《高等数学b》第十章___微分方程与差分方程__第7节__一阶常系数线性差分方程

第七节 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为(1)其中 a 0 为常数 , f ( x ) 为已知函数 . 当 f ( x ) 0 时 , 称方程 (2)为一阶常系数齐次线性差分方程 . 下面介绍它们的求解方法 . 若 f ( x ) 0 则 (1) 称为一阶常系数非齐次线性差分方程 . 一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解 对于一阶常系数齐次线性差分方程 (2) , 通常有如下两种解法 , 1 . 迭代法 若 已知 , 由方程 (2) 依次可得出 于是 令 为任意常数 , 则齐次方程的通解为2 . 特征根法 由于方程 等同于 可以看出 的形式一定为某个指数函数 . 于是 , 设 代入方程得即得 称方程 (3) 为齐次方程 (2)的 特征方程 , 而为特征方程的根 (简称 特征根 ) . 于是 是齐次方程的一个解 , 从而( C 为任意常数 ) (4)是齐次方程的通解 . (3)例 1 求 的通解 . 解 特征方程为 特征方程的根为 于是原方程的通解为 ( C 为任意常数 )例 2 求方程 满足初始条件 的解 . 解 原方程可以改写为 特征方程为其根为 于是原方程的通解为 把初始条件 代入 , 定出 C = 2 , 因此所求特解为 二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 由上节定理 3 可知 , 一阶常系数非齐次线性差分方程(1) 的通解由该方程的一个特解 与相应的齐次方程的通解之和构成 . 由于相应的齐次方程的通解的求法已经解决 . 因此 ,我们只需要讨论非齐次方程特解 的求法 . 当右端 f ( x ) 是某些特殊形式的函数时 , 采用待定系 数法求其特解 较为方便 . 1. 型 表示 x 的 n 次多项式 , 此时方程 (1) 为 由 上式可改写成为 设 是它的解 , 代人上式得 由于 是多项式 , 因此 也应该是多项式 (因为当 是 x 次多项式时 , 是 ( x 1) 次多项式 ) . 如果 1 不是齐次方程的特征方程的根 , 即 1 a 0 , 那么 也是一个 n 次多项式 , 于是令 把它代人方程 , 比较两端同次幂的系数 , 便可得如果 1 是齐次方程的特征方程的根 , 即 1 a = 0 , 这时 满足 因此应取 为一个 n + 1 次多项式 , 于是令 将它代人方程 , 比较同次幂的系数 , 即可确定各系数 综上所述 , 我们有如下结论 : 结论 若 则一阶常系数非齐次线性差分方程 (1) 具有形如 的特解 , 其中 是与 同次的待定多项式 , 而 k的取值如下确定 : (1) 若 1 不是特征方程的根 , k = 0 ;(2) 若 1 是特征方程的根 , k = 1 . 例 3 求差分方程 的通解 . 解 (1) 先求对应的齐次方程 的通解 由于齐次方程的特征方程为 3 = 0 , = 3 是特征方程的根 . 故 是齐次方程的通解 . (2) 再求非齐次方程的一个特解 由于 1 不是特征方程的根 , 于是令 代人原方程为即 a = 1 . 从而 (3) 原方程的通解为 ( C 为任意常数 )例 4 求差分方程 的通解 . 解 (1)先求对应的齐次方程 的通解 由于特征方程为 2 = 0 , 得其根为 = 2 , 于是 (2) 再求非齐次方程的一个特解 由于 1 不是特征根 , 于是令 代人原方程 , 得 比较两边同次幂的系数 , 得 于是 (3) 原方程的通解为 例 5 求差分方程 满足 的特解 . 解 (1) 对应的齐次方程 的通解为(2) 再求原方程的一个特解为 由于 1 是特征方程 1 = 0 的根 , 于是令 代人原方程 , 比较两端同次幂的系数 , 得 于是 (3) 原方程的通解为 (4) 由 得 C = 1 , 故原方程满足初始条件的特解为 2. 型 这里 为常数 , 0 且 1 , 表示 x 的 n 次多项式 , 此时 , 只须作变换 将它代入原方程 得 消去 , 即得对此方程 , 我们已经会求出它的一个解 , 于是 例 6 求 的通解 . 由于特征方程为 + 1 = 0 , 其根为