(1(2,0)(1,2)P 即10BDA1ABD（2）设平面 PAD 的法向量是 ， (,)mxyz(,2)2P 取 得 ，又平面 的法向量是0zxy1z(2,01)1BD (1,0)n 0cos,5nmcos5NA BCDMPEyzx16（3） 到平面 PAD 的距离1(2,0)BA1B165BAmd解法二：（1）设 AC 与 BD 交点为 O，连 PO；P ABCD 是正四棱锥，PO 面 ABCD， AO 为 PA 在平面 ABCD 上的射影， 又 ABCD 为正方形，AOBD，由三垂线定理知 PABD，而 BDB 1D1； 1AB（2）由题意知平面 PAD 与平面 所成的锐二面角为二面角 A-PD-B； AO 面 PBD，过 O 作 OE 垂直 PD 于 E，连 AE，则由三垂线定理知AEO 为二面角 A-PD-B 的平面角； 可以计算得，10cos5（3）设 B1C1 与 BC 的中点分别为 M、N ；则 到平面 PAD 的距离为 M 到平面 PAD 的距1B离；由 VM-PAD=VP-ADM 求得 。56d2、(江苏省盐城市田家炳中学 09 届高三数学综合练习)如图， 分别是正方体,NK的棱 的中点1ABCD1,ABCD（1）求证： /平面 ；（2）求证：平面 平面 N1MK1ABC1MD1A1 B1C1KN CBA MD17（1）证明：连结 NK.在正方体 中，1ABCD四边形 都为正方形，,11/,.CDC分别为 的中点，,NK1,1/,.为平行四边形.D11/,.KN,.A为平行四边形.1 1/.ANK平面 平面 ， 平面K1,M/A1.MK（2）连结 .BC在正方体 中，1AD11/,.BCD分别 中点，,K, ,.K四边形 为平行四边形.1BCM1/.在正方体 中， 平面 平面1AD1AB1,CB1,C11./,.KBCK为正方形， 11.BC1.MD1A1 B1KNBA MD18平面 平面1AB1,CB111,ACB平面MK.平面 平面 平面1,1MK1.3、(江西省崇仁一中 2009 届高三第四次月考 )如图，平面 平面PADABCD，ABCD 为正方形， 是直角三角形，且 ，PAD2E、 F、 G 分别是线段 PA，PD，CD 的中点.（1）求证： 面 EFC；B（2）求异面直线 EG 与 BD 所成的角；（1）证明：取 AB 中点 H，连结 GH，HE ，E，F ，G 分别是线段PA、 PD、 CD 的中点，GHAD EF ，E，F，G ，H 四点共面,又 H 为AB 中点，EH PB.又 面 EFG，PB 面 EFG， PB面 EFG.6 分（2）取 BC 的中点 M，连结 GM、 AM、 EM，则 GM BD，EGM（或其补角）就是异面直线 EG 与 BD 所成的角.在 Rt MAE 中， ，同理 ，62AE6又 ，在 MGE 中，21BDG，63cos2GE故异面直线 EG 与 BD 所成的角为 .12 分arcos4、(辽宁省大连市第二十四中学 2009 届高三高考模拟) 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB=BC=BB1，D 为 AC 的中点，（1）求证：B 1C平面 A1BD；（2）若 AC1平面 A1BD，二面角 BA1C1D 的余弦值.解：（1）连结 AB1 交于 A1B 于点 E，连结 ED.侧面 ABB1A1 是正方形 E 是 AB1 的中点又D 是 AC 的中点 EDB 1CB 1C平面 A1BD4 分（2）取 A1C1 的中点 G，连结 DG，则 DGA 1C1AB=BC BDAC BD 平面 A1C1DBGA 1C1BGD 为二面角 BA1C1D 的平面角8 分AC 1平面 A1BD，AC 1BD ，又CC 1平面 ABCD，且 AC1 在平面 ABC 的射影为 AC，ACBD19AB=BC 且 D 为 AC 中点， AB BC 且 BD= AB2又DG= A1A=ABBG= AB 12 分26.36cosBGD5、(山东省平邑第一中学 2009 届高三元旦竞赛试题) 如图，已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD ， AC DB， AC 与 BD 相交于点 O，且顶点 P 在底面上的射影恰为 O 点，又 BO=2， PO= 2，PB PD.