江苏省苏北四市2011-2012学年度高三第二次质量检测数学试卷(word版)含答案

苏北四市 2012 届高三年级模拟考试数学 I一、填空题1. 设集合 ，若 ，则实数 a 的值是_.20,131,ABa1AB2. 已知复数 z 满足 (i 是虚数单位), 则 _.()3izi|z3. 某校高一、高二、高三学生共有 3200 名,其中高三 800 名,如果通过分层抽样的方法从全体学生中抽取一个 160 人的样本,那么应从高三的学生中抽取的人数是_.4. 箱中有号码分别为 1,2,3,4,5 的五张卡片,从中一次随机抽取两张,则两张号码之和为 3 的倍数的概率是_.5. 右图是求函数值的程序框图,当输出 y 值为 1 时,则输入的 x 值为_.6. 已知棱长为 3 的正方体 中,P,M 分别为线段1ABCD, 上的点,若 ,则三棱锥 的体积为1BDC12PMPBC_.7. 已知双曲线 的右顶点,右焦点分别2:(0,)xyab为 A,F,它的左准线与 x 轴的交点为 B,若 A 是线段 BF 的中点 ,则双曲线 C 的离心率为_.8. 如图,已知 A,B 是函数 的图像与 x 轴两相邻的交3sin(2)y点,C 是图像上 A,B 之间最低点,则 _.C9. 设直线 y=a 分别与曲线 和 交于点 M,N,则当线段 MN2yxxe长取得最小值时 a 的值为_.10. 定义区间 的长度为 ,用 表示不超过 x 的最大整数.设 ,b ()fxx,则 时,不等式 的阶级区间的长度为_.()1gx021x()fg11. 已知集合 , ,使得集合 A 中所有整数的元素和为|(),AaxRa28,则 a 的范围是_.12. 已知等差数列 的前 n 项和分别为 和 ,若 ,且 是整数,则,nbnST7453n2nabn 的值为_.OABxy第 8题 图 开 始 输 入 x 0输 出 y 23x 开 始 YN第 5题 图 13. 在平面直角坐标系中,已知点 ,则当四边形 PABN 的(1,2)4,0(,1)ABPaN周长最小时,过三点 A,P,N 的圆的圆心坐标是_.14. 已知 的三边长 a,b,c 成等差数列,且 ,则实数 b 的取值范围是ABC2284bc_.二、解答题15.(本题满分 14 分)已知函数 .(sin)si()3sinco()4fxxxR(1) 求 的值;)6(2) 在 中,若 ,求 的最大值.ABC()12fsiBC16.(本题满分 14 分)如图,已知正方形 ABCD 和直角梯形 BDEF 所在平面互相垂直,.1,2BFDEBF(1) 求证:DE平面 ACF;(2) 求证:BE平面 ACF. ABCDEF17. (本题满分 14 分)如图，在 C 城周边已有两条公路 在点 O 处交汇，且它们的夹角为 .已知12,l 75,OC 与公路 的夹角为 .现规划在公路 上分别选择 A,B 两处为(26)Okm4512,l交汇点(异于点 O)直接修建一条公路通过 C 城.设 , .AxkmBy(1) 求 y 关于 x 的函数关系式并指出它的定义域;(2) 试确定点 A,B 的位置,使 的面积最小.AB18.(本题满分 16 分)如图,已知椭圆 C 的方程为 ,A,B 是四条直线 所围成的矩形的两个214xy2,1xy顶点.(1) 设 P 是椭圆 C 上任意一点,若 ,求证 :动点 在定圆上运动,并求OPmAnB()Qmn出定圆的方程;(2) 若 M,N 是椭圆上两个动点,且直线 OM,ON 的斜率之积等于直线 OA,OB 的斜率之积,试探求 的面积是否为定值,并说明理由.OMN xyBAOMNCOBA1l219.(本题满分 16 分)若函数 在 上恒有 成立( 其中 为函数 的导函数),则称(fx0,()xff()fx()fx这类函数为 A 型函数.(1) 若函数 ,判断 是否为 A 型函数,并说明理由;2()1g()g(2) 若函数 是 A 型函数,求函数 的单调区间;3lnahxax()hx(3) 若函数 是 A 型函数,当 时,证明 .()f1201212()fffx20.