2007gct联考复习-跟我学预习篇-数学第一讲

2007GCT 联考复习-跟我学预习篇 -数学第一讲第一讲：数学复习从初等数学开始，初等数学相对简单，本周第一讲将初等数学部分涵盖的数学公式作为复习主要内容，并配以少量习题进行联系，本周第二讲将着重进行练习题的演算，以便训练同学熟悉考题形式和实际动手的解题能力。数学公式第一部分:算术初等数学一、绝对值1、 非负性：即|a| 0，任何实数 a 的绝对值非负。归纳：所有非负性的变量（1） 正的偶数次方（根式） 0,.,41242a（2） 负的偶数次方（根式） （3） 指数函数 )0(ax且（4） 考点：若干各具有非负性质之和等于零时，则每个非负数必然为零。2、 三角不等式，即 | bb左边等号成立的条件： |a|0且右边等号成立的条件：3、 要求会画绝对值的图像二、比和比例1、增长率 P% 现值 （1+ P%）a原 值下降率 P% 现值 （1-P%）原 值注意：甲比乙大 P% = P%,甲是乙的 P% 甲=乙 P%乙 乙甲 -2、合分比定理： dbcamdcba1等比定理 fefe3、增减性 ，1ba)0(,mba1ba)0(,mba4、注意本部分的应用题（见专题讲义）三、平均值1、 当 为 n 个正数时，他们的算术平均值不小于它们的几何平均值，x , ,2即 ),.10(,x 2121 nininn 当且仅当 时，等好成立。nx 212.注意此关系在求最值中的应用3. 同号abab),0(,4.n 个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这 n 个正数相等，且等于算数平均值。四、方程1、 判别式（ ）Rcba,无 实 数两 个 相 等 的 实 根两 个 不 相 等 的 实 根 0, 422、 图像与根的关系 acb40 0)0()(2xxf0 的根)(xf abx2,1abx2,1无实根1x221x的解集0)(xf 21,xx或 abRx的解集 3、 根与系数的关系是方程 的两个根。则21x， )02acbxa（4、 达定理的应用利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值来：（1） 2121xx（2） 211221 -）（ ）（ x（3） 2121212 4-|-| xxx ）（）（ 5、 要注意结合图像来快速解题五、不等式1、 提示：一元二次不等式的解，也可根据二次函数的图像求解。 acb4200 0)()(xxf是方程21， 2的两个根)0a（ acxb/-211x221x0 的根)(xf abx2,1abx2,1无实根的解集)(f ,或 Rx的解集0x 21xx2、 对任意 x 都成立的情况（1） 对任意 x 都成立，则有：02cba 0且a（1） 对任意 x 都成立，则有：x 且3、 要根据不等式解集特点来判断不等式系数的特点。六、数列1、 ）的 关 系 （与 nSa（1）已知 求,公式： nin aaS121.（2）已知 na求, 2,1Snn等差数列（核心）（1） 通项 )()()1( 1k dandadnan )fxf n比如：已知 以及 ，求 dm与 共线),(a),(n斜率 dm（2） 前 n 项和（梯形面积）ndadnaSn )2(2)1( 1211 ，Sn)(1抽象成关于 n 的二次函数，xdaxf)2()(12)(nfS函数的特点：（1）无常数项，即过原点（2）二次项系数为 ,如 4,3-2dnn（3）开口方向由 d 决定3、重要公式及性质（1） 通项（等差数列）时成立lknmaalkmn 当.,（2） 前 n 项和的性质10 为等差数列的前 n 项和，则 ， 仍为等差数列。SnS，n-2nS23-20 等差数列 和 的前 n 项和分别为 和 表示，则nabnT12kTba分析： 121212)( kkkk Sbab4、等比数列注意：等比数列中任一个元素不为 0 （1） 通项： knnqaa1dn)(k（2） 前 n 项项和公式qaaSnnn1)(1（3） 所有项和 S对于无穷等比递缩（ ）数列，所有项和为0,1|qqaS1（4） 通项性质lkmnalknm时 ， 则当七、概率部分1. 