（）求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值；（）求二面角 PABC 的大小；（）设点 M 在棱 PC 上，且 ，问 为何值时，PC平面 BMD.解： ,ABD平 面2,1,.AOBCOPP由 平 面 几 何 知 识 得又以 O 为原点，OA，OB，OP 分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为 O（0，0，0） ， A（2，0，0） ，B（0， 2，0） ，C（1，0，0） ，D （0，1，0） ，P（0，0， ）.（1） ),2(),(BD， .5|3| CP.15|,cosBDP故直线 PD 与 BC 所成的角的余弦值为 .2（2）设平面 PAB 的一个法向量为 ),(zyxn，20由于 ),20,(),2(APB由 .,0xzyn得取 BCD又 易 知 平 面),21(的一个法向量 ),10(m.2|,cosnm又二面角 PABC 不锐角.所求二面角 PABC 的大小为 45（3）设 Mzx,),0(由 于 三点共线，,2zBDPC平 面（1）.02.),(),1(.0zxzxO（2）由（1） （2）知 .3,200zx.2).3,(MCP故 .,2BD平 面时 6、(陕西省西安铁一中 2009 届高三 12 月月考) 如图，边长为 2 的等边PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面，BC 2，M 为 BC 的中点()证明：AMPM ；()求二面角 PAM D 的大小；()求点 D 到平面 AMP 的距离解法 1：() 取 CD 的中点 E，连结 PE、EM、EA.MPD CBA21PCD 为正三角形， PECD，PE=PDsinPDE=2sin60= 3平面 PCD 平面 ABCD， PE 平面 ABCD （2 分）四边形 ABCD 是矩形ADE 、ECM、ABM 均为直角三角形由勾股定理可求得：EM= 3，AM= 6，AE=3 22AEME （4 分），又 P是 在平面 ABCD 上射影：AME=90， AMPM （6 分）()由( )可知 EMAM，PMAMPME 是二面角 PAMD 的平面角 （8 分）tan PME= 13EMPME=45二面角 PAMD 为 45； （ 10 分）()设 D 点到平面 PAM 的距离为 d，连结 DM，则AMAV， dSPESPAMADM3131而 221CSD （12 分）在 RtPE中，由勾股定理可求得 PM= 6132AMS,所以： d3121 362即点 D 到平面 PAM 的距离为 6 （14 分）解法 2：() 以 D 点为原点，分别以直线 DA、DC 为 x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 xyz,依题意，可得 ),02(,31(),0CP)0,2(),(MA 2 分 )13ME BCDPMzyxMPD CB22(2,0)(,)(2,0)AM （4 分） 13P 即 A,AMPM （6 分）()设 ()nxyz，且 n平面 PAM，则0PMA即 0),2(),31z 023yx ， yx取 1，得 (,1)n （8 分）取 (0,)p，显然 p平面 ABCD， 32cos,|6np结合图形可知，二面角 PAMD 为 45； （10 分）() 设点 D 到平面 PAM 的距离为 d，由() 可知 (2,1)与平面 PAM 垂直，则 |And= 362)(1)2(|,0,即点 D 到平面 PAM 的距离为 （14 分）7、(天津市汉沽一中 20082009 学年度高三第四次月考试题 )如图所示的几何体 中, 平面 ， , ，ABCEABDC/ CBAE2， 是 的中点.M()求证: ;DEDCBAAMA23QONPEDCBAA MA()求二面角 的余弦值.ABDM解法一: 分别以直线 为 轴、 轴、 轴，建立如图E,xyz所示的空间直角坐标系 ，设 ，则xyzaC，)2,0(),(),02(),(),0(aBEA所以 . 4 分M()证: 5 分),(),23-,(aED 6 分0aB,即 . 7 分()解:设平面 的法向量为 , MD)(zyxn),-2(aDB由 , 得Bn 0z230z23-yxyxa取 得平面 的一非零法向量为 10 分2zMBD),1(n又平面 BDA 的法向量为 11 分)0,1(n，32,cos 221 n二面角 的余弦值为 . 