(本题满分 16 分)已知各项均为正整数的数列 满足 ,且存在正整数 ,使得na1n(1)k,1212kka *()aN(1) 当 时,求数列 的前 36 项的和 ;3,6n36S(2) 求数列 的通项 ;nna(3) 若数列 满足 ,且 ,其前 n 项积为 ,试问 n 为何值时, b812()na192bT取得最大值?nTEODC BA苏北四市 2011-2012 学年度高三第一次质量检测数学（附加题）21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A 选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分 10 分）如图，直线 AB 经过圆 O 上的点 C，并且 OA=OB，CA=CB，圆 O 交于直线 OB 于E，D，连接 EC，CD，若 的半径为 3，求 OA 的长. 1tan,2CEDOB 选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）已知二阶矩阵 M 有特征值 及对应的一个特征向量 ， 并且 M 对应的1eEPD 1 C1B1A1D CBA变换将点（，）变换成（，） ， 求矩阵 MC 选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系中，求过椭圆 参数）的左焦点与直线5cos(3inxy为参数）垂直的直线的参数方程1(42xtyD选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分）对于任意实数 和，不等式 恒成立，试(0)a|2|(|1|2|)abax求实数的取值范围【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22. （本小题满分 10 分）在棱长为的正方体 ABCD 中，E 为棱 AB 的中点，点 P 在平面 ，D P平面 PCE试求：（） 线段 D P 的长；（） 直线 DE 与平面 PCE 所成角的正弦值；23 （本小题满分 10 分）已知 *(12)()nnaN（） 若 ，求证：是奇数；,baZ（） 求证：对于任意 ，都存在正整数，使得 *n 1nak苏北四市 20112012 学年度高三第二次质量检测数学卷答案及评分标准一、填空题： 10 2 3 4 51 6 7 8 9 1002321211 12 13 147,8)159(3,)8(26,7 13在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ， ，则当 四边形的周长最小时，过三点 ， ， 的圆的圆心坐标是 解法 1：由题意知，所求即要确定 的最小值，考虑它表示动点 与两定点 、 的距离和，易得当 时，和为最小，此时可求得圆心坐标为 解法 2：取点 ，则四边形 为平行四边形，所求即 的最小，易得当三点 、 、 共线时，即 ，求得圆心坐标为 14已知 的三边长 ， ， 成等差数列，且 ，则实数的取值范围是 解法 1：由题意知， ，消去 得，解得 ，又设公差为 ，则 ，所以 ，则，解得 ，故 解法 2：（法 1 的优化基本量）设公差为 ，则 ，所以 ，则 ，所以 ，解得解法 3：不妨设 ，由 可知， ， ，消去得， ，关于 的二次方程 在内存在实根，即 ，解得 二、解答题： 15 2 分()sin)i()3sinco4fxxx13s2inx， 4 分(26所以 =1 6 分()6f由 ， 有 ， 因 为 ， 所 以 ， 即 . 8 分1A()sin()1fA0A623A= . 12 分2sini3BCB3sicosin()2B因为 ，所以 ， ，203n()1所以 的最大值为 14 分si16设 ，连结 ADOF因为 是正方形，所以 是 的中点，BCB因为 ，所以 ，2EFE 所以四边形 是平行四边形，所以 5 分DOA因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 7 分CAFCDEACF因为 是正方形，所以 ，因为平面 平面 ，BBBDE平面 平面 ，所以 平面 ，ED因为 平面 ，所以 10 分EF因为 ，所以 ，所以四边形 是正方形，所以 12 分12OEFBOF因为 ， 平面 ，所以 平面 14 分OAC,ACBAC17因为 的面积与 的面积之和等于 的面积， B 所以 ，4 分111(26)sin45(26)sin30sin752xyxy 即 ，所以 6 分4(2)x 的面积 = 8 分AOB si728Sxyxy 2AE第 16 题图BDCOF= 123142)x（ 3184()2A分当且仅当 时取等号，此时 4xy故 ， 时， 面积的最小值为 14 分kmOA2kBOAB24(31)km18易求 , . 