事件间的四种关系（1） 包含 BA结论： )(BPA（2） 相等 （两个事件 样本点完全一致）BA,结论： )(BPAC（3） 对立 B结论： ABA（4） 互斥 0结论： 互斥： 对立 完备事件组BA niA1两 两 互 斥2、 事件间的三种关系（1） 和（并）： BA（2） 差： （3） 积： 3、 概率的运算公式（1）若 ，则有 )(BPAB（2） )B()(B)()( APAPAP）（3） ）- =B)()(（4） BC)()(-BC)(P)C APABAP ）(5) ）A(1(4、 条件概率实质为时间 A 得概率B)|(0),(,)(B|( APP|1|A)|(-)|()|()|( 21212B|-|B| 11PP5、 乘法公式 )|(A)|()(A）6、 事件的独立性 （1） 定义 : )(B)(P）（2） 特殊情况：a 与任何事件相互独立b 与任何事件相互独立c =0 与任何事件相互独立）AP(3) 相互独立 两两独立 (4) 0 时)(B）若 A 与 B 相互独立,则 A 与 B 相互独立必不互斥( 独立不互斥)若 A 与 B 互斥, 则 A 与 B 不相互独立必不互斥( 互斥不互斥)7、 判断 A 与 B 相互独立的充要条件（1） 定义 )(B)(PA）（2） ,即:B 发生不受 A0,|P 0)(B,|(PA）的影响四组事件中，若其中一组相互独立，则其余三组也相互独立。(3) 1)(0A,即: A 发生不影响 B 的概率|B|P分析: )(1-)(1)(P)(- AA） )(B)(P）(4) )1(0,1| P分析: A|B)|(-A)|(5) ,;B,;四组事件中,若其中一组相互独立,则其余三组也独立,则其余三组也相互独立.(6) 求“n 各事件中至少有一个发生时”转化为其对立事件 “都不发生”)C(B(1)C(1)( PAAPAP ）独 立8、 独立性试验序列(1) 贝努里：n 次试验中成功 k 次的概率nkbaP)(2) 直到第 k 次试验，A 首次发生pq1(3) 做 n 次贝努里试验，直到第 n 次，才成功 k 次kkbaCP1第一讲练习题1. 已知 ，那么在 中，最大的数是（ ） 。10x2,xA B. C. D. 2x答案：B。解析：用特殊值法，令 ，则 ，于是01.x 01.,.,02x，故正确答案为 B。21x2. 若 与 互为反函数，则 的值为（ ） 。)3(abba2A B. C. 1 D. 2113答案：A。解析：因为 与 互为反函数，所以 +2)(ab2)3(a01b， ,0)3(2101,)3(ba， 故正确答案为 A。31ba3. 设 ，则（ ） 。0,cA. B. ab2 cab2C. D. 与 的大小无法判定c答案：C 。解析：事实上，当 ，且 大于 时， 是分数的一条基本性质，其原因ba0c0cba是 ，对于本题正确答案为 C。)(cba上述性质表示为 。cabcab2)(2根据两个数的差的正负直接验证也是处理本题的一种方法。4. 某商品的销售量对于进货量的百分比与销售价格成反比例，已知销售单价为 8 元时，可售出进货量的 80%。又销售价格与进货价格成正比例，已知进货价格为 5 元时，销售价格为 8 元，在以上的比例系数不变的情况下，当进货价格为 6 元时，可售出进货量的百分比为（ ）% 。A78 B. 76 C. 74 D. 67答案：D。解析：设该商品的销售量相对于进货量的百分比为 A，销售价格为 B，进货价格为 C，由已知， 为比例系数。2121,kCBkA又有 80% ， 求得 ， 故 。2158, 6.1,4.21kBA6.1,4.当 时， ，故正确答案为 D。6C%7.096 AB5. 某厂生产的一批产品经质量检验，一等品与二等品的比是 5：3，二等品与三等品的比是4：1，则该批产品的合格率（合格品包括一等品和二等品）为（ ）%。A90 B. 91.4 C. 92.3 D. 93.1 答案：B。解析：本题是求一等品、二等品的总合在所有产品中所占的比例是多少，为此应首先求出各等产品的连比，即把 5：3 与 4：1 化为连比，其中二等品在 5：3 种占三份，而在 4：1种占四份，应把份数化为相同的，故将 5：3 化为 20：12，而把 4：1 化为 12：3，于是一等品：二等品：三等品=20：12：3由此可知，合格品所占的百分比为： 。