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文档简介

6 凸集和凹函数凸组合和凸包定理 6.1.6 集合 X是凸集的充要条件是 X中点的任意凸组合都属于 X.定义 6.1.8 凸包 (Convex Hull)令 X是 R中的集合。包含 X的最小的凸集称为 X的凸包，记为 convX. 定理 6.1.9 X的凸包是由 X中元素的所有凸组合组成的集合，即：6.2 凹函数凹性和拟凹性是数学规划中两个重要的概念。一元实函数取得局部极大值的条件。一阶条件f(x)=0是局部极大值的必要但不充分的条件。它告诉我们 ,f在 x处的切线必须是水平的，这对于局部极大值肯定是正确的，但对于局部极小值也是如此。为了将极大值与极小值分开，我们需要运用根据二阶导数得出的二阶（充分）条件。对于一元函数， f(x) 0说明了 f在 x的邻域中是凹函数。直观地看，函数的凹性意味着对于水平切线函数的图形是 “峰 ”而不是 “谷 ”。而且，若 f是整体凹的，则 f只有一个 “峰 ”，而且没有 “谷 ”。因此，一旦找到点 x使得 f(x )=0 ，我们就能得到函数的整体极大值。总之，对于没有约束的极大化的二阶条件等于检验 f在临界点的邻域中的凹性。若函数是整体凹的，局部极大值也就是整体极大值。类似的结论可以用到更复杂的规划问题中，但那时我们还需考虑约束函数的曲率。光滑函数的凹性一阶条件：定理 6.2.17 令 f:RnX R是定义在开凸集 X上的 C1函数，则 f是凹函数的充要条件为：对于 X中任意给定的点 x0和 x， 有：二阶条件：注意到，海森矩阵负定是 f 严格凹的充分而不必要的条件。拟凹函数定义 6.3.1 拟凹函数 令 f:RnX R是定义在凸集 X上的实值函数。若对 X中任意点 x和 x ， 以及任意 0,1， 有：结论是： 由凹性可以推出拟凹性。 严格凹性可以推出严格拟凹性，但是反过来不成立。 拟凹性比凹性弱，拟凹函数不具有凹函数的某些性质。 不同于凹函数，拟凹函数在定义域中某些内点处不连续， 拟凹函数的非
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