14 分ABDM31解法二:()证明:取 的中点 ,连接 ,则 ,ENDACBMN/故 四点共面， 2 分DA,zyxEDCBAAMA24 平面 ， DAEB. 3 分又 4 分EBAN由 ，M平面 6 分D; 7 分EB()取 的中点 ,连 ,则ACP,/EAM平面MD过 作 ,连 ,则BQB是二面角 的平面角. 9 分PA设 , 与 的交点为 ,记 , ,则有aCADODCAB.2215()()2366OPACaa.123sin(45)(sinco)()55 , 12 分aOPQ2i又 EAM1B31,25在 中,MPQRt 31cos,2tanMQPPQ即二面角 的余弦值为 . 14 分ABD318、(厦门市第二外国语学校 20082009 学年高三数学第四次月考) 如图，已知点 H 在正方体 的对角线 上，HDA= AC06（）求 DH 与 所成角的大小；（）求 DH 与平面 所成角的大小A解：以 为原点， 为单位长建立空间直角坐标系 设DDxyz(1)(0m， ，则 ， 连结 ， (10)， ， (01)C， ， B设 ，由已知 ，Hm， ， 60HA，由 cosDAD，可得 解得 ，212所以 （）因为 ，2DH， ， 2012cosDHC，所以 即 DH 与 所成的角为 45C， 45（）平面 的一个法向量是 A(01)， ，因为 ， 所以 20cos 21DH， 60DHC，可得 DH 与平面 所成的角为 A39、(重庆市大足中学 2009 年高考数学模拟试题 )在正三棱锥 中，1BAD 是 AC 的中点， .016DCA B CDxyzH26（1）求证： （5 分）DBCA11/面（2） （理科）求二面角 的大小。 （7 分）（文科）求二面角 A1平面角的大小。 （7 分）1111 111 1.2/,.52 2,3,.83,.sin2BCOBCODADDCEEFBCFBCD 解 ： （ ） 连 接 交 于 ， 则 是 的 中 点 。 连 结 分面 面面 分（ ） （ 理 科 ） ： 设 正 三 棱 锥 底 面 边 长 为 ， 则作 于 ， 则 面作 ， 连 接 是 的 大 小 分1110 3277tanarctn.3,922EFBDACC 二 面 角 的 大 小 为 分（ 文 科 ） ： 面为 的 平 面 角 分 分10、(2009 届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一) 如图，P ABCD 是正四棱锥 是正方体，其中 .1AB2,6AB（1）求证： ；（2）求平面 PAD 与平面 所成的锐二面角 的大小；1PD1DB（3）求 到平面 PAD 的距离.解法一: (1) 连结 AC , 交 BD 于点 O , 连结 PO , 则 PO面 ABCD , 又AC BD , ,PBDB1D1 , . -4 分1A(2) AOBD , AOPO , AO面 PBD , 过点 O 作 OMPD 于点 M,连结 AM ,则 AMPD , AMO 就是二面角 A-PD-O 的平面角, -6 分27FED CBAP又 , AP= ,PO= 2,6ABP226, ,3ODM6tan23AOM即二面角的大小为 . -8 分6arctn2(3) 分别取 AD , BC 中点 E , F ,作平面 PEF , 交底面与两点 S , S1 , 交 B1C1 于点 B2 , 过点B2 作 B2B3PS 于点 B3 , 则 B2B3面 PAD , 又 B1C1AD ,B2B3 的长就是点 B1 到平面 PAD 的距离 . -10 分PO=AA1=2 , , , S14tan2PS1sin5P . -12 分23165sin3P解法二: 以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系1BAxDyA1z（1）设 E 是 BD 的中点， PABCD 是正四棱锥，ABCDPE又 ， ,62E)4,(1(20)(,)D即 -4 分 1B（2）设平面 PAD 的法向量是 ， ,mxyz(0,2)(1,2)取 得 ， ,zxy(,)又平面 的法向量是1B(,0)n-8 分1cos,5n 5arcos（3） 到平面 PAD 的距离 -12 分1(2,0)A1B16BAmd11、(四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试 )如图，在四棱锥 中，底面CD为正方形，且 平面 ，