故正确答案为 B。%.92206. 下面的数中，不能同时被 2，3，5 整除的是（ ） 。A8010 B. 8040 . 8070 D. 8080答案：。解析：能被整除的数是偶数，能被整除的数个位必须是或，由此可知，题中个数都能同时被和整除，由于能被整除的数的各位上数的和也能被整除，据此可知所给个数中只有 8080 不能被整除。故选。. 如图.2 ，大正方形的边长为 ，大正方形、圆形、小正方形的面积比为（ ） 。a. B. C. D. 以上都不对2:42:42:4答案：。分析：根据图中大正方形的边长为 ，可知圆的半径为 ，小正方形的边长为 。所a2aa2以大正方形、圆形、小正方形的面积分别为 ，因此它们的比为 。21,4:4故选。. 一列火车长m，车速 m/s ,在通过一座桥时，从车头到车尾共用了 20s。这座桥的长度是（ ）m 。. 240 B. 360 C. 600 D. 840 答案：。分析：列车 20s 内共运行了 ，这 600m 是从车头驶上桥面到车尾离开桥)(6023m面时列车走过的距离，正好等于桥的长度与列车长度的和，所以桥的长度为 600-240=360(m)。故选。. 一个蓄水池装有两个水管，一个进水管，一个出水管。但开进水管 20h 可以将空水池注满；单开出水管 30h 可以将满池水放完。如果两管齐开，将空水池注满需要（ ）h。. 40 B. 45 C. 50 D. 60答案：。分析：设蓄水池的容量为 ,则进水管的进水速度为 ，出水管的放水速度为 。设需要a20a30a的时间为 ，则 应满足 ，所以 60, 故选。xx)302(x事实上，易知进水速度是放水速度的 1.5 倍，两管齐开时，进入的水只存下了 ，所以这1时所用的时间应是只开进水管时的 3 倍。10. 一件商品，先提价 20%, 再打 8.5 折出售，现在的价格与调整前相比（ ） 。. 涨了 . 降了. 没变 . 情况与调整前价格有关答案：。分析：现在的价格是调整前的 倍。故选。02.185.11. 快、慢两列车的长度分别为 160m 和 120m, 它们相向行使在平行轨道上。若坐在快车上的人见整列慢车驶过的时间是 3s，那么坐在慢车上的人见整列快车驶过的时间是（ ） 。. 2s B. 3s C. 4s D. 5s答案：。分析：若记快、慢车的速度分别为 和 ，则两车的相对运动速度为 。由于1v2 21v，所以 =40 ,从而 。故选。3120v21v4602112. 某型号的变速自行车主动轴有 3 个同轴的齿轮，齿数分别是 48,36 和 24，后轴上有个同轴的齿轮，齿数分别是 36,24,16 和 12, 则这种自行车共可获得（ ）种不同的变速比。. 8 B. 9 C. 10 D. 12答案：。分析：当主动轴的齿数为 48 时，变速比为 ，共 4 种；128,364,28,364当主动轴的齿数为 36 时，变速比为 ，共 4 种；91当主动轴的齿数为 24 时，变速比为 ，共 4 种；,4,其中变速比相同的有 4 对，故变速比的种数为 4+4+4-4=8, 应选。13. 一个容积为 10 升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出 升酒精后，用水将量杯注满并搅拌a均匀，第二次仍倒出 升溶液后再用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓a度为 49%，则每次的倒出量 为（ ）升。a. 2.55 B. 3 C. 2.45 D. 4答案：。分析：量杯中剩余的酒精量为 ，整理得 ，a10%4910 0512a解方程得 （舍去） ，故应选。7a或14. 甲、乙两种茶叶以 （重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤 50 元，乙种yx:茶每斤 40 元，现甲种茶价格上涨 10%，乙种茶价格下降 10%后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则 等于（ ） 。:A. 1:1 B. 5:4 C. 4:5 D. 5:6答案：。分析：价格变化前成品价格为： 元，yx405价格变化时成品价格可表示