2 分(1)， ()，设 ,则 .由 ,得 ,0(Pxy， 204xyPmn0()xny所以 ,即 .故点 在定圆 上. 8 分)()n21()Q， 21y设 ， ,则 .1(M， 2Nx， 124yx平方得 ,即 . 10 分216(4)xy214x因为直线 的方程为 ,21221()0yy所以 到直线 的距离为 , 12 分ON1212|()()dx所以 的面积M 2212111211|SyxyxyA= = .22 21121()()44x21故 的面积为定值 . 16 分ON19 因 为 ， 所 以 在 上 恒 成 立 ，()2gx22()()0xgxx(,)即 在 上恒成立，所以 是 型函数2 分0,1gA ，由 ，得 ，21()()ahx()h13lnaaxx因为 ，所以可化为 ，0(1)2lnx令 ， ，令 ，得 ，()2lnpxx3p()0p3ex当 时， ， 是减函数；3,e()0()当 时， ， 是增函数，(x所以 ，所以 ， 4 分3min)()epx32(1)ea31e2a当 时，由 ，得 ，所以增区间为 ，减区间为 ；0a210hx (0,)(1,)当 时，由 ，得 ，2()()x 1x所以增区间为 ，减区间为 ；(0,1)(1,) 当 时 ， 得 ， 或 ， 所 以 增 区 间 为 ， ， 减 区 间 为 ；2axa(0,1),)a1(,)a当 时， ，所以，函数增区间为 ；1()0h (,) 时，由 ，得 ，或 ，3e2a21()0ax1ax1x所以增区间为 ， ，减区间为 10 分(1,)(0,a(,)证明：函数 是 上的每一点处都有导数，且 在 上恒成fx, ()xff(0,)立，设 ， 在 时恒成立，()F2()0xff,所以函数 在 上是增函数， 12 分()fx0,)因为 ，所以 ，120,1212,0xx所 以 ， 即 ， 14 分12122()(,)(FxF12122()()(,ffxfxx所 以 ， 两 式 相 加 ， 得 ， 16 分12212()()(),(fxxffxf1212()()fxffx20当 ， 则 3k1236a1236a设 ，由 ，得 ，所以数列 是公差为 的等差2nnc3nn19ncnc9数列，故 4 分361212Scc若 时， ，又 ，ka12a所以 ，所以 ，此时 ，矛盾 6 分121若 时， ，所以 ， ，312323123a123a所以 ，满足题意 8 分1,a若 时， ，所以 ，即4k 1212kka 12k，12k又因为 ，所以 不满足题意10 分1212(1)2kakk 4所以， ， ， ，且 ，3a3nna所以 ， ， ，321()n12()313(1)3nan故 12 分a又 所以81()nanb 1812()nanb所以 ，所以 都是以 为公比的等比数列,2n21,n所以 14 分16213(), ,4, ,nnb 为 奇 数 为 偶 数 .令 ，即 ， ，所以1n82()n81()2n13n为奇数时有, ，12341134156, ,bbb， ，从而 ，2412TT 为偶数时，有 ，n2345123145167,从而 ，1311 注意到 ，且 ，20,T3212TbT所以数列 的前 项积 最大时 的值为 nbn3苏北四市 20112012 学年度高三第二次质量检测数学卷答案及评分标准21 【选做题】A如图，连接 ，因为 ，所以 OC,ABCOCAB因为 是圆的半径， 所以 是圆的切线3 分因为 是直径，所以 ，所以 ，ED90ED90ED又 ，,B所以 ，又因为 ，CCB所以 ，所以 ， 5 分2BE， ， 7 分21tanE21EC设 ，则 ，因为 ，所以 ，所以 9 分BDxx2D()(6)x2BD所以 10 分35OAB设 ，则 ，故 4 分abcdM13abcd3,abcd+，故 7 分1925c29,5+联立以上两方程组解得 ，故 = 10 分1,43,6abcdM1436C椭圆的普通方程为 ，左焦点为 ，4 分259xy(4,0)直线 （ 为参数）的普通方程为 ，8 分1,4xty 2xy所求直线方程为 ，即 10 分(4)2xD原式等价于 ，设 ，1|ab|x tab则原式变为 对任意 恒成立 2 分|1|2|ttx tABCDEO第 21A 题图因为