d13_6函数展开成幂级数

第 6节一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数的方法 函数展开成幂级数 上页 下页 返回 结束 三、近似计算四、微分方程的幂级数解法一、 泰勒级数 其中( 在 x 与 x0 之间 )称为 拉格朗日余项 .则在若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数 , 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :上页 下页 返回 结束 为 f (x) 的 泰勒级数 . 则称当 x0 = 0 时 , 泰勒级数又称为 麦克劳林级数 .1) 对此级数 , 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?待解决的问题 :若函数 的某邻域内具有 任意阶导数 , 上页 下页 返回 结束 定理 6.1 .各阶导数 , 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的 充要条件 是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足 :证明 :令设函数 f (x) 在 点 x0 的某一邻域 内 具有上页 下页 返回 结束 定理 6.2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数 , 则这种展开式是唯一 的 , 且与它的麦克劳林级数相同 .证 : 设 f (x) 所展成的幂级数为则显然结论成立 .上页 下页 返回 结束 二、函数 展开 成幂级数 1. 直接展开法由泰勒级数理论可知 , 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间 ( R, R) 内 是否为骤如下 :展开方法 直接 展开法 利用泰勒公式间接 展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开上页 下页 返回 结束 例 1. 将函数 展开成 x 的幂级数 . 解 : 其 收敛半径 为 对任何有限数 x , 其余项满足故( 在 0与 x 之间 )故得 级数 上页 下页 返回 结束 例 2. 将 展开成 x 的幂级数 .解 : 得 级数 :其 收敛半径 为 对任何有限数 x , 其余项满足上页 下页 返回 结束 类似可推出 :上页 下页 返回 结束 例 3. 将函数 展开成 x 的幂级数 , 其中 m为任意常数 . 解 : 易求出 于是得 级数由于级数在开区间 ( 1, 1) 内收敛 . 因此对任意常数 m, 上页 下页 返回 结束 则上页 下页 返回 结束 为避免研究余项 , 设此级数的和函数为称为 二项展开式 .说明 ：(1) 在 x 1 处的收敛性与 m 有关 .(2) 当 m 为正整数时 , 级数为 x 的 m 次多项式 , 上式就是代数学中的 二项式定理 .上页 下页 返回 结束 由此得 对应 的二项展开式分别为上页 下页 返回 结束 2. 间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质 , 例 4. 将函数 展开成 x 的幂级数 .解 : 因为把 x 换成 , 得将所给函数展开成 幂级数 . 上页 下页 返回 结束 例 5. 将函数 展开成 x 的幂级数 .解 : 从 0 到 x 积分 , 得定义且连续 , 区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的 ,于是收敛上页 下页 返回 结束 例 6. 将 展成解 : 的幂级数 . 上页 下页 返回 结束 例 7. 将 展成 x 1 的幂级数 . 解 : 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 函数的幂级数 展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式式的函数 .上页 下页 返回 结束 当 m = 1 时上页 下页 返回 结束 思 考1. 函数 处 “有泰勒级数 ” 与 “能展成泰勒级数 ” 有何不同 ?提示 : 后者必需证明 前者无此要求 .2. 如何求 的幂级数 ?提示 :上页 下页 返回 结束 三、近似计算例 8. 计算 的近似值 , 精确到解 : 上页 下页 返回 结束 例 9. 计算 的近似值 ,使准确到解 : 已知故令 得 于是有上页 下页 返回 结束 在上述展开式中取前四项 , 上页 下页 返回 结束 说明 : 在展开式中 ,令 得具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如( n为自然数 ) , 上页 下页 返回 结束 1、一阶微分方程幂级数解法 : 将其代入原方程 , 比较同次幂系数可定常数 由此确定的级数 即为定解问题在收敛区间内的解 . 设所求解为本质上是 待定系数法上页 下页 返回 结束 四 . 微分方程幂级数解法例10. 解 : 根据初始条件 , 设 所求 特解为代入原方程 , 得比较同次幂系数 , 得故所 求解的幂级数前几项为 上页 下页 返回 结束 2、二阶齐次线性微分方程 定理 . 则 在 R 4 时 ,上页 下页 返